Планирование и распределение ресурсов

.

                                   

       Рисунок 2.46– Построение целевой функции и нахождение оптимального решения

 

Максимальное значение (максимум) линейной функции равно:

                                     

 Получаем, при оптимальном решении , то есть максимальная прибыль в 1,5 руб. может быть достигнута при производстве 0,3 единиц металлопластиковых дверей.

2. Используя неравенство (2.10), подставим в него ресурс S=2. Решим геометрическим методом.

                                                 

  Для нахождения решения неравенства, построим прямую соответствующую этому неравенству. Найдем точки пересечения с осями координат: .

                                      

                    Рисунок 2.47– Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений  данной задачи является ограниченный треугольник OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

.

                                       

       Рисунок 2.48– Построение целевой функции и нахождение оптимального решения

 

Подставим значения и в линейную функцию, получим, что максимум линейной функции равен:

                                       

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль  в размере 3,5 руб., необходимо запланировать  производство 0,7 единиц дверей.

3. Используя неравенство (2.10), подставим в него ресурс S=3. Решим геометрическим методом.

                                                 

Для нахождения решения  неравенства, построим прямую соответствующую  этому неравенству. Найдем точки  пересечения с осями координат: .

                                       

                    Рисунок 2.49– Построение прямой по найденным точкам.

 

 Множеством решений  данной задачи является ограниченный  треугольник OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

.

                                           

       Рисунок 2.50– Построение целевой функции и нахождение оптимального решения

 

Максимальное значение (максимум) линейной функции равно:

                                         

   Итак, при оптимальном решении , то есть максимальная прибыль в 5 руб. может быть достигнута при производстве 1 двери.

4. Используя неравенство (2.10), подставим в него ресурс S=4. Решим геометрическим методом.

                                                 

Для нахождения решения  неравенства, построим прямую соответствующую  этому неравенству. Найдем точки пересечения с осями координат: .

                                          

                       Рисунок 2.51– Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений  данной задачи является ограниченный треугольник OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

.

                                        

       Рисунок 2.52– Построение целевой функции и нахождение оптимального решения

 

Подставим значения  и в линейную функцию, получим, что максимум линейной функции равен:

                                       

   Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 6,5 руб., необходимо запланировать производство 1,3 единицы дверей.

5. Используя неравенство (2.10), подставим в него ресурс S=5. Решим геометрическим методом.

                                                 

Для нахождения решения  неравенства, построим прямую соответствующую  этому неравенству. Найдем точки пересечения с осями координат: .

                                         

                       Рисунок 2.53– Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений  данной задачи является ограниченный треугольник OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

.

                                         

       Рисунок 2.54– Построение целевой функции и нахождение оптимального решения

 

Подставим значения и в линейную функцию, получим максимальное значение линейной функции равное:

                                      

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль в размере 8,5 руб., необходимо запланировать производство 1,7 единиц дверей.

6. Используя неравенство (2.10), подставим в него ресурс S=6. Решим геометрическим методом.

                                                 

Для нахождения решения  неравенства, построим прямую соответствующую  этому неравенству. Найдем точки  пересечения с осями координат: .

                                         

                        Рисунок 2.55– Построение прямой по найденным точкам.

 

Множеством решений  данной задачи является ограниченный треугольник OAB. Для построения прямой:

                                              

строим радиус – вектор и через точку O проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую будем передвигать параллельно самой себе в направлении вектора вверх (направление указанно стрелкой), поскольку именно при движении в этом направлении значение целевой функции увеличивается. Последней точкой, с которой соприкоснется передвигаемая прямая, прежде чем покинет треугольник, является точка . Это и есть точка, соответствующая оптимальному решению, то есть:

                                     

       Рисунок 2.56– Построение целевой функции и нахождение оптимального решения

Подставляя значения и в линейную функцию, получаем, максимальное значение линейной функции равное:

                                        

Таким образом, для того чтобы получить максимальную прибыль  в размере 10 руб., необходимо запланировать производство 2 единиц дверей [16, 18].

 

         2.3 Решим задачу динамического программирования

 

   Мы решили задачу линейного программирования, теперь используя эти данные, решим задачу динамического программирования.

Запланируем деятельность четырех предприятий на очередной  год. Начальные средства единиц. Размеры вложения в каждое предприятие кратны 1 единице. Средства x, выделенные каждому предприятию (k=1,2,3,4), приносят в конце года прибыль . Функции показаны в таблице:

                          Таблица 2.5 – Прибыль предприятия

Количество ресурса	№ цехов и прибыль цехов
S=1	1,8	1,5	2	1,5
S=2	4,2	3	4	3,5
S=3	6	4,5	6	5
S=4	7,8	6	8	6,5
S=5	10,2	7,5	10	8,5
S=6	12	9	12	10
S=7	13,8	10,5	14	11,5

 

Принято считать, что:

1. прибыль не зависит от вложения средств в другие предприятия;
2. прибыль от каждого предприятия выражается в одних единицах;
3. суммарная прибыль равна сумме прибылей, полученных от каждого предприятия.

   Нужно определить, какое количество средств необходимо выделить каждому предприятию, чтобы суммарная прибыль была наибольшей.

Решение. Обозначим через  - количество средств выделенных k – му предприятию. (Нумерацию предприятий 1,2,3,4 сохраняем в процессе решения неизменной).

Суммарная прибыль равна:

                                                  

Переменные  удовлетворяют ограничениям:

                                                 

                                             

- эффективность работы k – го цеха.

- количество ресурса.

- ограничения ресурса.                                   

   Требуется распределить 7 условных единиц между цехами: по изготовлению металлических ограждений, кровли из металла, изготовлению мебели из металла, металлопластиковых изделий, таким образом, чтобы общая эффективность всех цехов была максимальной.

  Решение задачи.

 

 

 

 

 

 

 

                         Таблица 2.6 – Полученная прибыль  цехов.

Ресурсы	1	2	3	4	5	6	7
Цеха
1	1,8	4,2	6	7,8	10,2	12	13,8
2	1,5	3	4,5	6	7,5	9	10,5
3	2	4	6	8	10	12	14
4	1,5	3,5	5	6,5	8,5	10	11,5