Теория инвестиций

n - срок (количество периодов) проведения операции.

Ниже будут рассмотрены  наиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства.

 Финансовые  операции с элементарными потоками  платежей

Простейший (элементарный) (в некоторых источниках для обозначения подобных потоков используется термин “разовый платеж”) денежный поток состоит из одной выплаты и последующего поступления, либо разового поступления с последующей выплатой, разделенных n - периодами времени (например - лет).

Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты, единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, что численный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов - {-PV; FV} или {PV; -FV}.

Операции с элементарными  потоками платежей характеризуются  четырьмя параметрами - FV, PV, r, n. При этом величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных.

Будущая величина элементарного потока платежей

Рассмотрим технологию исчисления будущей величины элементарного потока платежей на следующем примере.

Пример 1.2.

Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту - 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года.

Определим будущую  величину вклада на конец первого  периода:

FV₁ = PV + PV x r = PV(1 + r) = 10000(1 + 0,1) = 11000.

Соответственно  для второго периода величина FV будет равна:

FV₂ = FV₁ + FV₁ x r = PV(1 + r) + PV(1 + r) x r = PV(1 + r)² =

= 10000(1 + 0,1)² = 12100.

Для последнего периода (n = 4):

FV₄ = FV₃ + FV₃ x r = PV(1 + r)⁴ = 10000(1 + 0,1)⁴ = 14641.

Общее соотношение для  определения будущей величины имеет  следующий вид:

.   (1.3)

Нетрудно заметить, что  величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45!

На рис. 1.1 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

Рис. 1.1. Рост суммы в 1.00 по ставкам сложных процентов

На практике, в зависимости  от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение (1.3) для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:

,   (1.4)

где m - число периодов начисления в году.

Очевидно, что чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.

Допустим, что  в примере 1.2 проценты выплачиваются ежеквартально (т = 4). Определим FV_4,4:

FV_4,4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)¹⁶ = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислении процентов раз в год.

Часто возникает необходимость  сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту:

,   (1.5)

где r - номинальная ставка; m - число периодов начисления.

Полученную  при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate - EPR) или ставкой сравнения.

Осуществим  расчет эффективной процентной ставки и будущей величины вклада для примера 1.2:

ЕPR = (1 + 0,1/4)⁴- 1 = 0,103813

FV = 10000,00 (1 + 0,103813)⁴ = 14845,06.

Таким образом, условия помещения суммы в 10000,00 на депозит сроком на 4 года под 10% годовых  при ежеквартальном начислении процентов  и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.

Современная величина элементарного  потока платежей

Формулу для  определения современной величины элементарного потока платежей можно  легко вывести из соотношения (1.3), путем деления его обеих частей на величину (1 + r)ⁿ. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:

.   (1.6)

Пример 1.3.

Выплаченная по 4-х  летнему депозиту сумма составила  величину в 14641,00. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 10% годовых.

PV = 14641,00 / (1 + 0,1)⁴ = 10000,00.

На рис 1.2 приведена графическая диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

Рис. 1.2. Дисконтирование суммы в 1,00 при различных ставках r

Как и следовало  ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная - чем больше r и n, тем меньше текущая (современная) величина.

В случае, если начисление процентов  осуществляется m-раз в году, соотношение (1.6) будет иметь следующий вид:

.   (1.7)

Исчисление процентной ставки и  продолжительности операции

Формулы для определения  величин r и n могут быть получены из (1.3) и приводятся ниже в готовом виде.

При известных величинах FV, PV и n, процентную ставку можно определить по формуле:

.   (1.8)

Пример 1.4.

Сумма в 10000,00 помещенная в банк на 4 года составила величину в 14641,00. Определить процентную ставку (доходность операции).

r = (14141,00 / 10000,00)^1/4 - 1 = 0,10 (10%).

Длительность  операции определяется путем логарифмирования:

.   (1.9)

Приведенные соотношения (1.3 - 1.9) позволяют определить основные количественные характеристики финансовых операций, в результате проведения которых возникают элементарные потоки платежей.

 

 Денежные потоки в виде серии равных платежей (аннуитеты)

Поток платежей, все  элементы которого распределены во времени  так, что интервалы между любыми двумя последовательными платежами  постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом (annuity).

Теоретически, в зависимости от условий формирования, могут быть получены весьма разнообразные виды аннуитетов: с платежами равной либо произвольной величины; с осуществлением выплат в начале, середине или конце периода и др. [13, 16]

В финансовой практике часто встречаются так называемые простые или обыкновенные аннуитеты (ordinary annuity, regular annuity), которые предполагают получение или выплаты одинаковых по величине сумм на протяжении всего срока операции в конце каждого периода (года, полугодия, квартала, месяца и т.д.).

Выплаты по облигациям с фиксированной ставкой купона, банковским кредитам, долгосрочной аренде, страховым полисам, формирование различных фондов - все это далеко неполный перечень финансовых операций, денежные потоки которых, представляют собой обыкновенные аннуитеты. Рассмотрим их свойства и основные количественные характеристики.

Согласно определению, простой аннуитет обладает двумя важными свойствами:

1) все его n-элементов равны между собой: CF₁ = CF₂ ...= CF_n = CF ;

1. отрезки времени между выплатой/получением сумм CF одинаковы, т.е. t_n - t_n-1 = ...= t₂ - t₁.

