Моделирование и оптимизация технологических процессов легкой промыш-ленности

1. На интервале неопределенности (a;b) находят 3 пробные точки с координатами х₁, х₂, х₃.

х₁ = a + 0,25(b – a) ,                                      (7)

x₂  = a + 0,5(b – a),                                     (8)

x₃ = a + 0,75(b – a).                                                (9)

2. В каждой из этих точек: х₁,х₂,х₃ определяют значения функции

F₁ = F(х₁);

F₂ = F(х₂);

F₃ = F(х₃).

3. Сравнивают значения функций в заданных точках:

- если максимальное значение находится в точке х₁, т.е. F₁>F₂ , F₁>F₃, то на следующей итерации рассматривают отрезок (а;х₂), а отрезок (х₂;b) исключают из дальнейших расчетов. При этом

a = a;

b = х₂;

х₂ = х₁;

F₂ = F₁.

- если максимальное значение находится в точке х₂, т.е. F₂>F₁, F₂>F₃, то на следующей итерации рассматривают отрезок (х₁;х₃), а отрезки (а;х₁) и (х₃;b) исключают из дальнейших расчетов. При этом

a = х₁;

b = х₃;

х₂ = х₂;

F₂ = F₂.

- если максимальное значение находится в точке х₃, т.е. F₃>F₁ , F₃>F₂, то на следующей итерации рассматривают отрезок (х₂;b), а отрезок (а;х₂) исключают из дальнейших расчетов. При этом

a = х₂;

b = b;

х₂ = х₃;

F₂ = F₃.

Во всех случаях в  итоге получается отрезок (a, b) в два раза меньше и точка х₂ в середине этого отрезка с известным значением функции F₂ в этой точке.

4. Проверяют необходимость следующей итерации:

– если (b - a) ≤ ε, то поиск прекращается, а точка Х*= ;

– если (b - a) > ε, то поиск продолжается, пункты 1-4 повторяются.

Найдем точку максимума  для одномерной целевой функции

F(х) = 11,4569 * х - 5,052 * х².

Исходные данные:

a = 0,4;

b = 1,8;

ξ = 0,01.

1. Определяем три точки интервала неопределенности (a,b):

х₁ = 0,4 + 0,25*(1,8-0,4) = 0,75;

х₂ = 0,4 + 0,5*(1,8-0,4) = 1,1;

х₃ = 0,4 + 0,75*(1,8-0,4) = 1,45.

2. Находим значения функции в этих точках:

F₁ = 11,4569*0,75 - 5,052*0,75² = 5,7509;

F₂ = 11,4569*1,1 - 5,052*1,1² = 6,4897;

F₃ = 11,4569*1,45 - 5,052*1,45² = 5,9909.

Точка максимума имеет  значение

Х* =

Результаты вычислений по приведенному алгоритму сведены в таблицу 8 приложения А.

1.2.3 Численный  метод золотого сечения определения  оптимума одномерной целевой функции

В тех случаях, когда на вычисление целевой функции требуются значительные затраты времени, более эффективным может оказаться другой метод оптимизации – метод золотого сечения. В этом методе на каждой итерации сравниваются значения целевой функции в точках х₁ и х₂, причем, одна из точек определяется на данной итерации, а другая со значением целевой функции в этой точке известна из предыдущей итерации.

Положение точек х₁ и х₂ определяется из следующих требований:

- точки должны находиться симметрично  относительно середины интервала;

- положение сохраняющейся точки  на сокращенном интервале должно  удовлетворять тем же пропорциям, что и на исходном интервале

1) х₁ – а = b - х₂

    х₂ – а = b – х₁;

2) Положение точки на следующем  интервале

х₁ – а так относится ко всему интервалу, как х₂ – а ко всему интервалу

_;                                                                                                                                                        (10)

_.                                                                                                                                                         (11)

Решая совместно уравнения (10) и (11) находим координаты точек х₁ и х₂

х₁ = а + (1-r)∙(b – a),                                                                                     (12)

х₂ = а + r∙(b – a),                  (13)

где r = 0,618, а (1-r) = 0,382.

