Пространственные механизмы

    При структурном анализе механизма  пассивные связи не учитывают. Если по формуле степень подвижности механизма будет равна нулю, но заранее известно, что рассматриваемая цепь подвижна, то следует искать пассивные связи.

    Наоборот, когда в механизм вводятся дополнительные звенья, имеющие собственную свободу  движения, тогда говорят о лишней степени свободы. Так, степень подвижности кулачкового механизма (рис. 1.2,б) W=2 (n=3, p₁=3, p₂=1). Построив заменяющий механизм, нетрудно убедиться, что он имеет степень подвижности W=1. Лишнюю степень подвижности для кулачкового механизма вносит свободный поворот ролика вокруг оси вращения без влияния на характер движения механизма в целом.

1.3 Закон образования механизмов по Ассуру

1.3.1.Сущность закона Ассура

    Впервые закон образования механизмов был  сформулирован в 1914 г. русским ученым Леонидом Владимировичем Ассуром применительно к плоским шарнирным механизмам и затем позднее распространен на другие механизмы И. И. Артоболевским. Закон образования механизмов можно сформулировать следующим образом:

Всякий  механизм представляет собою совокупность одного или нескольких, двухзвенных (первичных) механизмов и одной или нескольких групп нулевой подвижности.

    Группы  нулевой подвижности не изменяют числа степеней подвижности двухзвенных механизмов. В связи с этим сформулированный закон позволяет без помощи структурной формулы определить число степеней подвижности любого механизма.

     Закон Асура  является первостепенно важным для  решения задач моделирования  пространственных механизмов. Этот закон  даёт простой алгоритм решения задачи синтеза произвольного механизма и методику анализа имеющегося механизма (см. Рис. 1.3).

1.3.2 Двухзвенные механизмы

Двухзвенный (первичный) механизм состоит из подвижного звена и стойки, образующих обратимую пару.

    Двухзвенные простейшие механизмы (т. е. механизмы, имеющие пару пятого класса) широко применяются в технике, например, в турбинах, электродвигателях, генераторах, воздуходувках и т. п.

    Как следует из сформулированного закона Ассура, двухзвенный механизм представляет собою основу многозвенного механизма. Если двухзвенный механизм является простейшим, то в этом случае подвижное звено является входным звеном образуемого механизма (см. рис.1.4).

    Очевидно, одна и та же стойка может одновременно входить в состав нескольких таких  двухзвенных, не зависящих друг от друга механизмов. Подвижные звенья этих механизмов представляют собою не что иное, как начальные звенья, причем каждое из них всегда будет иметь одну степень подвижности.

1.3.3 Группы нулевой подвижности

Структурной группой Ассура (или группой нулевой подвижности) называется кинематическая цепь, образованная только подвижными звеньями механизма, подвижность которой (на плоскости и в пространстве) равна нулю (W_гр = 0).

 

Конечные  звенья групп Ассура, входящие в  две кинематические пары, из которых  одна имеет свободный элемент звена, называются поводками.

    Группы  могут быть различной степени  сложности. В зависимости от сложности, структурные группы Ассура делятся  на классы, а классы в свою очередь делятся на порядки.

Классом структурной группы Ассура называется число кинематических пар, входящих в замкнутый контур, образованный внутренними кинематическими парами группы (И.И. Артоболевского).

 

Порядок группы определяется числом внешних элементов кинематических пар, которыми группа присоединяется к имеющемуся механизму: первая группа присоединяется к первичному механизму, каждая последующая – к полученному механизму (при этом нельзя присоединять группы к одному звену).

    Механизмы классифицируются по степени сложности  групп входящих в их состав. Класс и порядок механизма определяется классом и порядком наиболее сложной из входящих в него групп.

     Особенность структурных групп Ассура - их статическая  определимость. Если группу Ассура свободными элементами звеньев присоединить к  стойке, то образуется статически определимая ферма. Используя группы Ассура удобно проводить структурный, кинематический и силовой анализ механизмов. Наиболее широко применяются простые рычажные механизмы, состоящие из групп Ассура 1-го класса 2-го порядка. Число разновидностей таких групп для плоских механизмов с низшими парами невелико - их всего пять (см. рис. 1.5).

    При структурном синтезе механизма по Ассуру (рис. 1.3) к выбранным первичным механизмам с заданной подвижностью W₀ последовательно присоединяются структурные группы c нулевой подвижностью. Полученный таким образом механизм обладает рациональной структурой, т.е. не содержит избыточных связей и подвижностей.

    Структурному  анализу по Ассуру можно подвергать только механизмы, не содержащие избыточных связей и подвижностей. Поэтому перед проведением структурного анализа необходимо устранить избыточные связи и выявить местные подвижности. Затем необходимо выбрать первичные механизмы и, начиная со звеньев наиболее удаленных от первичных, выделять из состава механизма структурные группы нулевой подвижности 
(рис. 1.3). При этом необходимо следить, чтобы звенья, остающиеся в механизме, не теряли связи с первичными механизмами.

