Разработка комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

с –  а = с + (-а),    (6')

т.е. чтобы  вычесть вектор, достаточно прибавить  равно-противоположный ему вектор.

    Рассмотрим  еще умножение вектора на скаляр.

    Произведение  αа, где α – любое число, представляет вектор, коллинеарный с а и имеющий  длину, в α раз большую, чем  вектор а. Этот новый вектор имеет  направление или совпадающее  с направлением а, или направление, ему противоположное, в зависимости  от того, будет ли α положительным  или отрицательным числом.

    Отдельно  рассматривать деление вектора  на число не стоит, потому что это  действие сводится к умножению вектора  на обратное число; например, вместо того чтобы разделить вектор на 3, достаточно умножить его на 1/3.

    Умножение вектора на скаляр подчиняется законам  умножения чисел:

1. закону переместительности:                αа = аα;      (7)
2. закону сочетательности:                 α (βа) = (αβ) а;    (8)
3. закону распределительности:             α (a + b) = αa + αb, (9)

и                           (α + β) a = αa + βa. (9')

Если  произведение равно нулю:    αа = 0,  то  или α = 0,    или а = 0

    Если  а и b – два коллинеарных вектора, то всегда можно найти такой скаляр λ, который, будучи помножен на а, дает вектор, равный b, т.е.  

    b = λа     (10)

Иначе это число λ можно назвать  отношением векторов b и а:     b : а = λ.

    Говорить  об отношении неколлинеарных векторов не имеет смысла.

    Условие, необходимое и достаточное для  коллинеарности двух векторов а и  b, выражается равенством (10) или более общей линейной зависимостью, их связывающей:                               αа + βb = 0     (11)

    Вектор, который при выбранном масштабе имеет длину, равную единице, называется единичным вектором ил  и ортом. Если дан какой-нибудь вектор а, то единичный вектор а⁰ того же направления мы получим, разделив а на его модуль:                                   а⁰ = , откуда а = |а| · а⁰.

    Компланарными векторами называются векторы, расположенные в одной и той же плоскости или параллельные одной и той же плоскости.

    Условием, необходимым и достаточным для  компланарности трех векторов а, b и с, является существование между ними линейной зависимости, т.е. соотношения                           αа + βb + γс = 0         (12)

где коэффициенты α, β и γ не равны нулю одновременно.

    Иначе говоря, если мы имеем два неколлинеарных вектора а и b, то всякий третий компланарный им вектор с может быть единственным способом «разложен по векторам а и b», т.е. представлен как сумма двух векторов, соответственно им коллинеарных:             с = λа + μb.      (13)

    Если  мы имеем три неколлинеарных вектора  а, b и с, т.е. представлен как сумма трех векторов, соответственно им коллинеарных: d = αа + βb + γс.  (14)

    Между любыми четырьмя векторами существует линейная зависимость:

    αа + βb + γc + δd = 0,

где α, β, γ и δ не равны нулю одновременно. [5] 

    ^{Задача  1. Даны векторы а(2;-4), в(-5;2),. Найти координаты вектора 2а - 3в.}

    ^{Решение. Координаты векторов будут равны 2а(4; -8) и 3в(-15; 6). Разность векторов 2а и 3в имеет координаты, равные разности координат векторов 2а и 3в , т.е. (19; -14).} 

     ^{Задача 2. Даны два вектора АВ и CD, причем А( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4),       С( -1; -2; 2) и D(2; 1; 5). Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.}

     

     ^{Решение.}

    ^{Найдем  сначала координаты векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).}

^{вычислим  теперь скалярное  произведение этих векторов:}

^{АВ · СD = (-3) · 3 + 3 · 3 + 0 · 3 = 0. Последнее и означает, что АВ ┴ СD.}

    ^{Два вектора называются коллинеарными, если направления их либо совпадают, либо противоположны. Таким образом, коллинеарные векторы лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис.10). Для коллинеарности векторов используется знак параллельности: а||в.}

    ^{Два вектора а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число λ такое, что в = λ а.}

    ^{Нулевой вектор считается  коллинеарным любому вектору.}

     ^{Задача 3. В треугольник АВС векторы АВ = а, ВС = в, СА = с. Выразить АМ, BN, СК, где АМ, BN, СК – медианы треугольника, через векторы а, в и с.}

     ^{Решение. Ясно, что АМ = АВ + ВМ = с + а/2, BN = ВС = СN = а + в/2,}

^{СК = СА + АК = в + с/2.  [2]} 

     ^{Задача 4.}

    ^{Даны два  вектора AB и CD,  причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2) и D (2; 1;5).  Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.}

     ^{Решение.}

    ^{Найдем  сначала координаты  векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD = (3; 3; 3).}

    ^{Вычислим теперь  скалярное произведение  этих векторов:}

       ^{АВ · СD = ( -3) · 3 + 3 · 3 + 0 · 3 = 0.}

   ^{Последнее и означает, что АВ  ┴ СD.}

      

     ^{Задача 5. Дан произвольный треугольник АВС. Доказать, что можно построить треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам треугольника АВС.} 
 

   

