Теория инвестиций

,   (2.4)

где F - цена погашения (как правило F = N).

Уравнение (2.4) решается относительно YTM каким-либо итерационным методом. Приблизительное значение этой величины можно определить из соотношения (2.5):

.   (2.5)

Доходность  к погашению YTM - это процентная ставка в норме дисконта, которая приравнивает величину объявленного потока платежей к текущей рыночной стоимости облигации. По сути, она представляет собой внутреннюю норму доходности инвестиции (internal rate of return - IRR). Здесь же мы рассмотрим, что реальная доходность облигации к погашению будет равна YTM только при выполнении следующих условий:

- облигация  хранится до срока погашения. 

- полученные купонные доходы  немедленно реинвестируются по ставке r = YTM.

Между доходностью  к погашению YTM и ставкой реинвестирования купонного дохода r существует прямая зависимость. С уменьшением r будет уменьшаться и величина YTM; с ростом r величина YTM будет также расти.

На величину показателя YTM оказывает влияние и цена облигации. Зависимость доходности к погашению YTM облигации со сроком погашения 25 лет и ставкой купона 6% годовых от ее цены Р показана на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Зависимость YTM от цены P

Нетрудно заметить, что зависимость здесь обратная. Сформулируем общие правила, отражающие взаимосвязи между ставкой купона k, текущей доходностью Y, доходностью к погашению YTM и ценой облигации Р:

• если P > N, k > Y > YTM;
• если P < N, k < Y < YTM;
• если P = N, k = Y = YTM.

Руководствуясь  данными правилами, не следует забывать о зависимости YTM от ставки реинвестирования купонных платежей, рассмотренной выше. В целом, показатель YTM более правильно трактовать как ожидаемую доходность к погашению.

Несмотря на присущие ему  недостатки, показатель YTM является одним из наиболее популярных измерителей доходности облигаций, применяемых на практике. Его значения приводятся во всех публикуемых финансовых сводках и аналитических обзорах. В дальнейшем, говоря о доходности облигации, мы будем подразумевать ее доходность к погашению.

 Оценка бескупонных облигаций (облигаций с нулевым купоном)

В отличие от купонных, данный вид облигаций не предусматривает периодических выплат процентов. Поскольку доход по ним образуется в виде разницы между ценой покупки и ценой погашения, бескупонные облигации размещаются на рынках только со скидкой (с дисконтом). Соответственно рыночная цена такой облигации всегда ниже номинала. Иногда бескупонные облигации называют также дисконтными.

Следует отметить, что отечественный рынок бескупонных  облигаций представлен, в основном, краткосрочными государственными (ГКО), республиканскими (РКО), областными (ОКО) и муниципальными (МКО) ценными бумагами, методы анализа которых будут рассмотрены в следующей главе. Долгосрочные бескупонные облигации на момент написания данной работы на фондовых рынках России отсутствовали.

Тем не менее, этот вид долгосрочных обязательств достаточно перспективен и пользуется большой  популярностью у инвесторов в  развитых странах, поскольку он не несет  риска, связанного с реинвестированием  периодических доходов в условиях колебаний процентных ставок на рынке. Кроме того, часто держатели этих бумаг получают определенные налоговые преимущества.

Оценка стоимости бескупонных  облигаций

Процесс оценки стоимости бескупонной облигации  заключается в определении современной величины элементарного потока платежей, по известным значениям номинала N, процентной ставки r и срока погашения n. Пусть r = YTM. С учетом принятых обозначений, формула текущей стоимости (цены) подобного обязательства примет следующий вид:

.   (2.18)

Поскольку номинал бескупонной  облигации принимается за 100%, ее курсовая стоимость равна:

.   (2.19)

Пример 2.12.

Какую цену заплатит инвестор за бескупонную  облигацию с номиналом в 1000,00 и погашением через три года, если требуемая норма доходности равна 4,4%?

1000 / (1 + 0,044)³ = 878,80.

Из приведенных соотношений  следует, что цена бескупонной облигации  связана обратной зависимостью с  рыночной ставкой r и сроком погашения n. При этом чем больше срок погашения облигации, тем более чувствительней ее цена к изменениям процентных ставок на рынке.

Облигации с нулевым купоном  представляют интерес для инвесторов, проводящих операции с четко определенным временным горизонтом.

