Уравнения как математические модели реальных ситуаций

Министерство образования Московской области

 

 

Государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

Ногинский педагогический колледж Московской области

 

 

Кафедра естественно-математических дисциплин и информатики

 

 

 

 

 

 

 

Представление о математической модели в курсе алгебры основной школы. Уравнения как математические модели реальных ситуаций

 

 

Выпускная квалификационная работа

 

 

студентки АБАШКИНОЙ АННЫ АЛЕКСАНДРОВНЫ

 

 

 

 

Специальность: 050201 «Математика»

 

 

Группа   4 Д

 

 

Руководитель: Ивашина Зоя Николаевна

 

 

Работа к защите допущена___________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ногинск

2009

Оглавление
Введение	3
Глава 1. Теоретические основы математического моделирования
§1. Моделирование как метод научного познания	5
§2. Понятие моделирования в психологии	7
§3. Использование моделей и моделирования в обучении	8
3.1. Понятие модели. Моделирование	8
3.2. Классификация моделей. Виды моделей	10
3.3 Математическая модель. Математическое  моделирование	15
Глава 2. Уравнения как математические модели реальных ситуаций
§1. Математическое моделирование в школе	19
§2. Функции и цели обучения математическому моделированию в школе	24
§3. Модель как средство обучения. Анализ учебников алгебры 5-9 классов	26
Заключение	48
Литература
Приложение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Проблема модернизации образования в настоящее время широко обсуждается в теории и практике, особенно с позиции активизации творческой познавательной деятельности учащихся. Активизация познавательной деятельности учащихся – один из дидактических принципов, роль которого существенно возросла в условиях развивающего обучения. Проблема активизации включает в себя средства для осуществления такой деятельности.

Моделирование - важный метод научного познания и сильное средство активизации учащихся в обучении.

Отмечается, что одной из составляющих математического образования является новое представление о предмете математики. В основе содержания школьных учебников должно быть предусмотрено создание и разработка схем, моделей и их вариантов, создание моделей по известным схемам, приложение уже разработанных схем непосредственно в обучении. Для того чтобы лучше увидеть общие черты усваиваемого действия, надо отвлечься от ненужных в данном случае свойств предметов, а это и значит, что нужно перейти к действию с моделями, свободными от всех других свойств, кроме нужных в данном случае.

К основным целям обучения математике относится формирование умений строить математические модели простейших реальных явлений, исследовать явления по заданным моделям, конструировать приложения моделей; приобщение учащихся к опыту творческой деятельности и формирование у них умения применять его.

Однако вот какой парадокс обнаруживается: то, что учащиеся имеют дело с моделями, изучают модели, они, как правило, не знают. Да откуда им это знать, если в программах и в учебниках понятия модели и моделирования почти отсутствуют?

Массовые обследования учащихся показали, что подавляющее большинство учащихся не могут дать четкого определения понятия модели и моделирования, они лишь указывают на модели геометрических тел, которые обычно стоят в шкафах математических кабинетов.

Все выше сказанное определило актуальность данной работы.

Объект исследования: процесс обучения учащихся построению  математических моделей в курсе алгебры 5-9 классов основной общеобразовательной школы.

Предмет исследования: влияние математической модели на формирование понятия уравнения в курсе алгебры 5-9 классов основной школы.

Цель работы:  совершенствование методики изучения уравнений как моделей реальных процессов.

В ходе исследования была выдвинута гипотеза: если сформировать умение решать задачи с помощью уравнений, то процесс обучения решению задач будет более эффективным.

С учетом проблемы исследования и для проверки достоверности выдвинутой гипотезы потребовалось решить следующие задачи:

1. показать возможность влияния математической модели на формирование понятия уравнения;
2. изучение и анализ учебно-методической литературы по теории вопроса и по практическому применению моделирования при решении задач;
3. разработка методических приемов построения математических моделей.

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Теоретические основы математического моделирования.

§1. Моделирование как метод научного познания

 

 

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие "модели", которые являются инструментами получения знаний.

Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.  Под  моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств.

