Планирование и распределение ресурсов

Количество ресурса	№ цехов и прибыль цехов
S=1
S=2
S=3
S=4
S=5
S=6
S=7

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 Принято считать, что:

1. Прибыль не зависит от вложения средств в другие предприятия;
2. Прибыль от каждого предприятия выражается в одних единицах;
3. Суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

Нужно определить, какое  количество средств необходимо выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

   Обозначим через - количество средств выделенных k – му предприятию.

Суммарная прибыль равна:

                                                                                          (1.6)

Переменные  удовлетворяют ограничению:

                                                                                            (1.7)

- эффективность работы k – го цеха.

- количество ресурса.

- ограничения ресурса.

   Требуется распределить ресурсы между цехами, таким образом, чтобы общая эффективность всех цехов была максимальной [16].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РАСЧЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД СОВМЕСТНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПЛАНИРОВАНИЯ ПРОИЗВОДСТВА И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

 

  2.1 Решение задачи линейного программирования геометрическим методом

 

  1. Решим задачу для одного вида ресурсов (для цеха по изготовлению металлического ограждения).

   Для изготовления двух видов продукции  гофрированного металлического листа и профилирующего настила для ограждения используют один вид ресурсов S.

                     

Таблица 2.1 – Используемые ресурсы  на одно изделие.

Количество ресурса в цехе	Ресурсы на одно изделие
	Гофрированный металлический лист	Профилирующий настил для ограждений
S=7	3	4
Стоимость единицы продукции	6 руб.	5 руб.

 

 

 

 

 

 

Прибыль, получаемая от единицы  продукции гофрированного металлического листа и профилирующего настила – составляет 6 руб. и 5 руб.

   Необходимо составить такой план производства продукции, при котором прибыль от её реализации будут максимальной.

   Решение. Составим экономико – математическую модель.

Обозначим через  – число единиц продукции соответственно гофрированного металлического листа и профилирующего настила, запланированных к производству. Для их изготовления потребуется единиц ресурса S. Тогда, учитывая количество единиц сырья, расходуемое на изготовление продукции, а так же запасы сырья, получим неравенство:

                                                                                           (2.1)

Которое показывает, что  количество сырья, расходуемое на изготовление продукции, не может превысить имеющихся запасов. Если гофрированный металлический лист не выпускается, ; в противном случае . То же самое получаем и для профилирующего настила. Таким образом, на неизвестные и должно быть наложено ограничение неотрицательности:

                                                  (2.2)

Конечную цель решаемой задачи – получение максимальной прибыли реализации – выразим как функцию двух переменных и . Реализация    единиц гофрированного металлического листа и единиц профилирующего настила дает соответственно 2 руб. и 4 руб. прибыли, суммарная прибыль:

                                            (2.3)

Условиями не оговорена  неделимость единицы изделия, поэтому  и (план выпуска изделий) могут быть и дробными.

Итак, экономико –  математическая модель задачи: найти  такой план выпуска продукции  ,удовлетворяющий системе (2.1) и условию (2.2), при котором функция (2.3) принимает максимальное значение.

Решим задачу геометрическим методом. 

Для нахождения решения  неравенства, построим прямую соответствующую  этому неравенству. Найдем точки  пересечения с осями координат: .

                                 

                        Рисунок 2.1 – Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений данной задачи является ограниченный треугольник  OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

                                

         Рисунок 2.2 – Построение целевой функции и нахождение оптимального решения.

 

Подставим значения и в линейную функцию, получим, максимальное значение линейной функции равное:

                                        

   Получаем, при оптимальном решении , таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 13,8 руб., необходимо запланировать производство 2,3 единиц гофрированного металлического листа.

   Найдем максимальное значение прибыли, для цеха по производству металлических ограждений , при различном количестве ресурсов.

1. Используя неравенство (2.1), подставим в него ресурс S=1. Решим геометрическим методом.

                                                 

  Для нахождения  решения неравенства, построим  прямую соответствующую этому  неравенству. Найдем точки пересечения  с осями координат: .

                                  

                      Рисунок 2.3 – Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений данной задачи является ограниченный треугольник  OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

.

                                  

       Рисунок 2.4 – Построение целевой функции и нахождение оптимального решения.

 

Подставим значения и в линейную функцию, получим, максимальное значение линейной функции равное:

                                      

   Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 1,8 руб., необходимо запланировать производство 0,3 единиц гофрированного металлического листа.

2. Используя неравенство (2.1), подставим в него ресурс S=2. Решим геометрическим методом.

                                                 

Для нахождения решения неравенства, построим прямую соответствующую этому неравенству. Найдем точки пересечения с осями координат:

                           

                      Рисунок 2.5 – Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений данной задачи является ограниченный треугольник  OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

.

                                         

         Рисунок 2.6 – Построение целевой  функции и нахождение оптимальной  точки.

 

Подставим значения и в линейную функцию, получим, максимальное значение линейной функции равное:

                                      

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль  в размере 4,2  руб., необходимо запланировать  производство 0,7 единицы гофрированного металлического листа.

3. Используя неравенство (2.1), подставим в него ресурс S=3. Решим геометрическим методом.

                                                 

Для нахождения решения  неравенства, построим прямую соответствующую  этому неравенству. Найдем точки  пересечения с осями координат: .

                                     

                      Рисунок 2.7 – Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений  данной задачи является ограниченный треугольник OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

.

                                     

       Рисунок 2.8 – Построение целевой функции и нахождение оптимального решения.

 

Подставим значения и в линейную функцию, получим, максимальное значение линейной функции равное:

                                      

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль  в размере 6 руб., необходимо запланировать производство 1 единицы гофрированного металлического листа.

4. Используя неравенство (2.1), подставим в него ресурс S=4. Решим геометрическим методом.

                                                 

Для нахождения решения неравенства, построим прямую соответствующую этому неравенству. Найдем точки пересечения с осями координат: .