Доходность долгосрочных бескупонных облигаций

Поскольку единственным источником дохода здесь является разница между  ценой покупки и номиналом (ценой  погашения), проведение операций с бескупонными облигациями порождают элементарный поток платежей. В данном случае подобный поток характеризуется следующими параметрами: ценой покупки P (современная стоимость облигации), номиналом N (будущая стоимость), процентной ставкой r (норма доходности) и сроком погашения облигации n. Напомним, что любой параметр операции с элементарным потоком платежей может быть найден по известным значениях трех остальных (см. главу 1). Однако поскольку номинал облигации всегда известен (или может быть принят за 100%), для определения доходности операции достаточно знать две величины - цену покупки P (либо курс К) и срок погашения n.

Тогда доходность к погашению бескупонной  облигации можно определить по следующей формуле:

.   (2.17)

Пример 2.11.

Бескупонная облигация с номиналом  в 1000,00 и погашением через три  года приобретена по цене 878,00. Определить доходность облигации к погашению.

(или 4,4%).

Из (2.17) следует, что доходность бескупонной  облигации YTM находится в обратной зависимости по отношению к цене P и сроку погашения n.

Бессрочные облигации 

Согласно отечественному законодательству, срок погашения выпускаемых в стране долговых обязательств не может превышать 30 лет. Таким образом, для существования в России облигаций с более длительным периодом погашения в настоящее время нет даже юридических оснований.

Вместе с тем, бессрочные облигации (perpetuity bond) не являются особой экзотикой в развитых странах. В качестве их эмитентов выступают как правительства, так и крупные корпорации.

Примерами государственных  бессрочных облигаций могут служить  британские консоли, выпущенные в начале XIX века, а также французская рента. Однако следует отметить, что в  настоящее время рынок бессрочных обязательств представлен, в основном, 100-летними облигациями крупнейших корпораций.

Доходность бессрочных облигаций

Так как срок обращения подобных облигаций очень большой, для  удобства анализа делается допущение  о бесконечности приносимых ими  периодических доходов. При этом выплата номинала (погашение облигации) в обозримом будущем не ожидается и единственным источником получаемого дохода считаются купонные платежи.

Поскольку купонные доходы по облигации  постоянны, а их число очень велико, подобный поток платежей называют вечной рентой или вечным аннуитетом (perpetuity annuity).

Определим текущую доходность Y бессрочной облигации. Она равна:

,   (2.20)

где k - годовая ставка купона; N - номинал; P - цена; K - курсовая стоимость (цена).

Для определения доходности к погашению YTM бессрочной облигации можно использовать следующее соотношение:

,   (2.21)

где m - число купонных выплат в год.

Нетрудно заметить, что в случае, если купонные выплаты производятся один раз в год, доходность к погашению  равна текущей, т.е. при m = 1, YTM = Y. Рассмотрим следующий пример.

Пример 2.14.

Облигация фирмы IBM со сроком обращения 100 лет была куплена по курсу 92,50. Ставка купона равна 7,72%, выплачиваемых  раз в полгода. Определить доходность операции.

Y = 100(0,772 / 92,50) 0,0834, или около 8,3%.

YTM = (1 + (0,772 / 2)(100 / 92,50))² - 1 0,0852, или около 8,5%.

Как следует из полученных результатов, и текущая, и доходность к погашению  данной облигации выше купонной.

Оценка стоимости бессрочных облигаций

Текущая стоимость бессрочной облигации  может быть определена из предположения, что генерируемый ею поток платежей представляет собой вечную ренту (аннуитет). Запишем формулу для определения текущей стоимости PV подобного аннуитета:

.   (2.22)

Умножим обе части (2.22) на (1 + r):

   (2.23)

Вычтем из (2.23) выражение (2.22):

.

Поскольку . Откуда:

.    (2.24)

Если платежи  осуществляются m-раз в год, формула  исчисления текущей стоимости вечной ренты примет следующий вид:

.   (2.25)

Определим текущую  стоимость 100 единиц облигации из примера 2.14, исходя из требуемой нормы доходности в 8,5%.

Таким образом, при YTM = 8,5%, цена, уплаченная за облигацию  в примере 2.14, была несколько ниже ее текущей стоимости.

Рассмотренные методы оценки могут быть также использованы для анализа привилегированных или обыкновенных акций, если по ним выплачивается постоянный дивиденд.

Ценные бумаги с выплатой процентов в момент погашения

К долгосрочным ценным бумагам с выплатой процентов  в момент погашения относятся некоторые виды облигаций и депозитные сертификаты. Поскольку в настоящее время подобные облигации отсутствуют на российских фондовых рынках, техника анализа обязательств данного класса будет рассмотрена на примере долгосрочных депозитных сертификатов.