  ^{Решение.}

    ^{Обозначим медианы  треугольника АВС  через ВЕ, СF и обозначим векторы, идущие вдоль сторон треугольника АВС, через а, в, с:}

^{ВС = а, СА = в, АВ = с}

^{(рис.8). Тогда}

^{АD = АВ + ВD = АВ + = с +}

^{аналогично  определяются и другие медианы:}

^{ВЕ = а + , СF = в +}

    ^{Так как,  в силу условия  замкнутости}

^{ВС + СА + АВ = а + в + с =0,}

^{то  мы имеем:}

^{АD + ВЕ + СF = ( с + ) + (а + ) + ( в + ) = ( а + в + с) = х 0 = 0.}

    ^{Следовательно,  отложив от точки В, вектор В₁С₁ = ВЕ и от точки С₁ – вектор С₁D₁ = СF, мы получим.}

^{А₁В₁ + В₁С₁ + С₁D₁ = АD + ВЕ + СF = 0.}

    ^{А это значит (в  силу условия замкнутости), что ломаная А₁В₁С₁D₁ является замкнутой, т.е. точка D₁ совпадает с А₁.}

    ^{Таким образом,  мы получаем треугольник  А₁В₁С₁ (рис.9), стороны которого равны и параллельны медианам АD, ВЕ, СF исходного треугольника. [6]}

  

^{Задача 6. Доказать, что для любого треугольника имеет место формула}

^{с2 = а2 + в2 – 2ав · соs С (теорема косинусов)}

    ^{Решение.}

    ^{Положим: а = СВ, в = СА,}

 ^{с = АВ .}

    ^{Тогда с = а – в, и мы имеем}

^{(учитывая, что угол между  векторами а и в равен С):}

^{с2 = ( а – в )2 = а2 – 2ав + в2 = а2 – 2ав · соs С + в2.}

  

^{Задача  7.  Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.}

   

 
 

^{Решение  Пусть четырехугольник АВСD – параллелограмм. Имеем векторные равенства}

^{АВ + AD = АС, АВ – АD = DВ.}

    ^{Возведем эти равенства  в квадрат. Получим:}

^{АВ2 + 2 АВ · АD + АD2 = АС2, АВ2 – 2АВ · АD + АD2 = DВ2}

    ^{Сложим эти равенства  почленно. Получим:}

^{2АВ2 + 2 АD2 = АС2 + DВ2.}

    ^{Так как у параллелограмма  противолежащие стороны  равны, то это  равенство и означает, что сумма квадратов  диагоналей параллелограмма  равна сумме квадратов  его сторон, что  и требовалось  доказать.}

   

^{Задача  8. Даны три точки: А ( 1; 1), В ( -1; 0), С ( 0; 1). найдите такую точку D ( х; y), чтобы векторы АВ и СD были равны. [3]}

    ^{Решение.}

^{Вектор АВ имеет  координаты –2, -1. Вектор СD имеет координаты х – 0, y –1. Так как АВ = СD, то х – 0 = -2, y –1 = -1. Отсюда находим координаты точки D:            х = -2, y = 0.}

    

  ^{Задача 9.}

    ^{Даны два  вектора АВ и  СD, причем А ( -1; 2; 4), В ( -4; 5; 4), С ( -1; -2; 2),        D ( 2; 1; 5).Определить, перпендикулярны они друг другу или нет.}

    ^{Решение.}

    ^{Найдем  сначала координаты  векторов. АВ = ( -3; 3; 0) и СD ( 3; 3; 3).}

    ^{Вычислим теперь  скалярное произведение  этих векторов:}

                            ^{AB · CD = ( -3) · 3 + 3 · 3 + 0 · 3 = 0.}

     ^{Последнее означает, что АВ ┴ CD}  

    ^{Рассмотренные выше  примеры задач  показывают, что векторный  метод является  весьма мощных  средством решения  геометрических и  многих физических (и  технических) задач.} 

Задача 10. Дана треугольная призма (рис. 3). Разложить вектор по векторам и

Решение. По правилу треугольника имеем

             

Складывая левые и правые части этих векторных  равенств, получаем

Так как  и то и, следовательно,

 
 
 

2. Проекции  векторов. Скалярное  умножение векторов.

    Осью называется прямая, на которой выбрано положительное направление и единица длины. Ось вполне определяется единичным вектором (ортом).

    Проекцией точки М на данную ось называется основание перпендикуляра , опущенного из данной точки М на данную ось.

    Проекция  вектора  на ось называется длина вектора , заключенного между проекциями начала и конца вектора , причем длина эта берется с положительным знаком, когда вектор имеет направление орта оси, и с отрицательным знаком, когда и орт оси имеют противоположные направления.

    Проекция  вектора на ось есть скаляр.

    Проекция  вектора на ось равна произведению длины этого вектора на косинус  угла (φ) между вектором и осью:

    пр. = || · cosφ.           (15)

    Проекция  суммы векторов равна алгебраической  сумме проекций слагаемых векторов:            пр. (a + b + c) = пр. а + пр. b + пр. с.    (16)

    Проекция  произведения вектора на скаляр равна  произведению этого же скаляра на проекцию вектора:                  пр. (αа) = α · пр. а.    (17)