Разработка комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

    Скалярным (внутренним) произведением двух векторов называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними.

    Чтобы показать, что два вектора перемножаются  скалярно, их заключают в круглые  скобки или просто пишут рядом:          (ab) = ab = ab cos .     (18)

    Если  перемножаемые векторы коллинеарны, то     ab = ± ab,

т.е. скалярное  произведение коллинеарных векторов равняется  произведению их скаляров, взятому  со знаком плюс или минус, в зависимости  от того, имеют ли оба вектора  одинаковые или противоположные  направления.

    Если  один из сомножителей является единичным  вектором, то скалярное произведение равно проекции другого сомножителя  на направление первого:

    ab⁰ = a · 1 ·cos ( ⁰) = пр._bº a,      (19)

т.е. умножение  вектора на единичный вектор равносильно  проектированию этого вектора на ось единичного вектора.

    Если  оба сомножителя являются единичными векторами, то их скалярное произведение равно косинусу угла между ними:           a⁰b⁰ = cos ().

    Угол  между двумя векторами а и b можно вычислить по формуле:

    cos () = .    (20)

    Скалярное произведение двух равных векторов (так  называемый скалярный квадрат вектора) равно квадрату модуля этого вектора:

    аа = (а)² = а².       (21)

    Этим  можно воспользоваться для вычисления длины вектора: а = ².  (22)

    Квадрат единичного вектора равен единице:        а⁰а⁰ = (а⁰)² = 1   (21')

    Скалярное произведение двух векторов может равняться  нулю, когда ни один из сомножителей не равен нулю, а именно, когда  перемножаемые векторы перпендикулярны. Итак,                  аb = 0 равносильно а┴b.      (23)

      Скалярное произведение двух векторов может быть положительным или отрицательным  числом, в зависимости от того, образуют ли они острый или тупой угол между собой.

      Скалярное умножение подчиняется законам  умножения чисел:

1. закону переместительности:                        ab = ba;      (24)
2. закону распределительности:               (а + b) c = ac + bc;      (25)
3. закону сочетательности по отношению к числовому множителю:

(αа) b = α (ab).       (26)

Но, вообще говоря,                          (ab) c a (bc),       (27)

потому  что в левой части неравенства (27) стоит вектор, коллинеарный с  с, в правой части – вектор, коллинеарный с а. [5]

     ^{Задача 1. Даны векторы а и в. Найти длину вектора а+в, если известно, что =4, =3, а угол между векторами а и в равен 60°. [1]}

     ^{Решение. Согласно одного из свойств скалярного произведения векторов , . Следовательно, .}

     ^{Задача 2. Вычислить косинусы углов А и В треугольника АВС, вершины которого имеют следующие координаты: А(1;6), В(1;1), С(4;1).}

     ^{Решение. Согласно определению скалярного произведения векторов и в, , найдем .}

      ^{Вычислим координаты векторов АВ и АС: АВ(0;-5), АС(3;-5),}

      ^{; .}

      ^{Затем вычислим координаты векторов ВА и ВС: ВА (0;5), ВС(3;0), . Следовательно, ВА^ВС, и . [6]}

     ^{Задача 3. В точках М₁(х₁;у₁), М₂(х₂;у₂) сосредоточены массы, соответственно равные m₁ и m₂. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.}

     ^{Решение. Известно, что центр масс С лежит на отрезке М₁М₂ и удален от точек М₁ и М₂ на расстояние, обратно пропорциональные массам m₁ и m₂, т.е. точка С, являющаяся центром тяжести системы двух материальных точек, делит отрезок М₁М₂ в отношении . Используя формулы для нахождения координат середины отрезка ; и подставляя в них значение , после преобразований находим координаты точки С:}

      ^{; . [3]} 

3. Векторное умножение. Смешанное  произведение трех векторов. Двойное векторное  произведение.

    Наряду  с умножением двух векторов, приводящим к скаляру, рассмотрим еще один тип  умножения векторов, в результате которого получается вектор. Такое  умножение называется векторным  или внешним.

    Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор с, обладающий следующими свойствами:

1. Длина вектора с равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, т.е.                                с = а · b · sin ().       (28)
2. Вектор с перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма, т.е. перпендикулярен вектору а и вектору b:               ac = 0 и bc = 0     (29)
3. Векторы а, b и с, взятые в указанном порядке, составляют правую тройку векторов.

    Это последнее условие значит, что  наблюдатель, стоящий на плоскости  векторов а и b так, что направление от его ног к голове совпадает с направлением вектора с, видит кратчайшее вращение от направления а к направлению b совершающимся справа налево, т.е. против часовой стрелки.

