Нелинейные системы. Метод исследования устойчивости В.М. Попова

                       Рис. 6.                                                                                   Рис. 7.

 

значений I20 и R0. Как указано на рис. 7, а, принимаем

                                         I20=(Iопт+Iср)/2 = Iопт + i1,     R0 = R1 + r1.                                                 (9)

Тогда характеристика данного нелинейного звена в отклонениях примет вид рис. 7, б, симметричный относительно начала координат (релейная характеристика с гистерезисной петлей).

В связи с этим уравнение нелинейного звена (рис. 7, б) будет

                                      ∆r = r1sing(∆I2 – i1)  при dI2/dt>0                                                            (10)

                                      ∆r = r1sing(∆I2 + i1)  при dI2/dt<0                                                            (11)

 

 

где выражение sing(∆I2 – i1) обозначает знак величины (∆I2 – i1).

Формулы ( 10 ) и ( 11 ) отвечают соответственно движению вправо по линии ABCEF (рис. 7) и влево по линии FEDBA, причем  в точках C и D происходит переключение реле (перескоки в точки E и B соответственно).

Уравнения линейной части системы ( 7 ) и ( 8 ), имея в виду исследовать переходный процесс при f(t)=0, объединим в одно:

                                        (T1p + 1)(T2p + 1)∆I2 = -k1k2∆r.                                                            (12)

Постоянные значения, от которых производится здесь отсчет отклонений переменных, определяются из алгебраических уравнений условного номинального установившегося режима

U0 = (R1 + r1)I10,    (R2 + Rд)I20 + U0,  I20 = (Iопт + Iср)/2

с использованием  реальных характеристик генератора.

Система автоматической стабилизации курса торпеды. Возьмем простейшую схему. Уравнение вращения торпеды вокруг вертикальной оси (рыскание по курсу) как управляемого объекта запишем приближенно в виде

                                                       Jψ + c1ψ = -c2δ,                                                                      (13)

Где ψ – угол отклонения торпеды от заданного направления; J- ее момент инерции относительно вертикальной оси; с1ψ – момент сопротивления среды (воды), с2δ – момент руля; δ – угол поворота руля.

Разделив (13) на с1, получим уравнение объекта в виде

                                                       (T1p + 1)pψ = -k1δ,                                                                (14)

где

T1=J/c1 ,  k1= c2/c1.

 

 

 

 

 

Чувствительным элементом является трехстепенный гироскоп, поворачивающий рычаг заслонки в системе питания пневматической рулевой машинки на угол, пропорциональный углу отклонения торпеды. Следовательно, уравнение чувствительного элемента будет

                                                          s = k2ψ,                                                                             (15)

где s — величина перемещения заслонки из нейтрального положения.

Будем считать, что поршень рулевой машинки при открытии заслонки, быстро получая полную скорость, мгновенно (точнее, за такое малое время, в течение которого торпеда не успевает заметно повернуться, т. е. много меньшее возможного периода колебаний торпеды) перебрасывает руль из одного крайнего положения в другое.

В таком приближенном представлении линейная часть системы ограничивается уравнениями (14 ) и ( 15 ). Единое уравнение линейной части системы поэтому будет

                                                        (T1p + 1)ps = - k1k2δ.                                                         (16)

Рулевая машинка вместе с рулем (привод и управляющий орган) представляет собой нелинейное звено, уравнение которого согласно вышесказанному можно представить либо в простейшем виде

                                                                δ = сsign s,                                                                   (17)

 

либо, если имеется заметная зона нечувствительности , в виде

 

δ = 0 при –b<s<+b,

                                                                δ = csign s при |s|>b,                                                        (18)

 

либо, если существенное значение имеет гистерезисная петля ,

 

δ = сsign(s-b) при ps>0,

                                                            δ = csign(s+b) при ps<0,                                                     (19)

 

либо, наконец, в простейшем случае, но с запаздыванием

 

δ = сsign(s-|sτ|) при ps>0,

                                                           δ = сsign(s+|sτ|) при ps<0,                                                   (20)

 

где                                                                     sτ =s(τ),                                                                      (21)

причем τ – время запаздывания реле.

При исследовании систем в целом можно принять один из этих четырех вариантов в зависимости  от того, какой из них лучше будет соответствовать свойствам данной релейной системы.

3. Уравнения систем с нелинейностью в виде сухого трения и зазора.

Приведем примеры составления уравнений для нелинейных систем с сухим трением или зазором в механической передаче.

Следящая система с линейным и сухим трением. Рассмотрим  случай, когда к линейному моменту трения Млт добавляется еще момент сухого трения Мст, имеющий постоянную величину, равную некоторому значению с, и меняющий свое направление (знак) с изменением знака скорости вращения объекта pβ . Следовательно уравнение управляемого объекта примет вид

                                   Jp2β = Mвр – Млт – Мст,   Мвр = с1iя ,  Млт = с2рβ,                                     (22)

где β – угол поворота вала управляемого объекта, причем

Мст = сsign pβ при pβ≠0,

                                                          -c ≤ Мст ≤ +с при pβ=0.                                                     (23)  

 

 Важная особенность сухого трения состоит в том, что это (в отличие от релейных характеристик) далеко не всегда означает мгновенное переключение величины Мст при рβ = 0. Здесь возможны два варианта:

1. рβ=0 и |Мвр| >c,

                                                                2)   pβ=0 и |Мвр| <c.                                                         (24)

 

 

 

 

В первом случае скорость объекта рβ пройдет через нулевое значение и его движение будет продолжаться без остановки дальше по закону. Во втором же случае произойдет остановка управляемого объекта, в течение которой будет иметь не переключение, а медленное изменение величины Мст в интервале -с < Мст < +с (или обратно), причем Мст будет принимать все время определенные значения

                                             Мст = Мвр  (рβ = 0, |Мвр|<c ).                                                            (25)

В этом случае движение возобновится снова только тогда, когда вращающий момент достигнет значения |Мвр| = с и превысит его.

Если же остается | Мвр | < с, то система будет неподвижна. Поэтому положение равновесия управляемого объекта оказывается неопределенным внутри некоторого отрезка, а именно при любом значении | Мвр| < с. Этим определяется зона застоя системы. Застой проявляется в том, что, с одной стороны, система не будет двигаться при изменении угла поворота командной оси в определенном интервале и, с другой стороны, что система будет обладать ошибкой из-за сухого трения в положении равновесия. В процессе же движения системы в одну сторону с любой скоростью сухое трение внесет постоянную ошибку одного знака, что соответствует как бы дополнительной внешней нагрузке Мнг = с.

Итак, уравнение управляемого объекта, как нелинейного звена системы, согласно ( 22 ) и ( 23 ) с учетом ( 24 ) будет иметь вид

Jp2 + c2pβ + csign pβ = c1iя при  pβ≠0

или pβ = 0 и | iя |>c/c1,

                                             β = const при pβ = 0 и   | iя |<c/c1.                                           (26)

 

Уравнения всех остальных звеньев данной следящей системы в совокупности образуют линейную часть системы, единое уравнение которой для свободного движения упрощенно запишем в виде

                                             (Tвр + 1)iя = - [(Tвр + 1)к6р + к]β.                                                  (27)

 

Следящая система с зазором. Предположим теперь, что в той же самой следящей системе нелинейность заключается не в сухом трении, а в наличии зазоров в силовой механической передаче между двигателем и управляемым объектом. Все эти зазоры объединим в один и изобразим его условно в виде вилки со свободным ходом ±b. Таким образом, между двигателем и управляемым объектом вклинивается теперь новое нелинейное звено, изображенное на рис. 8, а, входную величину которого обозначим β1.                                                                                        Рис. 8.

Характеристика этого нелинейного звена изображена на рис. 8, б. Смысл ее следующий. Если бы не было зазора, то β равнялось бы β1 и характеристикой была бы прямая под углом 45°, изображенная на рис. 8, б штрих-пунктиром. Вследствие зазора при движении в сторону возрастания угла β эта прямая сдвинется вправо на величину b (поводок прижмется к правой стороне вилки). При изменении направления движения сначала поводок будет перемещаться внутри зазора, не двигая вилку (β = const). На характеристике это соответствует горизонтальному отрезку длиной 2b (АВ, или ЕF, или КL, или другие в зависимости от фактического значения β в это время). Затем начнет двигаться и вилка, что будет соответствовать прямой ВС, сдвинутой влево от начала координат на величину b.

При равновесии системы поводок и вилка могут занимать любое относительное положение внутри зазора, что вызывает ошибку системы из-за зазора, равную ±b. При движении системы в одну из сторон будет постоянное отставание объекта из-за зазора на величину ±b, не считая того отставания, которое будет еще из-за нагрузки.

Уравнение управляемого объекта, включавшее в себя и двигатель, теперь разобьется на два нелинейных. Первое нелинейное уравнение управляемого объекта с двигателем будет

 

 

(ограничиваемся учетом  одной постоянной времени)

(T0p + 1)pβ1 = k1iя  при рβ≠0,

                                                        (T1p + 1)pβ1 = k1iя  при рβ=0,                                                  (28)

(соответственно с поводком, прижатым к вилке, и с поводком, свободно движущимся внутри зазора); Т1 меньше Т0 на величину J0/c2, гдеJ0 — момент инерции управляемого объекта. Кроме этого, надо написать второе уравнение нелинейного звена с зазором, соответствующее характеристике рис. 8, б:

β = β1 – b при р β1>0,

β = β1 – b при р β1<0,

                                                                β = const при |β1 - β | < b.                                                    (29)

Следовательно, управляемый объект будет иметь остановки при своих колебаниях, соответствующие участкам АВ, СD и т.д. характеристики рис. 8, б.Линейная часть системы остается такой же, как в предыдущем примере, т.е. ( 27 ).

Система автоматической стабилизации давления( учет сухого трения). Рассмотрим систему    ( рис. 9.).

                Рис. 10.                                                                                                 Рис. 9.                                                                                                                                          

 

 

В чувствительном элементе 2 масса незначительна, но зато существенное значение может иметь сухое трение. Поэтому уравнение движения штока мембраны запишем в виде

 

                                                           Р – Fм – Fт - Fп = 0                                                      (30)

 

где Fт — сила сухого трения, имеющая постоянную величину с, меняющая направление при изменении знака скорости ру (рис. 10 , а) и могущая принимать любые значения во время остановки, т. е.

 

Fт = c sign py при ру≠0

                                                               -c ≤ Fт  ≤ +с   при ру = 0                                                   (31)

Р – сила давления воздуха камеры на мембрану; Fм – упругая сила мембраны; Fп - сила пружины.                                                                                          В результате после перехода к безразмерным относительным отклонениям получим  следующее уравнение чувствительного элемента как нелинейного звена:

b sign pη + δη = -φ при рη≠0,

или  рη = 0 и  |φ +δη| >b,