Нелинейные системы. Метод исследования устойчивости В.М. Попова

                                                          η = const при |φ +δη| <b,                                                      (32)

где b= c / qмрн;  qм – площадь мембраны; рн – номинальное давление в камере.

 

Построим характеристику этого нелинейного звена с сухим трением в координатах (-φ, η). Легко видеть, что первое из уравнений ( 32 ) соответствует прямым DА и ВС при рη > 0 и рη < 0, а второе уравнение (η= сonst) — отрезкам АВ, СD, ЕF, GH и т.д. на рис. 10, б. Из сравнения рис. 10, б и рис. 8, б видно, что сухое трение в таком нелинейном звене (без массы) эквивалентно зазору, половина которого равна b, чего совершенно нельзя сказать о сухом трении в следящей системе, где учитывалась масса (момент инерции).

Все остальные звенья системы образуют линейную часть, единое уравнение которой при f=0 будет

                                          (T1p + 1)(Tsp +1)φ = k1η.                                                   (33)

 

4. Уравнения систем с нелинейностями других видов.

                                                                                      Рис. 11.

 

 

Рассмотрим несколько примеров составления уравнений автоматических систем с нелинейностями других видов, чем в пунктах 1.2 и 1.3.

Система автоматического управления с нелинейной характеристикой привода управляющего органа. Привод управляющего органа, каким бы он ни был (электрический, гидравлический, пневматический ), всегда имеет, во-первых, некоторую зону нечувствительности в начале координат, и во-вторых , зону «насыщения». Кроме того, может иметь место еще и гистерезис . Эти две криволинейные характеристики могут быть приближенно заменены кусочно-линейными (рис. 11, б,д или в,е,и). Наконец, существуют приводы с постоянной скоростью (рис. 11, з), относящиеся к нелинейным звеньям релейного типа .

Зона нечувствительности b1 выражается в том, что электрический двигатель имеет определенный минимальный ток трогания  (i = b1), до достижения которого вал двигателя будет неподвижен ( рξ = 0). В гидравлическом же двигателе золотник имеет так называемую зону перекрытия ( его поршенек немного шире отверстия, им закрываемого), вследствие чего он откроет путь рабочей жидкости в цилиндр двигателя, только переместившись на некоторую величину s = b1. Аналогично и в случае пневматического привода, где роль золотника играет заслонка.

Зона насыщения обнаруживается в том, что при увеличении тока сверх некоторого значения i = b2 скорость перемещения управляющего органа остается постоянной (рξ = с); также и для гидравлического двигателя при s ≥ b2 , когда  окна золотника полностью открыты.

Термины «насыщение» и «гистерезис» применяются здесь в обобщенном смысле для обозначения нелинейностей определенного типа; они не обязательно соответствуют физическим явлениям насыщения и гистерезиса.

Уравнение привода управляющего органа с учетом указанных обстоятельств вместо прежнего линейного будет иметь нелинейный вид:

 

                                                               pξ = F(s),                                                                             (34)

 

где  F(s) есть нелинейная функция задаваемая графиком . Для  электрических приводов можно записать

 

                                                                       рξ = F(i).                                                                             (35)

 

В приближенном кусочно-линейном виде ( рис. 11, б) уравнение ( 34 ) записывается следующим образом:

 

                    pξ =  0                           при  -b1≤ s ≤ +b1,

                                                                   pξ = kc( s - b1 )               при  +b1≤ s ≤ +b2,

                     pξ = kc( s + b1 )              при  -b1≤ s ≤ -b2,

                                                                                    pξ = c sign s                   при | s | ≥ b2.                                     (36)

 

В случае наличия гистерезиса ( рис. 11, д) придется написать два ряда  таких же выражений с 

 

 

 разными значениями b1 и b2 - один для движения вправо (рs>0) и другой для движения влево (ps<0). Этим  определяется уравнение привода управляющего органа как нелинейного звена. Уравнение линейной части составляется обычным способом в зависимости от того, в какой конкретно автоматической системе этот привод применен.

Следящая система с линейным и квадратичным трением. В пункте 1.3 была рассмотрена следящая система с линейным и сухим трением. Пусть теперь управляемый объект в той же следящей системе  обладает кроме линейного еще квадратичным трением, т.е. управление объекта имеет вид

 

 

Jp2β = Mвр – Мт,

где

Мвр = с1iя,  Мт = с2рβ + с3(рβ)2 sign pβ

 

Тогда уравнение управляемого объекта как нелинейного звена будет

 

                                                      (Jp + c2)pβ + c3(pβ)2 sign pβ = c1iя.                                                      (37)

 

Уравнение линейной части системы в полном виде по-прежнему будет  ( 27 ).

Система автоматического управления с переменным коэффициентом усиления. В ряде случаев для повышения качества процесса бывает желательно, чтобы воздействие на управляющий орган было не пропорциональным отклонению управляемой величины, а усиливалось или ослаблялось при увеличении этого отклонения (нелинейный алгоритм управления). Примерами такого воздействия с переменным коэффициентом усиления могут служить характеристики с ограниченной линейностью или насыщением. Однако они дают уменьшение коэффициента усиления при увеличении отклонения. Рассмотрим теперь два примера характеристик с переменным коэффициентом усиления, который увеличивается при увеличении отклонения.

