Планирование и распределение ресурсов

   Вот уже на протяжении нескольких лет работы ОАО «Спецконструкция» находится в таком состоянии, когда на предприятии находится небольшое количество старых станков, которые расходуют огромное количество металла. При обработке металлических изделий на этих станках образуется множество  металлических стружек, которые в последствии ни куда не используются. А из - за расхода такого количества металла, возможна его нехватка на другие изделия, поэтому изделия могут получиться неэффективными, низкокачественными. Что ведет за собой элементарную потерю спроса на продукции, и соответственно прибыли.

   Проблема разрешима несколькими способами, которые могут использоваться в комплексе.

   Во – первых, это замена всех старых станков, на более новое и современное оборудование, которое не будет так сильно расходовать металл.

   Во – вторых, переработка и использование металлических стружек, которые остаются после обработки изделий из металла.

   Если все эти проблемы будут разрешены, то предприятие будет производить более эффективные и высококачественные изделия с меньшей затратой металла. Продукция будет выполняться в поставленные сроки, что приведет к большому спросу на продукцию и прибыль естественно будет максимальной.

 

 

    1.3 Постановка задачи планирования производства (как задачи  линейного программирования)

 

Линейное программирование основано на решении системы линейных уравнений (с преобразованием в  уравнения и неравенства), когда  зависимость между изучаемыми явлениями  строго функциональна. Для него характерны математическое выражение переменных величин, определенный порядок, последовательность расчетов (алгоритм), логический анализ. Применять его можно только в тех случаях, когда изучаемые переменные величины и факторы имеют математическую определенность и количественную ограниченность, когда в результате известной последовательности расчетов происходит взаимозаменяемость факторов, когда логика в расчетах, математическая логика совмещаются с логически обоснованным пониманием сущности изучаемого явления [1, 4].

   Применение этого метода в экономическом анализе позволяет решать задачи, связанные главным образом с планированием деятельности организации. Данный метод помогает определить оптимальные величины выпуска продукции, а также направления наиболее эффективного использования имеющихся в распоряжении организации производственных ресурсов.

   Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и пр. [3, 11].

   Линейная производственная задача – это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. Постановка производственной задачи может быть представлена в виде математической модели линейного программирования, если целевая функция может быть представлена в виде линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами описать посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение – значения переменных должны быть неотрицательны.

   Геометрическая интерпретация экономических задач даёт возможность наглядно представить, их структуру, выявить особенности и открывает пути исследования более сложных свойств. Задача линейного программирования с двумя переменными всегда можно решить графически.

   Линейное программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации [21, 22].

   Экономико-математическая модель любой задачи линейного программирования включает: целевую функцию, оптимальное значение которой (максимум или минимум) требуется отыскать; ограничения в виде системы линейных уравнений или неравенств; требование неотрицательности переменных.

   В общем виде модель записывается следующим образом:

• целевая функция:

 

                    (1.1)

• ограничения:

 

                          (1.2)

• требование неотрицательности:

                                             (1.3)

При этом - заданные постоянные величины. Задача состоит в нахождении оптимального значения функции (1.1) при соблюдении ограничений (1.2) и (1.3). Систему ограничений (1.2) называют функциональными ограничениями задачи, а ограничения (1.3)  - прямыми.

Вектор  , удовлетворяющий ограничениям (1.2) и (1.3), называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования. План , при котором функция (1.1) достигает своего максимального (минимального), значения, называется оптимальным.

   Используем эту общую постановку задачи для конкретно нашей задачи по планированию производства в каждом цехе. Для изготовления двух видов продукции и используют один вид ресурсов . Прибыль, получаемая от единицы продукции и - составляет руб. и руб. необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от ее реализации будет максимальной. Для начала составим математическую модель задачи [16, 23].

   Математическая модель – совокупность соотношений состоящие из линейной целевой функции и линейных ограничений на переменную.

            Принцип составления математической  модели.

1. Выбираем переменные задачи.

   Переменными задачи называются величины, - число единиц продукции соответственно и , запланированных к производству, которые полностью характеризуют экономический процесс, описанный в задачи. Обычно записываются в виде вектора . Причём                                                                                                                                                      

                                                                                         (1.4)

 

2. Составляем систему ограничения задачи.

Система ограничений  – это совокупность уравнений  и неравенств, которым удовлетворяют  переменные задачи и которая следует  из ограниченности экономических условий  задачи. Учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим неравенство:

                                               .                                         (1.5)

 

3. Задаем целевую функцию.

  Целевая функция – это функция, которая характеризует качество выполнения задачи, экстремум которой надо найти. В общем виде целевая функция записывается в виде:

                                                                      (1.6)

 

   Таким образом, математическая модель имеет вид: найти переменные задачи , удовлетворяющие ограничению (1.5) и условию неотрицательности (1.4), которая обеспечивает экстремум целевой функции (1.6).

   Допустимым решением задачи линейного программирования называется любой набор значений переменных удовлетворяющий системе ограничений и условной неотрицательности.