Алгоритм метода золотого сечения для поиска максимума функции

1. На отрезке (a,b) определяем две точки по формулам (3) и (4).

2. Определяем значения  функции в этих точках

F₁ = F(Х₁);

F₂ = F(X₂).

3. Сравниваем значения  функции в данных точках

- если F₁ > F₂, то на следующем этапе рассматриваем отрезок (а,х₂). При этом

a = a;

b = х₂;

х₂ = х₁;

F₂ = F₁.

- если F₂ > F₁, то на следующем этапе рассматриваем отрезок (х₁,b). При этом

a = х₁;

b = b;

х₁ = х₃;

F₂ = F₃.

4. Проверяем необходимость следующей итерации:

- если (b-a) < ε, то поиск прекращают, а точка Х*= ;

- если (b-a) > ε, то поиск продолжают, пункты 1-4 повторяют.

Найдем данным методом точку  максимума одномерной целевой функции.

F(х) = 11,4569 * х - 5,052 * х².

Исходные данные:

a = 0,4;

b = 1,8;

ξ = 0,01.

1. Определяем точки  х₁ и х₂

х₁ = 0,4 + 0,382 * (1,8 – 0,4) = 0,9348;

х₂ = 0,4 + 0,618 * (1,8 – 0,4) = 1,2652.

2. Определяем значения  функции в этих точках

F₁ = 11,4569 * 0,9348 – 5,052 * 0,9348² = 6,2952;

F₂ = 11,4569 * 1,2652 – 5,052 * 1,2652² = 6,4084.

Точка максимума имеет  значение

Х* =

Результаты вычислений по приведенному алгоритму сведены в таблицу 9 приложения А.

1.2.4 Численный метод с использованием производной определения оптимума одномерной целевой функции

Данный метод использует дополнительную информацию – производную  функции в данных точках, что позволяет  сократить в два раза интервал неопределенности,

Алгоритм метода с использованием производной при  поиске максимума функции.

1. Определяют точку Х, которая является серединой отрезка (a,b)

Х =                    (14)

2. Определяют производную функции в этой точке

F’(X) = .                  (15)

3. Определяют знак производной  в данной точке

- если ≥ 0, то на следующем этапе исследуют отрезок (x,b), при этом

a = x;

b = b.

- если < 0, то на следующем этапе рассматривают отрезок (a,х), при этом

a = a;

b = b.

4. Проверяем необходимость следующей итерации.

- если полученный отрезок (b-a) < ε, то поиск прекращают, а точка максимума Х*= ;

- если полученный отрезок  (b-a) > ε, то поиск продолжают, пункты 1-4 повторяют.

Определим данным методом точку  максимума одномерной целевой функции 

F(Х) = 11,4569 * х – 5,052 * х².

Исходные данные:

a = 0,4;

b = 1,8;

ξ = 0,01.

1. Находим точку Х  – середину отрезка(a,b)

Х =

2. Определяем производную функции в этой точке

F’(X) = = 11,4569 – 1,0104 * х

F’(X*) = 11,4569 – 10,104 * 1,1 = 0,3425

Точка максимума имеет  значение

Х* =

Результаты вычислений по приведенному алгоритму сведены  в таблицу 10 приложения А.

1.2.5 Численный  метод Фибоначчи определения  оптимума одномерной целевой  функции

Метод Фибоначчи используется для минимизации (максимизации) унимодальной функции одной переменной на замкнутом ограниченном интервале (a; b). На первой итерации необходимо проводить два вычисления целевой функции, а на каждой последующей – только по одному. Метод Фибоначчи отличается большой скоростью сокращения длины интервала неопределенности  от итерации к итерации и выбором первых двух симметричных точек и гарантирует более точное приближение к точке экстремума Х* за n–1 итерацию.

