Моделирование и оптимизация технологических процессов легкой промыш-ленности

является выполнение следующих  условий

det₁ = a₁₁ > 0;

det₂ = > 0;                 (32)

det₃ > 0

и т.д. То есть, если все детерминанты положительны, то точка X* является точкой минимума.

Условием отрицательной  определенности матрицы Гессе является выполнение следующих неравенств:

det₁ = a₁₁ < 0;

det₂ = < 0;                (33)

det₃ < 0

и т.д.

То есть, если все детерминанты отрицательны, то точка X* является точкой максимума.

Если матрица Гессе  неопределенна, т.е. не выполняются  условия (32) и (33), то точка X* не является ни минимумом, ни максимумом функции.

Найдем координаты стационарных точек и определим их тип для целевой функции

F(х₁, х₂, х₃) = 303,103 – 23,143∙х₁ – 3,39∙х₂+ 13,327∙х₃ – 3,593∙х₂² – 3,133∙х₃²-1,338∙х₁∙х₂ – 1,038∙х₁∙х₃

1. Для использования необходимого условия первого порядка найдем градиент целевой функции F(X). Для этого вычислим частные производные

 = - 23, 143 – 1,337х₂ – 1,038х₃;

= -3, 39 – 7,186х₂ – 1,337х₁;

= 13,327 – 6,266х₃ – 1,038х_1.

F(X) = (- 23, 143 – 1,337х₂ – 1,038х₃; -3, 39 – 7,186х₂ – 1,337х₁; 13,327 – 6,266х₃ – 1,038х₁).

2. Приравниваем все  частные производные к нулю  и решаем систему уравнений.

Преобразуем данную систему

Данную задачу решаем с помощью Excel. Для этого необходимо ввести условия в форме таблицы 5 приложения Б. В столбце Левая часть вводим зависимости для левых частей данных уравнений. Помещаем курсор в нужную ячейку, вызываем Мастер функций, в окне Категория выбираем Математические, в окне Функции – СУММПРОИЗВ. В массив 1 вводим номера ячеек, где будут находиться значения переменных х1, х2, х3, в массив 2 - номера ячеек, где находятся коэффициенты для этих переменных. Аналогично вводим зависимости для всех уравнений системы.

Для нахождения значений переменных в меню Сервис выбираем Поиск решения. В окне Установить целевую ячейку удаляем адрес целевой ячейки.

В поле Изменяя ячейки вводим адреса ячеек, где будут рассчитаны значения переменных х1, х2, х3.

В окно Ограничения вводим следующие ограничения, выбрав параметр Добавить...:

адрес ячейки, где находится   =  адрес ячейки, где находится

левая часть уравнения    правая часть уравнения

Вводим ограничения для всех уравнений системы, вводим ОК. Вводим выполнить – значения переменных х₁, х₂, х₃ в искомых ячейках.

Расчет аналитическим методом с помощью Excel представлен в таблице 17 приложения Б.

Получили стационарную точку X*(58,758; -11,404; -7,607).

3. Из вторых частных производных  определяем матрицу Гессе

Н(Х) =                (34)

Н(Х) =

4. Определяем положительную  или отрицательную определенность  матрицы Гессе. Находим детерминанты

det₁ = 0;

det₂ = 0∙(-7,186) – (-1,337∙(-1,337)) = -1,788 < 0

det₃ = 0∙(-7,186∙(-6,266) – 0) + 1,337∙(-1,337∙(-6,266) + 1,038∙0) – 1,038∙(-1,337∙0 – 7,186∙1,038) = 18,943 > 0

Таким образом, в данном случае не выполняется ни одно из условий  определенности и точка X*(58,758; -11,404; -7,607) не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. Следовательно, данную задачу нельзя решить аналитическим методом.

2.2.2 Диссоциативно-шаговый  метод определения оптимума многомерной целевой функции

В основе диссоциативно-шагового метода лежит принцип диссоциации (распада) многомерной целевой функции F(x₁, …, x_j, …, x_n) на n взаимосвязанных квазиодномерных целевых функций W_j, j = 1,…, n и шаговый анализ последних. При этом квазиодномерная модель на первом этапе выбирается так, чтобы она давала однозначный (или содержащий альтернативу) ответ по определению x_jнаиб или x_jmax, обеспечивающий наибольшее значение F(X).

После подстановки x_jнаиб в оставшиеся n-1 моделей типа (35) делается следующий шаг.

F(x_i,…, x_n) – b_{0, i, …, n} = (b_j + )x_j + b_jjx_j²,             (35)

где b_{0, i, …, n} – свободный член, отражающий размещение x_i,…, x_n на некоторых уровнях (желательно на оптимальных).

Алгоритм диссоциативно-шагового метода (при максимизации целевой функции).