      Для векторного произведения с вектора а на вектор b вводится обозначение:                                    с = [ab]     (30) 

или                                                       с = a b       (30')

      Если  перемножаемые векторы взаимно  перпендикулярны, то модуль векторного произведения равен произведению модулей  сомножителей:

|[ab]| = ab, если a ┴ b.                 (31)

    Если  перемножаемые векторы коллинеарны, sin () = 0 и векторное произведение их равно нулю, т.е.                      [ab] = 0,         (32)

это равносильно  a || b; в частности                   [ab] = 0.     (32')

    Свойство  переместительности для векторного умножения не сохраняется, так как  перемена мест сомножителей приводит к перемене знака произведения или, точнее, вектор-произведение меняет направление  на противоположное:

    [ab] = - [ba].        (33)

    Свойство  сочетательности по отношению к скалярному множителю сохраняется:                             α [ab] = [(αa) b] = [a (αb)].        (34)

    Свойство  распределительности для векторного произведения сохраняется:

    [a (b + c)] = [ab] + [ac].             (35)

    Если  векторное произведение двух векторов [ab] умножается скалярно на третий вектор с, то такое произведение трех векторов называется смешанным (векторно-скалярным) и обозначается так:            [ab] c = c [ab].     (36)

    Смешанное произведение имеет простое геометрическое толкование – это скаляр, по абсолютной величине равный объему параллелепипеда, построенного на данных трех векторах. Если векторы а, b и с составляют правую тройку, их смешанное произведение есть число положительное, равное указанному объему; если же тройка а, b и с – левая, смешанное произведение – число отрицательное, и для получения положительного объема придется переменить знак на обратный.

    Смешанное произведение трех векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти  векторы компланарны, т.е. условие  компланарности трех векторов имеет вид:                                     [ab] c = 0        (37)

    Смешанное произведение обладает тем свойством, что оно не меняется при круговой перестановке сомножителей и меняет знак при всякой перестановке, меняющей последовательность сомножителей:

    [ab] c = [bc] a = [ca] b = - [ba] c = - [ac] b = - [cb] a.      (38)

    Поэтому смешанное произведение векторов а, b и с иногда обозначают проще, написав их рядом в той последовательности, в которой производятся действия:                                    [ab] c = abc               (39)

    Если  векторное произведение двух векторов [ab] умножается векторно на третий вектор с, то такое произведение называется двойным векторным произведением и обозначается так:               [[ab] c].         (40)

    Двойное векторное произведение не обладает ни свойством переместительности, ни свойством сочетательности:

    [[ab] c] [c [ab]],      (41)                             [[ab] c] [a [bc]].      (42)

    Вектор  [[ab] c] компланарен векторам а и b; поэтому он может быть разложен по этим векторам. Соответствующая формула разложения двойного векторного произведения такая:               [[ab] c] = b (ac) – a (bc).      (43) [5] 

     Задача 1. Компланарны ли векторы , , ?

     Решение. Если векторы компланарны, то по свойству 4) их смешанное произведение равно нулю. Проверим это. Найдем смешанное произведение данных векторов, вычислив определитель:

      векторы , , некомпланарны.

     Деление отрезка в данном отношении.

     Пусть отрезок  в пространстве Oxyz задан точками и . Если он разделен точкой в отношении , то координаты точки следующие:

      .

     Задача 2. Найти точку , делящую отрезок в отношении , если .

     Решение. Определим координаты точки :

     . Таким образом,  . 

    Задача 3. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и Вычислить их смешанное произведение.

    Решение. По определению, . Вектор образует с и правую тройку, причем Значит Кроме того,

      

    Тогда  

    Задача 4. Вычислить и определить ориентацию этой тройки векторов, если Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах приведенных к общему началу.

    Решение.

    Поскольку смешанное произведение отрицательно, тройка векторов является левой. Находим объем параллелепипеда:

    

    Задача 5.  Доказать, что точки A(1, 2, –1), B(0, 1, 5),          C(–1, 2, 1) и D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.

    Решение. Рассмотрим три вектора

    

    Согласно  формуле (10) их смешанное произведение:

    

    а это значит, что векторы  – компланарны и лежат в одной плоскости, т. к. имеют общее начало. Таким образом, точки A, B, C, D лежат в одной плоскости.

    Задача 6. Вычислить объем треугольной пирамиды OABC, если

    Решение.  ,

где – объем параллелепипеда, построенного на векторах

Согласно  геометрическому смыслу смешанного произведения

     .

Поскольку

    

 то получаем  _[4]