Нелинейные системы. Метод исследования устойчивости В.М. Попова

 

dx1/dt=Ф1(x1,x2,…,xn,f,g),

dx2/dt=Ф2(x1,x2,…,xn,f,g),

                                                            …………………………                                                         (6)

dxn/dt=Фn(x1,x2,…,xn,f,g)

 

и начальными условиями

х1=х10, х2=х20,……………., хn=хn0 при t=0,

где х1,х2,…хn – переменные, являющиеся искомыми функциями времени, причем х1 может обозначать управляемую величину, а х2,...хn – вспомогательные переменные; f и g – возмущающее и задающее воздействия.

Пусть, например, в уравнениях (6) будет п = 3 (система третьего порядка). Переменные х1,х2,х3 здесь могут иметь любой физический смысл. Но условно их с можно представить как прямоугольные координаты некоторой точки М (рис. 4 а).

В реальном процессе управления в каждый момент времени величины х1, х2, х3 имеют вполне определенные значения. Это соответствует вполне определенному положению точки М в пространстве (рис. 4, а). С течением времени в реальном процессе величины х1, х2, х3 определенным образом изменяются. Это соответствует перемещению точки М в пространстве по определенной траектории. Следовательно, траектория движения точки М может служить наглядной геометрической иллюстрацией поведения системы в процессе управления.

Точка М называется изображающей точкой, ее траектория называется фазовой траекторией, а пространство (х1, х2, х3) называется фазовым пространством .

Так как производные по времени от координат точки представляют проекции ее скорости V на оси координат, то дифференциальные уравнения системы в форме (6)  представляют собой выражения для проекций скорости V изображающей точки М (рис 4, а) на оси координат. Следовательно, по значениям правых частей уравнений ( 6 ) в каждый момент времени можно судить о направлении движения изображающей точки М, а вместе с тем и о поведении соответствующей реальной системы.

Начальные условия (х10, х20, х30) определяют координаты начальной точки фазовой траектории М0 (рис. 4 ,а)

Если переменных в уравнениях ( 6 ) будет всего две: х1 и х2 (система второго порядка), то изображающая точка будет двигаться не в пространстве, а на плоскости (фазовая плоскость).

Если переменных будет любое число п > 3 (система n- го порядка), то фазовое пространство будет не трехмерным, а  n-мерным .

 

 

 

 

     Итак, фазовое пространство и фазовые траектории представляют собой лишь                                                                                                                                                                                                                                            геометрический образ процессов, протекающих в системе. В этом геометрическом представлении участвуют координаты и исключено время .Фазовая траектория сама по себе дает лишь качественное представление о характере поведения системы. Чтобы определить количественно положение изображающей точки ( а значит, и состояние системы) в любой момент времени, нужно найти решение заданных дифференциальных уравнений ( 6 ) во времени.

 

Рис. 4.

Если уравнения ( 6 ) составлены в отклонениях от установившегося состояния, то последнее характеризуется значениями х1 = х2 =... = хn = 0. Следовательно, изображением установившегося состояния системы является начало координат фазового пространства.

Отсюда вытекает, что фазовые траектории устойчивой линейной системы будут асимптотически приближаться к началу координат при неограниченном увеличении времени. Фазовые траектории неустойчивой линейной системы будут неограниченно удаляться от начала координат.

 Для нелинейной системы вследствие ряда особенностей процессов, фазовые траектории могут принимать самые разнообразные очертания. Если имеется асимптотическая устойчивость для определенного круга начальных условий, то все фазовые траектории, которые начинаются внутри определенной области η, окружающей начало координат фазового пространства (рис. 4, б), будут асимптотически приближаться к началу координат. Если устойчивость неасимптотическая, то фазовые траектории, начинающиеся внутри области η могут иметь любые очертания, но не будут выходить за пределы некоторой определенной области ε, окружающей начало координат (рис. 4, 6 ).

Особые линии для нелинейных систем. Реальные системы автоматического управления можно считать линейными чаще всего в предположении малости отклонений переменных от их значений в определенном установившемся состоянии.

За пределами указанной области вследствие значительного отклонения характеристик от

                       Рис. 5.

линейных картина фазовых траекторий может сильно измениться и стать качественно иной.

В частности, если по линейной теории система оказывается неустойчивой и процесс начинает расходиться, то может оказаться, что из-за фактической нелинейности характеристик он не будет расходящимся неограниченно. Амплитуда расходящихся колебаний может увеличиваться только до определенного значения, а затем оставаться постоянной, т. е. неустойчивая линейная автоматическая система как бы превращается в устойчивую нелинейную автоколебательную систему (система «генерирует» устойчивые колебания определенной формы).

Картина фазовых траекторий для такой системы изображена на рис. 5, а. Здесь вблизи начала координат получаются спирали, как в неустойчивой линейной системе , но далее все они расходятся не до бесконечности, а приближаются асимптотически к некоторому замкнутому контуру ограниченных  размеров, как показано на рис. 5, а. К нему же приближаются и все спирали, находящиеся вне контура. Это соответствует картине процессов во времени, изображенной на рис. 3, а. Такого вида замкнутый контур, представляющий собой наиболее важный для теории тип особых линий на фазовой плоскости, называется устойчивым предельным циклом.