1. Многомерную полиномиальную целевую функцию 2-го порядка преобразуют в систему квазиодномерных моделей, представляющих параболы:

                (36)

2. Из системы (36) квазиодномерных моделей выбирают любую, в которой выполняются условия

b_jj ≥ 0, |b_j| ≥ ∑|b_ji|.                 (37)

При этих условиях наибольшее значение функции F (Х) приходится на границы допустимой области, т. е. х₁ может принимать одно из двух значений + 1 или – 1. Знак b₁ в модели определяет знак граничного значения, т. е. b₁ < 0 соответствует x_1наиб = – 1, а b₁ > 0 – x_1наиб = 1.

3. Подставляют значение x_1наиб = 1 или x_1наиб = – 1 в остальные квазиодномерные модели системы (36) и после приведения одинаковых членов получают квазиодномерные (без переменной х₁) модели W_2/1⁽⁺⁾,…, W_n/1⁽⁺⁾ или W_2/1^(-),…, W_n/1^(-).

4. Вновь проводят операции  п. 2 и 3 до тех пор, пока из системы (36) не будут исключены все квазиодномерные модели, удовлетворяющие условиям (37), и при этом определены x_1наиб, ..., x_kнаиб  и модели W_(k+1)/1⁽⁺⁾_/…/k⁽⁺⁾ или W_(k+1)/1^(-)_/…/k^(-).

Если в системе (36) отсутствуют модели, удовлетворяющие условиям (37), переходят к п. 5.

5. Из оставшихся n –k квазиодномерных моделей отбирают такие, которые удовлетворяют условиям

b_jj < 0, |b_j|+∑|b_ji| >2|b_jj|, |b_j| - ∑|b_ji| >2|b_jj|.              (38)

Для таких моделей W_(k+1), …W_m – экстремум целевой функции не находится в области –1 ≤ х_j ≤ 1 и наибольшее значение функции соответствует граничному значению х_j = – 1 при b_j < 0 и х_j = 1 при b_j > 0. Подставляют значение х_(k+1) = 1 или х_(k+1) = – 1 в остальные модели системы (36) и после приведения одинаковых членов получают квазиодномерные (без пе менных x₁,…, x_k,…, х_(k+1)) модели W_(k+2) ⁽⁺⁾_/(k+1)  ⁽⁺⁾_/…/n⁽⁺⁾ и W_(k+2) ^(-)_/(k+1)^(-)_/…/n^(-). Затем повторяют операцию п. 5 до тех пор, пока из системы (36) не будут исключены все модели, удовлетворяющие условиям (38), и при этом определены х_(k+2),…,х_m и модели W_m⁽⁺⁾_/(k+1)  ⁽⁺⁾_/…/n⁽⁺⁾ или W_m ^(-)_/(k+1)  ^(-)_/…/n^(-). Если в системе (36) отсутствуют модели, удовлетворяющие условиям (38), переходят к п. 6.

6. Из оставшихся n – m квазиодномерных моделей отбирают такие, которые удовлетворяют условиям

|b_jj| ≥ 0, |b_j| < ∑|b_ji| при b_j >< 0.               (39)

При этих условиях наибольшее значение целевой функции может находиться в диапазоне двух конкурирующих граничных значений х_(m+1) = 1 и х_(m+1) = – 1, поэтому дальнейший поиск ведут раздельно для каждого из этих значений, осуществляя операции п. 2—6, если получаемые при этом модели удовлетворяют условиям (37) – (39).

Значения граничных конкурирующих переменных подставляют в целевую функцию и сравнивают ее значения. Если

F(х_(m+1)⁽⁺⁾, х_m^(-), …, х_(r-1)^(-)x_r⁽⁺⁾) > F(х_(m+1)^(-), х_m⁽⁺⁾, …, х_(r-1)⁽⁺⁾x_r^(-)),

то значения переменных х_(m+1)⁽⁺⁾, х_m^(-),…,х_(r-1)^(-), х_r⁽⁺⁾ принимают за оптимальные так как они соответствуют наибольшему значению целевой функции из двух конкурирующих значений. Если в системе (36) отсутствуют модели, удовлетворяющие условиям (39), переходят к п. 7.

7. Из оставшихся n – r квазиодномерных моделей системы (36) отбирают такие, которые удовлетворяют условиям

b_jj < 0, |b_j|+∑|b_ji| < 2|b_jj|,                (40)

При выполнении этих условий  для любого значения b_j > < 0 модели W_(r+1), …,W_s имеют экстремум х_(r+1),…,х_s в област – 1 ≤ x_j ≤ 1, определяемый по формуле

                 (41)

которая получена с использованием необходимого условия экстремума для функции (35), т. е.

               (42)

Значение х_(r+1), полученное по формуле (41) в соответствии с моделью W_(r+1), подставляют в модели W_(r+2), …W_s и тем самым исключают переменную х_(r+1) в этих моделях. Эту же операцию повторяют для остальных моделей вплоть до W_s, из которых будут исключены переменные х_(r+2),…,х_(s-1).