    Ассур разработал структурную классификацию  для плоских рычажных шарнирных  механизмов (т.е. для механизмов только с вращательными парами). В дальнейшем Артоболевский И.И. усовершенствовал и дополнил эту классификацию, распространив ее на плоские механизмы и с поступательными парами. При этом были изменены и принципы классификации. В плоских механизмах группами являются кинематические цепи с низшими парами, которые удовлетворяют следующему условию:

            (1.4)

    Решения этого уравнения в целых числах определяют параметры групп Ассура.

Таблица 1.2: классификация структурных групп Ассура II – VI классов

Группа Порядок 2-й 3-й 4-й 5-й II класса - - - III класса - IV класса - - V класса - - VI класса - -

     Структурные группы 2-го класса (обычно называемые двухповодковыми группами Ассура) дополнительно классифицируются по видам, различающихся сочетанием вращательных и поступательных пар (рис. 1.6).

    Структурный анализ механизма проводится путем  расчленения его на структурные  группы и первичные механизмы  в порядке, обратном образованию  механизма.

2 Задачи кинематики механизмов и их решение

2.1 Теоретические основы и определения

2.1.1 Геометрическая модель звеньев и пар пространственного рычажного механизма

    Рассмотрим  класс рычажных механизмов, которые  могут быть образованы согласно принципу Ассура наслоением одноконтурных структурных групп. Под одноконтурной группой будем понимать двухповодковую группу, кинематическая цепь которой после условного присоединения поводков к стойке образует только один замкнутый контур.

    Звено L_i,i+1 (рис.2.1) соединяется со смежными звеньями группы посредством двух кинематических пар. Для моделирования этих пар на звене, в общем случае, должны быть определены две оси, каждая из которых задана точкой, соответственно B_i и A_i+1, и единичным вектором (ортом) направления, соответственно u_i,B и u_i+1,A, т.е.

     L_i,i+1={B_i, u_i,B, A_i+1, u_i+1,A}.

    Точки и орты направлений осей пар рассматриваются  как первичные элементы модели звена, на которых могут быть построены различные вторичные элементы, например:

• r_i,i+1=B_iA_i+1 - вектор звена;
• e_i,i+1=u_i,B´u_i+1,A/ïu_i,B´u_i+1,Aï - орт направления, ортогонального осям пар звена.

 
 
 
 

    Для задачи о положениях структурной  группы важно, что для каждого  звена L_i,i+1, в силу его жесткости, геометрическими инвариантами движения (кинематическими константами) являются:

1. расстояние между точками B_i, A_i+1: (r_i,i+1)²=(r_i+1,A-r_i,B)²=const;
2. линейное и угловое расстояние между направлениями:  
   (u_i,i+1)²=(u_i+1,A-u_i,B)²=const Þ u_i+1,A×u_i,B=const;
3. скалярные произведения:  
   u_i,B×r_i,i+1=const; r_i,i+1×u_i+1,A=const и u_i,B×e_i,i+1=const; e_i,i+1×u_i+1,A=const;

    Звено с параллельными осями вращения (т.е. u_i,B=u_i+1,A с точностью до знака) будем называть плоским звеном.

    Звено, у которого расстояние между осями  равно нулю, будем называть нулевым звеном, а точки B_i и A_i+1 такого звена всегда будем считать совпадающими с точкой пересечения осей. Звено, у которого не определено одно из направлений, будем называть неполным.

    Объединение звеньев L_i-1,i={B_i-1,u_i-1,B;A_i,u_i,A} и L_i,i+1={B_i,u_i,B;A_i+1,u_i+1,A} в i-той паре налагает на первичные, а значит и на вторичные, элементы модели звена различные условия, зависящие от геометрии сочленения. Геометрические условия сочленения для каждого типа кинематических пар сведены в табл.1. В записи условий вместо точек A_i, B_i использованы их радиус-векторы r_i,A, r_i,B.

Таблица 2.1: Геометрические условия замкнутости звеньев в i-той кинематической паре

Тип пары Класс пары  (число связей) Условия на точки осей пары Условия на орты осей пары Сферическая (С) 3 ri,A=ri,B   Сферическая  с пальцем (Сп) 4 ri,A=ri,B ui,A×ui,B=const Вращательная (В) 5 ri,A=ri,B ui,A=ui,B Поступательная (П) 5 ri,A´ui,A=ri,B´ui,B ui,A=ui,B,  ui-1,B×ui+1,A=const Цилиндрическая (Ц) 4 ri,A´ui,A=ri,B´ui,B ui,A=ui,B Плоскостная (Пл) 3 ri,A×ui,A=ri,B×ui,B ui,A=ui,B Геликоидная (Г) 5 ri,A+(si/2)×ui,A=ri,B-(si/2)×ui,B,  si=hi×j i(ui-1,B,ui,ui+1,A) ui,A=ui,B