   Множество допустимых решений образует область допустимых решений задачи (ОДР).

   Оптимальным решением называется допустимое решение задачи, при котором целевая функция достигает экстремума [19].

   Далее используя неравенство, ограничения неотрицательности и целевую функцию рассматриваем задачу о планировании производства в каждом цехе, используя различное количество ресурсов S.

Мы получим результаты о том, сколько предприятию нужно  запланировать производства для  каждого цеха и какая от этого  получится прибыль. Теперь чтобы  распределить ресурсы между цехами и определить, сколько ресурсов и  какому цеху нужно отдать, используем метод динамического программирования. 

 

    1.4 Постановка задачи распределения ресурсов предприятия (как задачи динамического программирования)

 

Динамическое программирование –  это вычислительный метод для  решения задач определенной структуры. Возникло и сформировалось в 1950 – 1953 гг.  благодаря работам Р. Беллмана над динамическими задачами управления запасами. В упрощенной формулировке динамическое программирование представляет собой направленный перебор вариантов, который обязательно приводит к глобальному максимуму [10].

  Динамическое программирование – это метод решения задач математического программирования путем разложения (декомпозиции) их на сравнительно небольшие и, поэтому, менее сложные подзадачи. В основу метода динамического программирования положена идея поэтапного (пошаговой) оптимизации. Оптимизация одного шага, как правило, не представляет значительных затруднений, поскольку она связана с одной управляемой переменной. Совокупность рекуррентных вычислительных процедур, связывающих различные этапы, обеспечивает решение исходной оптимизационной задачи при достижении последнего этапа [1, 5].

Возникновение метода динамического  программирования связано с использованием его в задачах принятия решений, осуществляемых через фиксированные промежутки времени. Однако впоследствии оказалось, что он с успехом может быть применен для решения задач, не связанных с фактором времени.

Динамическое программирование –  один из наиболее мощных современных  методов оптимизации, среди которых  он занимает особое положение благодаря простоте и ясности своего основного принципа – принципа оптимальности. Впервые сформулированный Р. Беллманом: каково бы ни было состояние системы в результате, какого – либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая выигрыш на данном шаге. Область применения принципа оптимальности чрезвычайно широка, благодаря чему динамическое программирование выступает как средство решения многочисленных практических задач оптимальности.

Трудно дать четкое определение  динамическому программированию. Укажем лишь на три характерные его особенности. Кроме принципа оптимальности, основного приема исследования, большую роль в аппарате динамического программирования играет идея погружения конкретной задачи оптимизации в семейство аналогичных задач. Третьей его особенностью, выделяющей его среди других методов оптимизации, является форма конечного результата. Применение принципа оптимальности и принципа погружения в многошаговых, дискретных процессах приводят к рекуррентно-функциональным уравнениям относительно оптимального значения критерия качества. Полученные уравнения позволяют последовательно выписать оптимальные управления для исходной задачи. Выигрыш здесь состоит в том, что задача вычисления управления для всего процесса разбивается на ряд более простых задач вычисления управления для отдельных этапов процесса.

Главным недостатком метода является, говоря словами Беллмана, «проклятие размерности» – его сложность катастрофически возрастает с увеличением размерности задачи [12].

   Динамическое программирование служит эффективным методом решения задач оптимизации дискретных многостадийных процессов, для которых критерий оптимальности задается как аддитивная функция критериев оптимальности отдельных стадий. Без особых затруднений указанный метод можно распространить и на случай, когда критерий оптимальности задан в другой форме, однако при этом обычно увеличивается размерность отдельных стадий.

   По существу метод динамического программирования представляет собой алгоритм определения оптимальной стратегии управления на всех стадиях процесса. При этом закон управления на каждой стадии находят путем решения частных задач оптимизации последовательно для всех стадий процесса с помощью методов исследования функций классического анализа или методов нелинейного программирования. Результаты решения обычно не могут быть выражены в аналитической форме, а получаются в виде таблицы [12, 24].

   При решении задач методом динамического программирования, как правило, используют вычислительные машины, обладающие достаточным объемом памяти для хранения промежуточных результатов решения, которые обычно получаются в табличной форме.

  Основные необходимые свойства задач, к которым возможно применить этот принцип:

1. Задача должна допускать интерпретацию как n – шаговый процесс принятия решений.
2. Задача должна быть определена, для любого числа шагов и иметь структуру, не зависящую от их числа.
3. При рассмотрении k – шаговой задачи должно быть задано некоторое множество параметров, описывающих состояние системы, от которых зависят оптимальные значения переменных. Причем, это множество не должно изменяться при увеличении числа шагов.
4. Выбор решения (управления) на k – м шаге не должен оказывать влияние на предыдущие решения, кроме необходимого пересчета переменных [20, 24].

 Постановка задачи  распределения ресурсов на предприятии.

Запланируем деятельность четырех предприятий на очередной год. Начальные средства . Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 единице. Средства , выделенные каждому предприятию, приносят в конце года прибыль . Функции показаны в таблице 1.3:

                    Таблица 1.3 – Прибыль  предприятия