Согласно методу Фибоначчи для начального интервала неопределенности (a₁; b₁) координаты двух симметричных точек в пределах этого интервала определяются по формулам

,                                                                          (16)

.                                                                          (17)

В соответствии с законом симметричного  расположения точек при сокращении интервала новый интервал неопределенности (a_k+1; b_k+1) будет определяться следующими координатами:

 если                                                                    (18)

 если                                                                    (19)

Когда определяется стационарная точка Х*, соответствующая максимуму F(x), расчет координат проводится по следующим формулам:

 при                                                      (20)

 при                                                       (21)

Для итерации k=n-1, как это следует из формул (20) и (21), получим

                                                                             (22)

и, следовательно, либо , либо , то есть теоретически на этой итерации не должно делаться новых вычислений целевой функции. Однако, чтобы обеспечить дальнейшее сокращение интервала неопределенности, точка последнего вычисления должна быть слегка перемещена вправо или влево от средней точки . Тогда будет длиной конечного интервала неопределенности . После n-1 итераций длина интервала неопределенности сократится от до . Следовательно, число вычислений необходимо выбрать таким, чтобы удовлетворялось условие .

 

 

Алгоритм метода Фибоначчи.

1. Выбрать допустимую конечную  длину интервала неопределенности L_n >0 и постоянную различимости, то есть точность определения точки стационарности ε > 0. Задать начальный интервал неопределенности (а₁, b₁) и выбрать число n вычислений так, чтобы .

2. Определить координаты двух симметричных точек в первой итерации (k=1) по формулам (20), (21).

3. Вычислить в этих точках  значения целевой функции  и – перейти к п.6.

4. Если  , перейти к п.5; если – перейти к п.6.

5. Положить  , рассчитать согласно формуле (21). Если k=n-2, перейти к п.8; иначе: вычислить и перейти к п.7.

6. Положить , рассчитать согласно формуле (20). Если k=n-2, перейти к п.8; иначе: вычислить и перейти к п.7.

7. Заменить k на k+1 и перейти к п.4.

8. Положить  и . Если , положить и ; иначе: если , положить и .

Остановиться, оптимальное решение содержится в интервале (а_n; b_n).

Определим данным методом  максимум одномерной целевой функции

F(х) = 11,4569 * х – 5,052 * х².

Исходные данные:

Длина исходного интервала неопределенности L = b – a = 1,4 при [0,4;1,8], длина последнего интервала L_n = 0,001, постоянная различимости равна ε = 0,0001.

Для того, чтобы длина последнего интервала неопределенности не превосходила 0,01, необходимо выполнение неравенства Ф_n > 1,4/0,01 = 140, из которого следует, что число итераций должно быть не менее 11 (n = 11).

Определяем координаты двух точек  при первой итерации по формулам (18) и (19).

х₁ = 0,4 + 1,4 * 55/144 = 0,935;

х₂ = 0,4 + 1,4 * 89/144 = 1,265.

Определяем значения целевой функции  в этих точках:

F(x₁) = 6,2956;

F(x₂) = 6,4086.

Так как F(x₁) < F(x₂), новый интервал неопределенности будет равен [0,4;1,265]. Результаты последующих вычислений по приведенному алгоритму приведены в таблице 8 приложения Г. Конечный интервал неопределенности [a₁₀;b₁₀] равен [1,1302;1,1345] и имеет длину L₂₂ = /1/. В результате вычислений функция имеет максимум в точке

Х* =

Решение уравнения методом  Фибоначчи приведено в таблице 11 приложения А.

1.2.6 Определение оптимума одномерной целевой функции с помощью электронной таблицы Excel

Для решения данной задачи выбираем две свободные ячейки. В одну ячейку будет записано найденное значение х₁, во вторую вводим формулу для расчета значения y, используя адрес ячейки для переменной х_1.