 

Уравнение нелинейной части привода управляющего органа будет либо

 

либо

 

                                                                    pξ = F(s),                                                                                   (39) 

                                                                    

 

Все рассмотренные примеры иллюстрируют случай, когда общая схема системы имеет вид рис.1, т. е. случай нелинейной системы (кроме случая сухого трения в следящей системе при наличии остановок). Комбинации нелинейностей приводят к нелинейным системам второго и третьего классов.

Система автоматического управления с логическим устройством. Пусть динамика управляемого объекта (рис. 12)  описывается уравнением

             ( T0p + 1)px = k0z.                                                                               (40)

Уравнения измерителей

                                           (T1p + 1)u = k1x,  (T2p + 1)υ = k2px.                                                         (41)

Уравнение усилителя-преобразователя с логическим устройством

                                                  (T3p + 1)y = k3 F(u,υ).                                                                          (42)

 

 

Уравнение исполнительного устройства

                                                   (T4 +1)z = - k4y.                                                                                    (43)

        Рис. 12                                                                                        Рис. 13.

Кроме того, должна быть задана логика формирования нелинейного алгоритма управления Ф(u,υ), которая может быть назначена или синтезирована в очень разнобразных формах для обеспечения простоты и надежности аппаратуры, наибольшего быстродействия, наименьшей затраты энергии на управление, учета ограничения мощности источника энергии и специфики желательных режимов его работы и т. п.                                      Выбранную тем или иным образом логику формирования нелинейного алгоритма можно записывать в аналитической форме. Однако во многих случаях удобнее  изображать ее графически на плоскости входных величин логического устройства (u,υ)

Для примера рассмотрим простейшую логику. Смысл ее заключается в следующем. Величины u и υ, согласно уравнениям ( 41 ), с точностью до постоянных времени соответствуют отклонению управляемой величины х и ее первой производной по времени рх. Поэтому наличие порогового значения u1 соответствует тому, что при малых х исполнительное устройство не работает (Ф = 0). Не работает оно также и при больших отклонениях х, но только тогда, когда имеется достаточная по величине скорость рх (соответствующая превышению порога ± υ1)  со знаком, противоположным знаку х, ибо в этом случае отклонения х уменьшается по величине само собой даже при неработающем исполнительном устройстве системы управления. Исполнительное устройство включается (Ф = +1 или Ф = -1 ) только тогда, когда при достаточно больших отклонениях х(|u|>u1) скорость рх имеет тот же знак (т. е. отклонение возрастает по величине ) либо когда скорость рх имеет противоположный знак, но мала (|υ| < υ1).

Система с переменной структурой. Системы с переменной структурой содержат в себе специальное переключающее устройство для изменения управляющего устройства, которое срабатывает в зависимости от размеров и знаков входных величин.

Пример переключающего устройства приведен схематически на рис. 13, где КЭ — ключевой элемент, БИС — блок изменения структуры. Его уравнение принято записывать в виде

 

                                                       u = ψx.                                                                        (44)

 

Функция ψ может строиться по разному. Например,

 

α при х1х > 0,

                                                              β при х1х < 0.                                                      (45)

 

Основная характерная нелинейность здесь состоит в самом факте автоматического переключения в зависимости от состояния входных величин.

 

 

 

 

 

 

2. Частотный метод В.М. Попова.

Румынский ученый В.М. Попов разработал оригинальный метод исследования абсолютной устойчивости одного, практически важного, класса нелинейных систем. Абсолютной устойчивостью называют асимптотическую устойчивость «в целом» положения равновесия автономной системы с нелинейностью, принадлежащей определенному классу.

Критерий абсолютной устойчивости применим для автономных нелинейных систем с последовательным соединением нелинейного элемента и линейной части

Его использование возможно, если линейная часть является устойчивой,  а нелинейный элемент имеет однозначную характеристику ( возможно, и нестационарную), лежащую в первом и третьем квадрантах и заключенную внутри угла , образованного прямыми у=кх и у=rх (r<к) (рис. 14.)                                                                                 Рис. 15.

                                                                            

 

 

 

 

 

                              Рис.14.                     у = кх

 =φ

 

y=rx

к =tgα

Привлекательность метода состоит в том, что  об абсолютной устойчивости нелинейной системы можно судить на основании амплитудно-фазовой частотной характеристики (АФЧХ) линейной части системы. Изложим теперь этот частотный  метод.

Если в системе автоматического управления имеется лишь одна однозначная нелинейность

                                                                       y = F(x),                                                                         (46)

то, объединив вместе все остальные ( линейные) уравнения системы, можно всегда получить общее уравнение линейной части системы ( рис. 15, а) в виде

                                                                      Q(p)x = - R(p)y,                                                                 (47)

где

Q(p) = a0pn + a1pn-1 + …+an-1p + an,    R(p) = b0pm + b1pm-1 +…+ bm-1p + bm,

причем будем считать m<n.

Пусть нелинейность у = F(x) имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctg kF (рис. 15, б), т.е. при любом  х

                                                                 0 < F(x) < kFx.                                                                  (48)