Депозитный сертификат - это письменное свидетельство эмитента о вкладе на его имя денежных средств, удостоверяющее право владельца бумаги на получение по истечении оговоренного срока суммы вклада и начисленных процентов.

С точки зрения инвестора, операция по приобретению депозитного  сертификата во многом схожа с помещением денег на срочный вклад. Однако в отличие от средств на срочном вкладе, в условиях развитого финансового рынка депозитные сертификаты в любой момент могут быть проданы и обладают, таким образом, более высокой ликвидностью.

Согласно российскому законодательству, право на выпуск сертификатов имеют только банки. При этом разрешена эмиссия двух видов сертификатов - депозитных (срок обращения от 30 дней до 1 года) и сберегательных (срок обращения до 3-х лет).

На бланке сертификата  обязательно указываются: сумма вклада (номинал); дата вклада; безусловное обязательство банка вернуть внесенную сумму; дата выплаты вклада; ставка процента по вкладу; сумма причитающихся процентов; реквизиты банка и др.

Юридическое или  физическое лицо, владеющее сертификатом, именуется бенефициаром.

Согласно российскому  законодательству, бенефициарами сберегательных сертификатов могут быть только физические лица, а депозитных - только юридические [12].

Как и ранее в данной главе, при  рассмотрении методов анализа обязательств с выплатой процентов в момент погашения, мы будем полагать, что срок операции превышает 1 год. В дальнейшем по ходу изложения используется термин долгосрочный сертификат. Вместе с тем, рассмотренные ниже методы пригодны для анализа любых долгосрочных обязательств с выплатами процентов в момент погашения.

Анализ доходности долгосрочных сертификатов

В случае, если срок погашения подобного  обязательства превышает один год, на основную сумму долга (номинал) периодически начисляются (но не выплачиваются!) проценты. По истечению срока операции начисленные проценты выплачиваются одной суммой вместе с номиналом. Поскольку процентные выплаты будут получены только в момент погашения, текущую доходность Y подобных обязательств можно считать равной 0.

Нетрудно заметить, что как и  в случае бескупонных облигаций, здесь мы имеем дело с элементарным потоком платежей, характеризуемым  четырьмя параметрами: будущей стоимостью (суммой погашения) FV, текущей стоимостью PV, сроком погашения n и процентной ставкой r. Базовое соотношение для исчисления будущей стоимости такого потока платежей вам уже хорошо известно:

,

или в случае m начислений в году

,

где r - ставка по обязательству.

Тогда доходность к погашению YTM можно  определить из следующего соотношения:

.   (2.26)

На практике долгосрочные сертификаты (или им подобные облигации) могут  продаваться на вторичных рынках по ценам, отличающимся от номинала. Поэтому в общем случае доходность к погашению YTM удобно выражать через цену покупки P или курсовую стоимость K обязательства:

.   (2.27)

Из (2.27) следуют следующие правила  взаимосвязи доходности к погашению  и курсовой стоимости (цены покупки) обязательства:

если P < N (K < 100), то YTM > r;

если P = N (K = 100), то YTM = r;

если P > N (K > 100), то YTM < r.

Справедливость приведенных правил будет показана ниже, в процессе решения практического примера  с ППП EXCEL.

Оценка стоимости долгосрочных сертификатов

Цена долгосрочного обязательства с выплатой процентов в момент погашения равна современной стоимости генерируемого потока платежей, обеспечивающей получение требуемой нормой доходности (доходности к погашению). С учетом принятых обозначений, цена покупки Р и курс К обязательства исходя из величины доходности к погашению YTM будут равны:

,   (2.28)

.   (2.29)

Из приведенных соотношений  следует, что при r < YTM, цена (курс) обязательства будет ниже номинала (т.е. оно будет продано с дисконтом). Соответственно если r > YTM, цена (курс) будет больше номинала и оно будет продаваться с премией. При этом по мере увеличения срока погашения n курс обязательства будет расти экспоненциально.

Следует отметить, что единственное обязательство рассматриваемого класса, существующее в настоящее время в России - долгосрочный сберегательный сертификат, не котируется на фондовых рынках и может быть приобретен у эмитента только по номиналу.

4. Дюрация и выпкулость

До  сих пор мы принимали во внимание только одну временную характеристику облигаций - срок погашения n. Однако для обязательств с выплатой периодических доходов не менее важную роль играет еще один временной показатель - средневзвешенная продолжительность платежей, или дюрация.