Устойчивый предельный цикл соответствует автоколебаниям системы. Размеры предельного цикла А и В (рис. 5 , а) представляют амплитуды колебаний самой величины х и скорости ее

 

 

изменения y=dx/dt. Для определения периода автоколебаний надо обратиться к решению                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         уравнений во времени.

 Случаю устойчивости системы «в малом»  и неустойчивости «в большом» (рис.3, б) соответствует картина фазовых траекторий, изображенная на рис. 5, б. Граница начальных условий, до которой система устойчива, имеет чаще всего на фазовой плоскости вид неустойчивого предельного цикла, как на рис. 5, б, от которого в обе стороны удаляются спиралевидные фазовые траектории. Это — второй важный тип особых линий, определяющий устойчивость системы «в малом» и неустойчивость «в большом».

Заметим, что в этом случае может быть также еще более удаленный устойчивый предельный цикл (рис. 5, в), соответствующий автоколебаниям с большой амплитудой. Это соответствует процессам во времени, изображенным на рис. 3. г. Такие же принципиальные качественные изменения картины фазовых траекторий при достаточно больших отклонениях могут наблюдаться и в случаях апериодических процессов, включая превращения их в колебательные и наоборот. Например, картине процессов во времени, показанной на рис. 3, в, соответствует картина фазовых траекторий на рис 5, е.

Аналогично для системы, находящейся согласно линейной теории на границе устойчивости (при чисто мнимых корнях), картина фазовых траекторий может иметь место лишь вблизи состояния установившегося режима О. При больших отклонениях, если линейность характеристик звеньев системы нарушается, картина фазовых траекторий будет как показано на рис. 5, г. Здесь, кроме особой точки О типа центра, появляются два седла С1 и С2, что приводит фактически к неустойчивости системы. Но может иметь место и устойчивый предельный цикл. Особые линии такого типа, как С1А1С2 и С2А2С1 (рис. 5, г), фазовой плоскости называются сепаратрисами (третий тип особых линий).

Здесь говорилось пока о системах, которые при малых отклонениях рассматриваются как линейные. Но совершенно аналогичная картина получается и для таких нелинейных систем автоматического управления, которые даже «в малом» нельзя рассматривать как линейные. Таковыми являются многочисленные типы релейных систем, а также системы с зоной нечувствительности, с гистерезисной петлей, с сухим трением, с зазором. Интересно отметить, что некоторые из таких систем скорее «в большом», чем «в малом», могут приближаться к линейным, когда зона нечувствительности или зазор оказываются малыми по сравнению с величиной отклонений х.

В системах с зоной нечувствительности и с сухим трением существуют, как известно, области застоя, когда установившемуся состоянию при данных внешних условиях (данной нагрузке) соответствует не одна точка, а целая область возможных равновесных состояний системы. На фазовой плоскости это выражается в том, что особая точка вытягивается в особый отрезок (рис. 5, д).

Заметим, наконец, что координатами (х, у) фазовой плоскости могут служить не обязательно отклонения управляемой величины и скорость ее, как было выше. Для этой цели могут быть взяты любые две переменные, однозначно   характеризующие стояние системы второго порядка в произвольный момент времени.

 

2. Уравнения систем с нелинейностью релейного типа.

Приведем несколько примеров составления уравнений нелинейных систем релейного типа.

 Система автоматической стабилизации напряжения. Пусть имеется генератор постоянного тока (управляемый объект) с вибрационным регулятором напряжения. Упрощенная принципиальная схема такой системы показана на рис. 6.

Когда контакты К под действием пружины П замкнуты, резистор, обозначенный через 2r1, выключен из цепи возбуждения генератора 1. Система рассчитана так, что при этом напряжение U на клеммах генератора возрастает. В результате увеличивается ток I2 в обмотке 2 электромагнитного реле и якорь реле притягивается, размыкая тем самым контакты К. При разомкнутых же контактах К в цепь возбуждения включен резистер 2r1. Это вызывает снижение напряжения U, а значит уменьшение тока I2 и отпускание реле, в результате чего контакты К снова замыкаются, выключая тем самым резистор 2r1 из цепи возбуждения. Настройка системы на желаемое номинальное значение управляемой величины U производится установкой резистора Rд.

Уравнение объекта (генератора) представим в линейном виде:

                                                          (T1p + 1)∆U = -k∆r + f(t),                                                          (7)

где ∆r — изменение сопротивления цепи возбуждения (управляющее воздействие); постоянная времени Т1 и коэффициент к1 определяются параметрами якоря и цепи возбуждения.

Уравнение чувствительного элемента (обмотки электромагнита 2) запишем в виде

 

 

                                                         (T2p + 1)∆I2 = k2∆U.                                                                 (8)

 

Начало отсчета величин отклонений ∆U, ∆I2 и ∆r будет определено ниже.

Управляющий орган (контакты К, скачком включающие и выключающие резистор 2r1) является нелинейным звеном релейного типа. Выходная величина его — сопротивление r цепи возбуждения — меняется скачкообразно при срабатывании и отпускании реле, т. е. в зависимости от величины тока I2 в цепи обмотки 2 электромагнитного реле. Это изображено на рис. 7, а, где Iсри Iотп — токи полного срабатывания и отпускания реле. Для составления уравнения такого                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                  нелинейного звена удобно, как всегда, ввести отклонения ∆I2 и ∆r от некоторых постоянных