Моделирование и оптимизация технологических процессов легкой промыш-ленности

Цель курсовой работы – изучение математических методов моделирования и оптимизации, применение их в Ехсеl.

Задачей курсовой работы является выбор наиболее эффективного математического метода оптимизации осуществление статистической оптимизации с использованием ЭВМ, облегчающей решение сложных оптимизационных задач.

 

1 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ ОДНОМЕРНОЙ ЦЕЛЕВОЙ ФУНКЦИИ.

 

1.1 Моделирование  одномерной целевой функции

1.1.1 Определение уравнения линейной регрессии

Регрессия является линейной в том случае, если уравнение имеет  вид:

Y = b +                                                (1)

Для получения уравнения регрессии необходимо:

- определить значения коэффициентов регрессии b, m_i;

- оценить достоверность полученного уравнения.

Для определения уравнения  регрессии в Excel существует функция ЛИНЕЙН( ). В нее необходимо ввести исходные данные в следующем формате:

=ЛИНЕЙН(интервал  значений у; блок значений х_i; константа;

статистика).

Вместо слов “константа”  и “статистика” в функцию вводят ИСТИНА или ЛОЖЬ в зависимости от представления результатов вычисления:

	ИСТИНА	ЛОЖЬ
Константа	b≠0	b=0
Статистика	Оценка достоверности	Оценки нет

 

Для определения уравнения  линейной регрессии с помощью  таблицы Excel выделяем блок пустых ячеек, в котором :

строк – всегда 5;

столбцов - (n+1),

где n – число аргументов.

Для данного задания  число столбцов равно (1+1)=2.

В левую верхнюю ячейку выделенного блока вводим функцию ЛИНЕЙН( ), с соответствующими параметрами, нажимаем <Shift+Ctrl+Enter>. На экране результат вычислений.

Смысл полученных величин  представлен в таблице 1.

 

Таблица 1 – Результаты вычисления коэффициентов уравнения линейной

регрессии

mn	mn-1	…	m1	b
σ[mn]	σ[mn-1]	…	σ[m1]	σ[b]
R2	σ[g]
Fрасч	df
SSreg	SSresid

 

где b, m_1, m_n-1, m_n – коэффициенты уравнения регрессии;

σ[b], σ[m₁], σ[m_n-1], σ[m_n] – средние квадратические отклонения полученных величин;

R² – коэффициент детерминации;

df – число степеней свободы, определяемое по формуле

df = k-(n+1),

где k – число строк в таблице исходных данных (число значений);

n – число аргументов (число х);

SS_reg – регрессионная сумма квадратов;

SS_resid – остаточная сумма квадратов.

Для нашего случая df = 10-(1+1) = 8.

Уравнение линейной регрессии, полученное с помощью функции ЛИНЕЙН( ) имеет вид:

Y = 354,47887 -1,13107*х.

В нашем случае R²=0,522552, т.е. близко к 1, следовательно, R² имеет среднюю адекватность и уравнение регрессии достоверно. Расчет коэффициентов линейной регрессии приведен в таблице 2 приложения А.

С помощью F-распределения определяем вероятность (1- α) существования зависимости у от х.

Выбираем ячейку для  определения величины α, вызываем Мастер функций, Статистические, FРАСП. В диалоговое окно вводим следующие величины:

х = F_расч = 8,755739;

степени свободы 1 = число  аргументов = 1;

степени свободы 2 = df = 8;

В соседней ячейке определяем вероятность (1- α).

Для опреденения β – вероятности того, что значения b и m_i достоверны, используем статистическую функцию СТЬЮДРАСП, в диалоговое окно которой вводим следующие величины:

х = t_i;

степени свободы = df;

хвосты = 2.

Определяем (1-β) – вероятность того, что значения коэффициентов регрессии достоверны.

В результате получили значение (1- α) = 0,99, следовательно, зависимость у от х велика, уравнение достоверно. Оценка достоверности уравнения регрессии представлена в таблице 2 приложения А.