Процесс моделирования включает три элемента:

1) субъект (исследователь),

2) объект исследования,

3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование - не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

 

 

 

 

 

 

§2. Понятие моделирования в психологии

 

Моделирование (от французского «modele» – образец) – исследование психических процессов и состояний при помощи их реальных (физических) или идеальных, прежде всего математических, моделей. Под «моделью» при этом понимается система  объектов или знаков, воспроизводящая некоторые существенные свойства системы – оригинала. Наличие отношения частичного подобия позволяет использовать модель в качестве заменителя или представителя изучаемой системы. Относительная простота модели делает такую замену особенно наглядной. Создание упрощенных моделей системы – действенное средство проверки истинности и полноты теоретических представлений в разных отраслях знания.

Первые попытки применения моделирования в психологии связаны с изучением психофизических зависимостей и процессов памяти. За сравнительно короткий срок появились математические модели обучения, информационные модели памяти, восприятия и внимания. Моделирование охватило также наиболее сложные виды интеллектуальной деятельности, такие, как игра в шахматы и решение разнообразных задач. Особенно перспективным оказалось понимание психических процессов по аналогии с процессами, осуществляемыми ЭВМ. Модели психических и психофизиологических функций представляют собой машинные программы, конкретная реализация которых во многом зависит от выбранного языка программирования. Несмотря на ряд примеров успешного моделирования психических и психофизиологических процессов, в целом преобладает мнение, что для создания полноценных психологических теорий использования одного этого метода принципиально недостаточно. С помощью формальных моделей, как правило, не удается дать однозначное описание имеющихся данных. Для того чтобы уменьшить произвольность интерпретации этих данных, необходимо использовать результаты качественного психологического анализа.

 

§3. Использование моделей и моделирования в обучении.

3.1. Понятие модели. Моделирование

 

 

Понятие «модель» возникло в процессе опытного изучения мира, а само слово «модель» произошло от латинских слов «modus», «modulus», означающих меру, образ, способ. Почти во всех европейских языках оно употреблялось для обозначения образа или прообраза, или вещи, сходной в каком-то отношении с другой вещью.

Существуют различные точки зрения на определение понятия «модель».

Так, например, В. А. Штофф под моделью понимает такую мысленно представляемую или материально реализованную систему, которая отображает и воспроизводит объект так, что ее изучение дает новую информацию об этом объекте.

А. И. Уемов определяет модель как систему, исследование которой служит средством для получения информации о другой системе.

Чарльз Лейв и Джеймс Марч дают такое определение модели: «Модель – это упрощенная картина реального мира. Она обладает некоторыми, но не всеми свойствами реального мира. Она представляет собой множество взаимосвязанных предположений о мире. Модель проще тех явлений, которые она по замыслу отображает или объясняет».

В. А. Поляков считает, что «модель – это идеальное формализованное представление системы и динамики ее поэтапного формирования. Модель должна интегрировано имитировать реальные задачи и ситуации, быть компактной, адекватно передавать смены состояний и должна совпадать с рассматриваемой задачей или ситуацией».

Иногда под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного  исследования типичные черты.

Вот некоторые примеры моделей:

1) архитектор готовится построить здание невиданного доселе типа. Но прежде чем воздвигнуть его, он сооружает это здание из кубиков на столе, чтобы посмотреть, как оно будет выглядеть. Это модель.

2) на стене висит картина, изображающая  бушующее море. Это модель.

Построение и использование модели в научном познании составляют особый метод – моделирование.

Моделирование в настоящее время получило необычайно широкое применение во многих областях знаний: от философских и других гуманитарных разделов знаний до ядерной физики и других разделов физики, от  проблем радиотехники и электротехники до проблем механики и гидромеханики,  физиологии и биологии и т. д. моделирование - главный способ познания окружающего мира.

Вопросы моделирования рассматривались в работах философов (В. А. Штоффа, И. Б. Новикова, Н. А. Уемова и других), специалистов по педагогике и психологии  (Л. М. Фридмана, В. В. Давыдова, Б. А. Глинского, С. И. Архангельского и других).

  «Моделирование – это есть процесс использования моделей (оригинала) для изучения тех или иных свойств оригинала (преобразования оригинала) или замещения оригинала моделями в процессе какой-либо деятельности» (например, для преобразования арифметического выражения можно его компоненты временно обозначить буквами).

«Моделирование - это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система: