Нелинейные системы. Метод исследования устойчивости В.М. Попова

 

Пусть многочлен Q (р) или, что то же, характеристическое уравнение линейной части Q (р) = 0 имеет все корни с отрицательными вещественными частями или же кроме них имеется еще не более двух нулевых корней. Другими словами, допускается, чтобы ап = 0 или аn = 0 и аn-1 = 0 в выражении Q(р). т. е. не более двух нулевых полюсов в передаточной функции линейной части системы

W(p) = R(p)/Q(p).

Приведем без доказательств формулировку теоремы В.М. Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое коночное действительное число h, при котором при всех ω≥0,

                                               [ Re(1+ jωh) W(jω)] + 1/kF > 0                                                     (49)

где W(jω) – амплитудно-фазовая характеристика линейной части системы.

При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы

lm W(jω) → -∞ при ω→0,

а при двух нулевых полюсах

Re W(jω) → -∞ при ω→0, а lm W(jω) < 0 при малых ω.

Теорема справедлива также и при наличии в знаменателе Q(p) передаточной функции линейной части не более двух чисто мнимых корней, но при этом требуются некоторые другие простые добавочные условия, называемые условиями предельной устойчивости.

Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики W٭(jω), которая определяется следующим образом:

U٭(ω) = ReW٭(jω) = ReW(jω),

                                                   V٭(ω) = ImW٭(jω) = ω T0 ImW(jω),                                      (50)

где T0 = 1с – нормирующий множитель.

График W٭(jω) имеет вид (рис. 16, а), похожий на W(jω), когда при отсутствии в W(p) нулевых полюсов в выражениях Q(p) и R(p) разность степеней n-m>1. Если же разность степеней n-m=1, то конец графика W٭(jω) будет на мнимой оси ниже начала координат (рис. 16, б).

Преобразуем левую часть равенства ( 49 ):

[Re(1 + jωh)W(jω) ] + 1/kF = ReW(jω) – ω h ImW(jω) + 1/kF.

Тогда , положив

W٭(jω) = U٭(jω) + jV٭(jω)

и  использовав соотношения ( 50 ), получим  вместо ( 49 ) для теоремы В.М. Попова условие

                              U٭(ω) - hV٭(ω)/T0 + 1/kF = U٭(ω) – h0V٭(ω) + 1/kF > 0                               (51)

при  всех ω≥0.

Очевидно, что равенство

                                                 U٭(ω) – h0V٭(ω) + 1/kF = 0                                                    (52)

представляет  уравнение прямой на плоскости W٭(jω).

Отсюда вытекает следующая графическая интерпретация теоремы В.М. Попова: для установления устойчивости нелинейной системы, достаточно подобрать такую прямую на плоскости W٭(jω), проходящую через точку (-1/kF , j0), чтобы, вся кривая W٭(jω) лежала справа от этой прямой.

 

Рис.16.                                                                                                                    Рис. 17.

 

На рис. 17. показаны случаи выполнения теоремы. В этих случаях нелинейная система устойчива при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием ( 48 ). На рис.  18 показаны случаи, когда теорема не выполнятся, т. е. нелинейная система не имеет абсолютной устойчивости.

Заметим, что, когда нелинейная характеристика располагается во всем первом (и третьем) квадранте, согласно рис. 15. имеем  к→ ∞. В теореме В.М. Попова при этом вместо ( 49 ) получаем условие

                                                         Re(1 + jωh)W(jω) > 0,                                                                (53)

а вместо (51)

                                                               U٭(ω) – h0V٭(ω) > 0                                                                   (54)

при всех ω>0. Поэтому в графической интерпретации прямая должна проходить не так,  как показано на рис. 17., а через начало координат.

                                                                Рис. 18.

 

Здесь был приведен простой пример, в котором условия устойчивости по методу  В.М. Попова выражаются в общем буквальном виде. В большинстве технических задач этого не получится. Однако видно, что описанный частотный критерий устойчивости В. М. Попова для систем с одной однозначной нелинейностью в его графической форме может быть применен при любой сложности линейной части системы и численно заданных коэффициентах уравнений. Более того, он может быть применен в случае, когда не заданы уравнения, но известна экспериментально снятая амплитудно-фазовая частотная характеристика линейной части  W(jω). Чтобы установить устойчивость системы согласно рис. 17., W(jω) надо перестроить в характеристику W٭(jω), пользуясь формулами ( 50 ).

Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо лишь знать, в пределах какого угла (рис. 15.) она расположена. Для конкретно заданных форм нелинейности область устойчивости, вообще говоря, будет несколько шире, но данным методом это не определяется.

 

Заключение.

Исследование систем автоматического управления, необходимое для научно обоснованного их проектирования, осуществляется как теоретически, так и экспериментально.

При теоретическом исследовании составляется математическая модель, отражающая свойства реальной системы и служащая непосредственным объектом исследования. Простейшей моделью является линейная модель (например, система линейных дифференциальных или разностных уравнений). Достоинства линейной модели — легкость получения и прозрачность результатов. Однако ввиду сложности реальных систем линейные модели лишь очень приближенно отражают их свойства. Для более глубокого и всестороннего изучения реальных систем необходимо рассмотрение нелинейных моделей (например, систем нелинейных дифференциальных или разностных уравнений).

Теория нелинейных систем автоматического управления значительно обширнее в сравнении с теорией линейных моделей и поэтому разработана не столь подробно, но и здесь достигнуты фундаментальные результаты.

Одной из проблем теории нелинейных систем является проблема анализа, т. е. проблема исследования заданной нелинейной математической модели системы автоматического управления с целью определения ее свойств и зависимости этих свойств от значений параметров. Результаты анализа позволяют выбирать значения параметров, являющиеся оптимальными с точки зрения предъявляемых к динамическому поведению системы требований при заданной ее структуре.

Другая проблема теории нелинейных систем — проблема  синтеза,   т.   е.   проблема   определения  структуры, значений параметров и состава элементов системы автоматического управления, при которых система удовлетворяет предъявляемым к ней требованиям. Задачами синтеза являются построение математической модели системы (определение структурной схемы и значений параметров) и реализация этой модели на базе технических средств автоматики.  Выбор структурной схемы является специфической задачей синтеза, тогда как определение значений параметров   при  заданной  структуре  (параметрический синтез) может быть осуществлен методами анализа. Так как обычно объект управления задан, задача синтеза сводится к синтезу управляющей системы. Нередко задана и некоторая часть управляющей системы; в таком случае возникают частные  задачи синтеза — синтез  законов   управления,   синтез   корректирующих   элементов. Методы исследования (анализа и синтеза) нелинейных систем автоматического управления можно разделить на аналитические   и  неаналитические   (численные, графические, машинные). В свою очередь, аналитические методы можно разделить на точные и приближенные.

Достоинством аналитических методов является представление решения в общем виде, охватывающем различные частные случаи. В отличие от этого, неаналитические методы дают окончательные результаты лишь для конкретных исходных данных. Достоинством неаналитических методов является их универсальность с точки зрения круга задач, к которым они применимы, тогда как любой аналитический метод применим лишь к определенному типу задач. В применении к сложным системам ни один метод в отдельности не позволяет исчерпать названные выше проблемы анализа и синтеза. Наиболее полные результаты можно получить, используя разные методы.

Большое значение для исследования нелинейных динамических систем вообще и нелинейных систем автоматического управления в частности имеют результаты качественной теории дифференциальных уравнений, начало которой положено трудами А. Пуанкаре, А. М. Ляпунова, Дж. Биркгофа и др.

 

 

 

 

 

 

Использованная литература:

1. В.А. Бесекерский,  Е.П. Попов  «Теория систем автоматического управления».
2. Л.В. Бочкарева  «Автоматизация проектирования систем управления».
3. В.В. Вавилов  «Исследование абсолютной устойчивости нелинейных систем».
4. А.Х. Гелиг , А.Н. Чурилов  «Колебания и устойчивость нелинейных систем».
5. А.Х. Гелиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович  «Устойчивость нелинейных систем с неединственным  состоянием равновесия».
6. Под ред. Р.А. Нелепина  «Методы исследования нелинейных систем автоматического управления».
7. В.М. Попов  « Гиперустойчивость автоматических систем».
8. Г.Х. Попов « Проблемы теории управления» .
9. Е.П. Попов  « Автоматическое регулирование»
10. Э.Л. Руссон  «Автоматические системы управления».
11. С.В. Тарарыкин, В.В. Тютиков, И.Б. Ульянов  «Методы исследования устойчивости нелинейных систем».