Значения (1-β) также равны  либо очень близки к 1-це, следовательно коэффициенты регрессии значимы. Оценка значимости коэффициентов регрессии представлена в таблице 4 приложения Б.

1.1.2 Определение уравнения нелинейной регрессии

Для нахождения уравнения нелинейной регрессии в Excel применяется функция ЛГРФПРИБЛ( ), которая обеспечивает получение уравнения регрессии в виде:

у = b∙m₁^х1∙m₂^x2∙…∙m_n^xn         (2)

Для определения уравнения  нелинейной регрессии с помощью  таблицы Excel, как и для определения линейной регрессии, выделяем блок пустых ячеек с числом столбцов (1+1) = 2 и с 5-ю строками.

В левую верхнюю ячейку выделенного блока вводим функцию ЛГРФПРИБЛ ( ) с соответствующими параметрами и нажимаем <Shift+Ctrl+Enter>. Значения полученных величин сводятся в таблицу, аналогичную таблице результатов при определении линейной регрессии, но вместо значений σ[b], σ[m_i] даны их логарифмы.

Уравнение, полученное с помощью функции ЛГРФПРИБЛ( ) имеет вид:

Y = 367,208*0,9958^Х

В нашем случае R² = 0,532009 т.е. близко к 0, следовательно, R² неадекватно и уравнение регрессии недостоверно. Все последующие расчеты не выполняются. Применение этой функции дает неудовлетворительные результаты.

Расчет коэффициентов нелинейной регрессии приведен в таблице 3 приложения А.

1.1.3 Определение уравнения нелинейной регрессии в форме пользователя

Так как достоверность  уравнений, полученных с помощью  функций ЛИНЕЙН () и ЛГРФПРИБЛ (), довольно низкая, то уравнение регрессии находим в виде функции, вид которой назначает пользователь.

Найдем уравнение регрессии  в виде полинома 2-го порядка:

y = b + m₁x₁ + m₂x₂ + m₃x₁² +m₄x₂² + m₅x₁x₂     (3)

Для определения уравнения  нелинейной регрессии в форме пользователя с помощью Excel заполняем таблицу 4 приложения А. Выделяем блок ячеек: (1+1) столбцов и 5 строк. В левую верхнюю ячейку выделенного блока вводим функцию ЛИНЕЙН ( ) с соответствующими параметрами, нажимаем <Shift+Ctrl+Enter>.

Уравнение, полученное с помощью функции ЛИНЕЙН ( ) имеет вид:

у = -0,1915 + 11,8149 * х – 5,1994 * х².

 

 

Вставить

 

 

 

Значение R² = 0,9952 близко к 1, следовательно, R² адекватно и уравнение регрессии достоверно.

Расчет коэффициентов нелинейной регрессии в форме пользователя приведен в таблице 5 приложения А.

Оцениваем достоверность  уравнения регрессии. Это производится с помощью F-распределения, которое определяет α – вероятность того, что зависимость у от х_i отсутствует.

Следовательно, (1 – α) – это вероятность того, что такая зависимость существует.

Выбираем ячейку для  определения величины α, вызываем Мастер функций, Статистические, FРАСП. В диалоговое окно вводим следующие величины:

х = F_расч = 519,991;

степени свободы 1 = число  аргументов = 2;

степени свободы 2 = df = 5;

Определяем вероятность (1- α).

Для оценки значимости коэффициентов  регрессии используется критерий Стьюдента:

t_i = m_i/ σ_i .           (4)

Для опреденения β – вероятности того, что значения b и m_i недостоверны, используем статистическую функцию СТЬЮДРАСП, в диалоговое окно которой вводим следующие величины:

х = t_i;

степени свободы = df;

хвосты = 2 (это признак  двухстепенного распределения Стьюдента).

Определяем (1-β) – вероятность того, что значения коэффициентов регрессии достоверны.

В результате получили значение (1-α) очень близкое к 1-це, следовательно, зависимость у от х велика, уравнение достоверно. Оценка достоверности уравнения регрессии представлена в таблице 6 приложения А.