В отличии от разовых платежей, для количественного анализа аннуитетов нам понадобятся все выделенные ранее характеристики денежных потоков: FV, PV, CF, r и n.

 

Будущая стоимость простого (обыкновенного) аннуитета

Будущая стоимость  простого аннуитета представляет собой  сумму всех составляющих его платежей с начисленными процентами на конец срока проведения операции.

Методику определения  будущей стоимости аннуитета  покажем на следующем примере.

Пример 1.10.

Финансовая  компания создает фонд для погашения  своих облигаций путем ежегодных помещений в банк сумм в 10000 под 10% годовых. Какова будет величина фонда к концу 4-го года?

FV₄ = 10000(1+0,10)³+10000(1+0,10)²+10000(1+0,10)¹+10000 = 46410.

Для n-периодов:

.   (1.10)

Выполнив ряд  математических преобразований над (1.10), можно получить более компактную запись:

.   (1.11)

Как уже отмечалось ранее, платежи могут осуществляться j-раз в году (ежемесячно, ежеквартально и т.д.). Рассмотрим наиболее распространенный случай, когда число платежей в году совпадает с числом начислений процентов, т.е. j = m. В этом случае общее число платежей за n-лет будет равно mn, процентная ставка - r/m, а величина платежа - CF/m. Тогда, выполнив преобразования над (1.11), получим:

.   (1.12)

Пример 1.11.

Предположим, что каждый год ежемесячно в банк помещается сумма в 1000. Ставка равна 12% годовых, начисляемых в конце каждого месяца. Какова будет величина вклада к концу 4-го года?

Общее количество платежей за 4 года равно: 4 x 12 = 48. Ежемесячная процентная ставка составит: 12 / 12 = 1%. Тогда:

.

Процентная ставка, равная отношению номинальной ставки r к количеству периодов начисления m, называется периодической.

Следует отметить, что периодическая ставка процентов может использоваться в вычислениях только в том случае, если число платежей в году равно числу начислений процентов.

 

Текущая (современная) стоимость простого аннуитета 

Под текущей величиной (стоимостью) денежного потока понимают сумму  всех составляющих его платежей, дисконтированных на момент начала операции.

Определение текущей стоимости  денежного потока, представляющего  собой простой аннуитет, покажем на следующем примере.

Пример 1.12.

Предположим, что  мы хотим получать доход, равный 1000 в год, на протяжении 4-х лет. Какая сумма обеспечит получение такого дохода, если ставка по срочным депозитам равна 10% годовых?

PV = 1000/l,10 + 1000/(l,10)² + 1000/(l,10)³ + 1000/(l,10)⁴ = 3169,87.

Общее соотношение для  определения текущей величины аннуитета  имеет следующий вид:

.   (1.13)

Нетрудно заметить, что  выражения в квадратных скобках  в (1.13) представляет собой множитель, равный современной стоимости аннуитета в 1 денежную единицу. Разделив современную стоимость PV денежного потока любого вида на этот множитель, можно получить величину периодического платежа CF эквивалентного ему аннуитета. Эта математическая зависимость часто используется в финансовом анализе для приведения потоков с неравномерными поступлениями к виду обыкновенного аннуитета.

Для случая, когда выплаты  сумм аннуитета и начисления процентов  совпадают во времени, т.е. j = m, удобно использовать соотношение вида:

.   (1.14)

Исчисление  суммы платежа, процентной ставки и числа периодов

Величину периодического платежа CF и числа периодов проведения операции n для обыкновенного аннуитета можно определить как из соотношения (1.9), так и (1.11).

Если известна будущая  стоимость FV, при заданных n и r величина платежа может быть найдена из (1.11):

.   (1.15)

При этом выражение  в квадратных скобках часто называют коэффициентом погашения или накопления (sinking fund factor).

Соответственно  если неизвестной величиной является n, она определяется по формуле:

.   (1.16)

В случае, если известна текущая стоимость аннуитета PV, формулы для определения CF и n примут следующий вид:

.   (1.17)

.   (1.18)

Выражение в квадратных скобках  в (1.17) называют коэффициентом восстановления или возмещения капитала (capital recovery factor).

Исчисление процентной ставки для денежных потоков в виде серии  платежей представляет определенные сложности. Используемые при этом итерационные методы обеспечивают получение лишь приближенной оценки и не рассматриваются в настоящей работе. Как будет показано в дальнейшем, современные табличные процессоры позволяют без особых затруднений определять этот важнейший параметр любой финансовой операции.

 

 Денежные потоки в виде серии платежей произвольной величины

Денежные потоки в виде платежей произвольной величины, осуществляемые через равные промежутки времени, представляют собой наиболее общий вид аннуитетов.

Типичными случаями возникновения  таких потоков являются капиталовложения в долгосрочные активы, выплаты дивидендов по обыкновенным акциям и др. Следует отметить, что анализ аннуитетов с платежами произвольной величины уже представляет определенные вычислительные сложности. Как правило, определяют наиболее общие характеристики таких аннуитетов - их будущую и современную стоимость. При этом предполагается, что все остальные параметры финансовой операции известны.

В случае, если поступления (выплаты) произвольных сумм осуществляются через равные промежутки времени, их будущую величину можно  определить из соотношения 1.19.

.   (1.19)

Современная стоимость потока с произвольными платежами определяется по следующей формуле:

.   (1.20)

Как уже было отмечено ранее, любой поток с произвольными  платежами может быть приведен к  виду аннуитета. Формула приведения может быть задана следующим образом: