Моделирование и оптимизация технологических процессов легкой промыш-ленности

Для нахождения максимального  значения функции выбираем ячейку, где введена формула для расчета y, в меню Сервис выбираем опцию Поиск решения.

В диалоговом окне устанавливаем  нужные параметры:

- в окне Установить целевую ячейку появится адрес ячейки у;

- в поле Изменяя ячейки вводим адреса ячеек, где будут рассчитаны значения переменных х₁,х₂;

- в окне Ограничения вводим следующие ограничения, выбрав параметр Добавить:

адрес ячейки, где находится х₁ ≥ адрес ячейки, где находится минималь- ное значение х₁;

адрес ячейки, где находится х₁ ≤ адрес ячейки, где находится максималь- ное значение х₁.

После ввода последнего ограничения вместо Добавить вводим ОК.

После нажатия кнопки Выполнить найденные значения переменных х и y будут находится в искомых ячейках.

Результат нахождения оптимума (максимума) с помощью электронной таблицы Excel представлен в таблице 12 приложения А.

 

 

 

2 МОДЕЛИРОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ  МНОГОМЕРНОЙ ЦЕЛЕВОЙ     

  ФУНКЦИИ

2.1 Моделирование  многомерной целевой функции

2.1.1 Определение уравнения  линейной регрессии

Определение уравнения  линейной регрессии для многомерной целевой функции производим аналогично расчетам для одномерной целевой функции.

Выделяем блок пустых ячеек, состоящий из 5 сток и (3+1) = 4 столбцов. В левую верхнюю ячейку выделенного блока вводим функцию ЛИНЕЙН( ) с соответствующими параметрами: нажимаем <Shift+Ctrl+Enter>. На экране результат вычислений.

Уравнение линейной регрессии, полученное с помощью функции  ЛИНЕЙН( ) имеет вид:

y=298,51 - 23,1426х₁ - 3,39007х₂ + 13,32724х₃

В нашем случае R² = 0,963, т.е. R² адекватно и достоверность уравнения высокая. Расчет коэффициентов регрессии приведен в таблице 2 приложения Б.

С помощью F-распределения определяем вероятность (1- α) существования зависимости у от х.

Выбираем ячейку для  определения величины α, вызываем Мастер функций, Статистические, FРАСП. В диалоговое окно вводим следующие величины:

х = F_расч = 139,1906;

степени свободы 1 = число  аргументов = 3;

степени свободы 2 = df = 16;

В соседней ячейке определяем вероятность (1- α).

Для опреденения β – вероятности того, что значения b и m_i недостоверны, используем статистическую функцию СТЬЮДРАСП, в диалоговое окно которой вводим следующие величины:

х = t_i;

степени свободы = df;

хвосты = 2.

Определяем (1-β) – вероятность того, что значения коэффициентов регрессии достоверны.

В результате получили значение (1- α) = 1, следовательно, зависимость у от х велика, уравнение достоверно. Оценка достоверности уравнения регрессии представлена в таблице 3 приложения Б.

Значения (1-β) также равны либо очень близки к 1-це, следовательно коэффициенты регрессии значимы. Оценка значимости коэффициентов регрессии представлена в таблице 4 приложения Б.

2.1.2 Определение уравнения нелинейной регрессии

Определение уравнения  нелинейной регрессии для многомерной целевой функции производим аналогично расчетам для одномерной целевой функции.

Выделяем блок пустых ячеек с числом столбцов (3+1)=4 и с 5-ю строками. В левую верхнюю ячейку выделенного блока вводим функцию ЛГРФПРИБЛ( ) с соответствующими параметрами и нажимаем <Shift+Ctrl+Enter>. Значения полученных величин сводятся в таблицу, аналогичную таблице результатов при определении линейной регрессии, но вместо значений σ[b], σ[m_i] даны их логарифмы.

Уравнение, полученное с помощью функции ЛГРФПРИБЛ( ) имеет вид:

y=297,647∙0,925^х1∙0,988^х2∙1,046^х3

В нашем случае R²=0,962, т.е. близко к 1, следовательно, R² адекватно и достоверность уравнения высокая.

Расчет коэффициентов регрессии  приведен в таблице 5 приложения Б.

С помощью F-распределения определяем вероятность (1- α) существования зависимости у от х аналогично расчетам для линейной регрессии.

Для оценки достоверности  полученных коэффициентов регрессии  при определении критерия Стьюдента  необходимо перейти от значений b и m_i к их логарифмам ln(b) и ln(m_i)

t_i = ln(m_i)/ln(σ_i);                  (23)

t_i = ln(b)/ln(σ_b).                  (24)

Далее определяем вероятность достоверности коэффициентов регрессии (1-β) также, как и для линейной регрессии.

В результате получили значение (1- α) = 1, следовательно, зависимость у от х велика, уравнение достоверно. Оценка достоверности уравнения нелинейной регрессии представлена в таблице 6 приложения Б.

Значения (1-β) также равны либо очень близки к 1-це, следовательно коэффициенты регрессии значимы. Оценка значимости коэффициентов нелинейной регрессии представлена в таблице 7 приложения Б.

2.1.3 Определение уравнения нелинейной регрессии в форме пользователя

Определение уравнения  нелинейной регрессии в форме пользователя для многомерной целевой функции производим аналогично расчетам для одномерной целевой функции.

Заполняем таблицу 8 приложения Б. Выделяем блок ячеек: (9+1) = 10 столбцов и 5 строк. В левую верхнюю ячейку выделенного блока вводим функцию ЛИНЕЙН( ) с соответствующими параметрами, нажимаем <Shift+Ctrl+Enter>.

Уравнение, полученное с помощью функции ЛИНЕЙН( ) имеет вид:

у = 302,739 – 23,143∙х₁ – 3,39∙х₂+ 13,327∙х₃ + 0,446∙х₁² – 3,549∙х₂² – 3,089∙х₃²-1,338∙х₁∙х₂ – 1,038∙х₁∙х₃ – 0,763∙х₂∙х₃

Значение R² = 0,996 близко к 1, следовательно, R² адекватно и уравнение регрессии достоверно.

Расчет коэффициентов  регрессии приведен в таблице 9 приложения Б.

С помощью F-распределения аналогично расчетам для линейной регрессии, определяем вероятность (1- α) существования зависимости у от х, а также (1-β) – вероятность того, что значения коэффициентов регрессии достоверны.

В результате получили значение (1- α) = 1, следовательно, зависимость у от х велика, уравнение достоверно. Оценка достоверности уравнения регрессии представлена в таблице 10 приложения Б.

 

Но среди полученных значений (1-β) имеются значения , которые  значительно ниже 1-цы. Следовательно, не все коэффициенты регрессии значимы. Оценка значимости коэффициентов регрессии представлена в таблице 11 приложения Б.

Чтобы исправить это, необходимо исключить из таблицы 8 приложения Б столбец со значениями х, которому соответствует коэффициент с самой низкой достоверностью. В данном случае исключаем столбец со значениями (х₁²). Коэффициенты уравнения и вероятности (1- α) и (1-β) пересчитываются автоматически.

В результате получаем новое  уравнение регрессии

у = 303,103 – 23,143∙х₁ – 3,39∙х₂+ 13,327∙х₃ – 3,593∙х₂² – 3,133∙х₃²-1,338∙х₁∙х₂ – 1,038∙х₁∙х₃ – 0,763∙х₂∙х₃

Значение R² = 0,996 близко к 1, следовательно, R² адекватно и уравнение регрессии достоверно.

Полученное значение (1- α) = 1, следовательно, зависимость у от х велика, уравнение достоверно.

Среди пересчитанных  значений (1-β) опять имеются значения, которые значительно ниже 1-цы. Не все коэффициенты регрессии значимы.

Снова исключаем из таблицы 8 приложения Б столбец со значениями х, которому соответствует коэффициент с самой низкой достоверностью. Исключаем столбец со значениями (х₂*х₃). Таблица 8 принимает вид таблицы 12 приложения Б.

Коэффициенты уравнения  и вероятности (1- α) и (1-β) пересчитываются автоматически.

В результате получаем новое  уравнение нелинейной регрессии в форме пользователя

у = 303,103 – 23,143∙х₁ – 3,39∙х₂+ 13,327∙х₃ – 3,593∙х₂² – 3,133∙х₃²-1,338∙х₁∙х₂ – 1,038∙х₁∙х₃

Значение R² = 0,995 близко к 1, следовательно, R² адекватно и уравнение регрессии достоверно.

Расчет коэффициентов  регрессии приведен в таблице 13 приложения Б.