Значения (1-β) также очень  близки к 1-це, следовательно, коэффициенты регрессии значимы. Оценка значимости коэффициентов регрессии представлена в таблице 7 приложения А.

Чтобы определить характер зависимости, описываемой уравнением регрессии, это уравнение можно представить графически. На панели инструментов выбираем Мастер диаграмм. На шаге 1 выбрали Точечная. На шаге 2 задали диапазон диаграммы. На шаге 3 обозначили оси координат, название диаграммы. На шаге 4 определили место расположения диаграммы – на имеющемся листе. График уравнения регрессии представлен на рисунке 1 в приложении А.

1.2 Оптимизация  одномерной целевой функции

1.2.1 Аналитический метод определения оптимума одномерной целевой функции

Задачи оптимизации, в которых целевая функция задана функцией одной переменной, относится к наиболее простому типу оптимизационных задач – задач одномерной оптимизации.

Если в задаче оптимизации  отсутствуют ограничения, и она  имеет вид F(Х) min;  Х € Rⁿ , то она называется задачей безусловной оптимизации.

Аналитический метод  оптимизации состоит из необходимых  условий оптимизации и достаточных условий.

Необходимым условием первого  порядка существования оптимума всюду дважды дифференцируемой функции F(Х) в точке Х^* является выражение равенство нулю первой производной функции в данной точке

,                                                          (5)

Любую точку Х^*, в которой выполняется равенство (3), называется стационарной точкой функции F(Х). Среди стационарных точек могут оказаться точки максимума, минимума и перегиба.

Если линия L вблизи точки М лежит по обе стороны касательной К, то точка М называется точкой перегиба.

Для определения различия указанных видов стационарных точек необходимо использовать достаточные условия оптимальности второго порядка: когда в точке Х^* первые (n-1) производные целевой функции равны нулю, а производная порядка n отлична от нуля, то:

1) при нечетном n в точке Х^* будет точка перегиба;

2) при четном n в точке Х^* будет точка локального минимума или максимума;

3) если четная производная  положительна

;                                                 (4)

то Х^* – точка локального минимума; если четная производная отрицательна

,                                                  (5)

то Х^* - точка локального максимума

В данной курсовой работе целевая функция имеет вид   

у = 11,4569 * х - 5,052 * х².

Находим стационарные точки. Для этого вычисляем 1–ю производную и приравняем ее к нулю:

.

Отсюда получаем стационарную точку:

Х* = 1,1339.

Для определения ее типа найдем вторую производную и ее знак в этой точке:

 < 0.

Так, согласно достаточным условиям существования оптимума, Х^* – точка локального максимума.

1.2.2 Численный метод деления пополам определения оптимума одномерной целевой функции

Решаемая численным методом одномерная задача имеет вид

F(Х) extr; a ≤ X ≤ b,           (6)

где Х – скалярная (одномерная) переменная;

      a, b – границы интервала, в пределах которого изменяется параметр Х.

Численные методы состоят  в вычислении функции F(Х) в пределах интервала (a;b), который называется интервалом неопределенности. Любой из методов приводит к сокращению интервалов неопределенности до заданной величины ε, которая определяет точность поиска.

Методы, в которых координаты пробных точек известны до начала поиска, называют одновременными (параллельными), а методы, в которых положение пробных точек определяется в процессе поиска, называют последовательными.

Численные методы основаны на предположении, что функция F(Х) унимодальна, т.е. имеет единственный экструмум на отрезке (a;b).

Все численные методы основаны на итерационных алгоритмах.

Алгоритм – это однозначно определенная последовательность действий, приводящая к решению задач. Алгоритм называется итерационным, если решение достигается в конце последовательности приближенных решений, получаемых в результате неоднократного выполнения однотипных операций (итераций).

В методе деления пополам на начальном этапе значения целевой функции определяются в трех точках: х₁, х₂, х₃. Поиск продолжается, пока длина отрезка неопределенности не станет меньше заданной точности поиска ε.

Алгоритм метода деления пополам для поиска максимума