Если в системе (36) отсутствуют модели, удовлетворяющие условиям (40), переходят к п. 8.

8. Для оставшихся n - s квазиодномерных моделей системы (36) проверяют последние возможные условия определения оптимального значения для целевой функции:

b_jj < 0, |b_j|+ ∑|b_ji| >2|b_jj|, |b_j|- ∑|b_ji|<2|b_jj|.             (43)

В этом случае экстремум  проходит через границу х_j = –1 или х_j = –1 допустимой области и должен быть описан кусочно-линейной функцией.

Определим диссоциативно-шаговым  методом оптимум данной целевой  функции:

F(х₁, х₂, х₃) = 303,103 – 23,143∙х₁ – 3,39∙х₂+ 13,327∙х₃ – 3,593∙х₂² – 3,133∙х₃²-1,338∙х₁∙х₂ – 1,038∙х₁∙х₃

Преобразуем функцию в систему квазиодномерных моделей:

Модель W₃ удовлетворяет условиям (38), т.е.

b₃₃ = - 3,133 < 0;

(|b₃|+∑|b_3i| = 13,327 + 1,038 = 14,365) >(2|b₃₃|= 2*3,133 = 6,266);

(|b₃| - ∑|b_3i| = 13,327 – 1,038 = 12,289) > (2|b₃₃| = 6,266)

Следовательно, наибольшее значение функция будет иметь  при х₃ = 1, т.к. b₃ > 0. В данном случае натуральное значение 1-цы равно 1,682, т.е.

х₃ = 1,682.

После подстановки значения х₃ = 1,682 в модель W₁ получаем

W_1/3⁽⁺⁾ = -23,143x₁ – 1,337x₁x₂ – 1,038*1,682x₁ = -24,889x₁ – 1,337x₁x₂

Модель W₂ удовлетворяет условиям (40), т.е.

b₂₂ = -3,593 < 0;

(|b₂|+∑|b_2i| = 3,390 + 1,337 = 4,727) < (2|b₂₂| = 2*3,593 = 7,186)

Следовательно, функция имеет наибольшее значение в области – 1 ≤ x_j ≤ 1, определяемое по формуле (41):

Подставляя значение в модель W_1/3, получаем:

W_1/3⁽⁺⁾/₂ = –24,889x₁ – 1,337x₁(– 0,472 – 0,186х₁) = –24,258x₁ + 0,249x₁²

Модель W_1/3⁽⁺⁾/₂ удовлетворяет условиям (37), т.е.

b₁₁ = 0,249 ≥ 0;

(|b₁| = 24,258) ≥ (∑|b_1i| = 0).

Следовательно, функция  имеет наибольшее значение при х₁ = – 1, т.к. b₁ < 0. В данном случае натуральное значение (–1) равно (– 1,682), т.е.

х₁ = – 1,682.

Подставляя значения х₁ = – 1,682 в модель W₂ получаем:

W₂ = – 3,390x₂ – 3,593x₂² + 1,337x₂*(– 1,682) = – 1,141x₂ – 3,593x₂²

Полученная модель удовлетворяет  условиям (40), т.е.

b₂₂ = -3,593 < 0;

(|b₂|+∑|b_2i| = 1,141) < (2|b₂₂| = 2*3,593 = 7,186)

Следовательно, функция имеет наибольшее значение в области – 1 ≤ x_j ≤ 1, определяемое по формуле (41):

Таким образом, получили натуральное значение x₂ = – 0,158

В результате проведенных  операций получили натуральные оптимальные значения х₁ = – 1,682 ед., x₂ = – 0,158 м/с, х₃ = 1,682мин ^–1 и максимальное значение целевой функции, равное

F(– 1,682; – 0,158; 1,682) = 358,6

2.2.3 Определение оптимума  многомерной целевой функции  с помощью электронной таблицы Excel

Для решения данной задачи выбираем четыре свободные ячейки одного столбца. В три верхние ячейки начиная сверху вниз будут записаны найденные значения х₁, х₂, х₃ соответственно. В нижнюю ячейку следует ввести формулу для расчета значения y, используя адреса ячеек для переменных х₁, х₂, х₃.

Для нахождения максимального значения функции выбираем ячейку, где введена формула для расчета y, в меню Сервис выбираем опцию Поиск решения.

В диалоговом окне устанавливаем  нужные параметры:

- в окне Установить целевую ячейку появится адрес ячейки у;

- в поле Изменяя ячейки вводим адреса ячеек, где будут рассчитаны значения переменных х₁,х₂, х₃.

- в окне Ограничения вводим следующие ограничения, выбрав параметр Добавить:

адрес ячейки, где находится х₁ ≥ адрес ячейки, где находится минималь- ное значение х₁;

адрес ячейки, где находится х₂ ≤ адрес ячейки, где находится максималь- ное значение х₂;

адрес ячейки, где находится х₃ ≤ адрес ячейки, где находится максималь- ное значение х₃.