В результате пересчета  получили значение (1- α) = 1, следовательно, зависимость у от х велика, уравнение достоверно. Оценка достоверности уравнения регрессии представлена в таблице 14 приложения Б.

Пересчитанные значения (1-β) также либо равны, либо очень близки к 1-це, следовательно, коэффициенты регрессии значимы. Оценка значимости коэффициентов регрессии представлена в таблице 15 приложения Б.

Следовательно, полученное в третьем случае уравнение является окончательным.

Представим уравнение регрессии в форме пользователя графически. Так как в данном случае число переменных n > 1, то уравнение регрессии представляет собой поверхность. Графическое представление уравнений регрессии состоит из двух этапов:

- расчет таблицы по  уравнению регрессии;

- графическое представление  табличных данных.

Расчет таблицы  для функции двух переменных

1. Назначаем две ячейки, которые будут использоваться  как аргументы функции у = f(x₁,x₂), располагая ячейку с x₂ под ячейкой с x₁

2. В ячейку, которая располагается под ячейками для аргументов, вводим формулу для вычисления уравнения регрессии , вводя вместо x₁ и x₂ соответствующие ячейки. При при этом в данной ячейке появляется значение этой функции при x₁ = 0 и x₂ = 0.

3. Вводим значения x₁, для которых будет рассчитано значение функции, в ячейки, расположенные справа от ячейки с формулой, в той же строке. Для этого в первую из этих ячеек вводим начальное значение x₁ и выделяем необходимое число ячеек в той же строке, следующие за ней. В меню Правка выбираем Заполнить, Прогрессия…, По строкам. Водим шаг изменения аргумента x₁. Выделенные ячейки заполняются значениями x₁.

4. Вводим задаваемые  значения x₂ в ячейки столбца, расположенные под ячейкой с формулой. Для этого в первую из этих ячеек вводим начальное значение для x₂ , выделяем нужное число ячеек в этом столбце для ввода остальных значений x₂. Заполняем их аналогично, выбрав опцию По столбцам.

5. Выделяем полученную  таблицу, выбираем в меню Данные опцию Таблица подстановки. В диалоговое окно Таблицы подстановки вводим:

подставлять значения по столбцам в – ячейка для x₁;

подставлять значения по строкам в – ячейка для x₂.

На экране – вычисленные  значения функции у = f(x₁,x₂).

Рассчитанная таблица  для функции двух переменных представлена в виде таблицы 16 приложения Б.

Графическое представление табличных данных.

1. Выделяем полученную  таблицу.

2. Выбираем Мастер диаграмм. На шаге 1 выбираем Поверхность. Далее - аналогично графическому представлению одномерной целевой функции.

График уравнения нелинейной регрессии в форме пользователя представлен на рисунке 1 приложения Б.

2.2 Оптимизация  многомерной целевой функции

2.2.1 Аналитический метод определения  оптимума многомерной целевой функции

Существует многомерная целевая функция F(X) = F(x₁, x₂ …, x_n). дифференцируемая в точке X*(х₁*, х₂*…х_n*) Rn.

Необходимым условием существования  экстремума многомерной функции является выполнение следующего соотношения

=0,                   (25)

где j = 1, 2 …, n.

Или в векторной форме

F(X*) = 0.                  (26)

F(х₁*, х₂*…х_n*) = ( , …, ).              (27)

Стационарная точка X* может быть точкой максимума, минимума, а может не являться ни точкой максимума, ни точкой минимума.

Для выявления “посторонних” стационарных точек могут использоваться необходимые условия второго порядка: если точка X* соответствует локальному минимуму дважды дифференцируемой целевой функции F(X), то имеет место равенство (10) или (11) и, кроме того, справедливо условие

                                                                   (28)

или в векторной форме

{(X – X*)^ТН(X*)(Х - X*)} > 0,                (29)

для всех Х  R_n,

где Н(X*) – матрица Гессе, вычисленная в точке X* состоит из вторых частных производных

Н(X*) = ( … ) = ²F(X)             (30)

Условие (28) означает неотрицательную определенность матрицы Гессе.

Для исследования матрицы  Гессе на положительную или отрицательную  неопределенность используют критерий Сильвестра. Согласно этому критерию, условием положительной определенности матрицы Гессе

Н(Х) =                  (31)

где j = i = n,