Разработка комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

Решение. причем . Значит .

Прежде  всего, определим, лежат ли прямые в  одной плоскости, т. е. являются ли векторы и компланарными (здесь ). Найдем для этого их смешанное произведение:

Значит, прямые лежат в одной плоскости  и не параллельны. Следовательно они пересекаются. Найдем их точку пересечения .

 при подстановке в уравнение  .

Значит, Итак, _[1] 
 
 

5. Прямая  и плоскость

    Чтобы найти точку пересечения прямой                                       (63)

и плоскости                                            ,                         (64)

надо совместно  решить эти два уравнения. Радиус-вектор точки их пересечения может быть вычислен и по формуле:                    .             (65)

      Угол  между прямой (63) и плоскостью (64) вычисляется следующим образом:                                                                              (66)

или                                                           .                        (66')

      Условие параллельности прямой (63) и плоскости (64):      аА = 0.      (67)

      Условие их перпендикулярности:          или      А =         (68)

      Условие того, что прямая (63) целиком лежит в плоскости (64), выражено двумя равенствами:                αа +          и          аА = 0         (69)

      Если  прямая дана уравнением , то это же условие выразится проще:                              и             (аА) = 0                 (69') [5] 

     Задача 1. Пирамида задана координатами своих вершин , , . Требуется найти:

     1) длины ребер  и ; 2) угол между ребрами и ; 3) площадь грани, содержащей вершины ; 4) объем пирамиды; 5) уравнения прямых и ;

     6) уравнение высоты  , опущенной из вершины на плоскость ;

     7) расстояние от вершины  до плоскости ; 8) угол между ребром и гранью, содержащей вершины .

     Решение.1) Длины ребер и определим как модуль векторов и по формулам ;

      ;

     2) Найдем координаты векторов  и :

     

     Длины этих векторов, т.е. длины ребер  и , таковы: ,

      . Косинус угла между ребрами  и вычислим по формуле ;

     3) Площадь грани  (треугольника) равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половина модуля векторного произведения этих векторов, которое равно

      .

     Тогда, (кв. ед);

     4) Объем пирамиды равен  .

      (куб. ед);

     5) Уравнения прямых  и найдем как уравнения прямых, проходящих через две данные точки:

     ( ): ,

     ( ): (абсциссы точек и одинаковые);

     6) Направляющим вектором высоты  является нормальный вектор плоскости . Получим уравнение плоскости :

      ,

       – уравнение плоскости  . Тогда нормальный вектор плоскости имеет координаты . Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеет вид: ;

     7) Для вычисления расстояния от  вершины  до плоскости воспользуемся формулой . В нашем случае – уравнение плоскости и . Итак, ;

     8) Угол  между прямой и плоскостью находят по формуле:

      , где  – нормальный вектор плоскости . и . Таким образом, ,   . [1]

     Задача 2. Найти координаты точки N, симметричной точке относительно прямой, проходящей через точки и .

Решение. Для решения задачи воспользуемся следующими рассуждениями: симметричная точке M точка N находится в той же плоскости, что прямая AB и точка M, лежит на перпендикуляре MN к прямой AB и находится от прямой AB на том же расстоянии, что и точка M.

Пусть Тогда

1) – компланарны;

2) ;

3) ;

4) середина  отрезка MN лежит на прямой AB.

Составим  систему уравнений, используя координатную форму записи условий 1–3.

 – компланарны при условии т. е. откуда получаем

  откуда

Условие равносильно условию или что приводит к уравнению

 затем

 откуда  .

 следовательно,

 После подстановки  , получим или

Таким образом, точки  и удовлетворяют первым трем условиям. Осталось проверить четвертое. Найдем середины и отрезков и соответственно и проверим, какая из точек ( или ) лежит на прямой

 ли 

 или 

 т. к. но

 т. к.

Итак, _[6]

Задача 3. Прямая L задана общими уравнениями

Написать  уравнение ее проекции на координатную плоскость Oxz.

Решение. Построим канонические уравнения прямой L. В качестве направляющего вектор можно взять вектор где Тогда т. е.

Присвоив  переменной x значение 0, получим систему уравнений из которой найдем а значит точка лежит на прямой L.

Таким образом, канонические уравнения прямой L таковы:

 что эквивалентно системе  трех уравнений, описывающих три  плоскости, проектирующие прямую на координатные плоскости Oxy, Oxz и Oyz соответственно. Итак, искомое уравнение  
 

Заключение

    Данная  работа посвящена разработке комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

    Основные  результаты работы, отражающие его  новизну, теоретическую и практическую значимость, заключаются в следующем:

    1. Дана общая характеристика векторам и действиям над ними.

    2. Рассмотрели применение векторной алгебры в аналитической геометрии.

    3. Проведен анализ учебников по геометрии на наличие в них задач с практическим содержанием.

    4. Разобраны решения некоторых геометрических задач с использованием основных векторных соотношений.

    5. Выделены типы задач с практическим содержанием.

    Перспектива дальнейшего исследования:

• разработка комплекса практико-ориентированных задач по геометрии;
• возможность использования задач с практическим содержанием в ИКТ.

     Условием успешного усвоения геометрических знаний учащимися является формирование их творческой самостоятельности, которое осуществляется в процессе обучения. 
 
 
 
 
 

Список  литературы 

1. ^{Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Практический курс линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Университетская книга; Логос, 2008.}
2. ^{Кравцев С.В. Алгебра и начала анализа. Ответы на экзаменационные билеты. 11 класс: учебное пособие. – М.: Издательство «Экзамен», 2006.}
3. ^{Кузютин В.Ф., Зенкевич Н.А., Еремеев В.В. Геометрия: Учебник для вузов. – СПб.: Лань, 2003.}
4. Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. — 4-е изд., дополненное — М.: Изд-во Московского центра непрерывного математического образования, 2001 (эл. версия).
5. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. СПб.: Лань, 2007.
6. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. /Под. ред. Блогодатских В.И. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.
7. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. сред. шк. – 3-е  
   изд. – М.: Просвещение, 1992.
8. Рогановский Н.М. Методика преподавания математики в ср. шк.: Учебное пособие – Выш. шк., 1990.
9. Колягин Ю.М., Оганесян В.А. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика – учеб. пособие для студентов физ.-мат. факт. пед. институтов. М.: Просвящение, 1975.
10. Герасимович А.И., Пушкина-Варварчук Г.Т., Шарикова З.П., Цыганова В.К. Геометрия для подготовительных отделений втузов: Справ. Пособие – Мн.: Выш. Шк., 1987.
11. Программы средней общеобразовательной школы. Математика – М.: Просвещение, 1988.
12. Мусхелишвили Н.И. Курс аналитической геометрии. М, Высшая школа, 1967.
13. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М, Наука, 1971.
14. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М, Наука, 1968.
15. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1990.