Уравнения как математические модели реальных ситуаций

Оглавление

Анализ содержания

Примеры математических моделей

§3. Уравнения с одной переменной.

П.6. Уравнение и его корни

Вводятся понятия:

- уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним неизвестным;

-  какое число называют решением уравнения или корнем уравнения.

- равносильные уравнения и свойства, которые используются при решении уравнений.

При решении уравнений используются следующие свойства:

1.Если в уравнении перенести  слагаемое из одной части в  другую, изменив его знак, то получится  уравнение, равносильное данному;

2.Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Задача. На нижней полке в 4 раза больше книг, чем на верхней. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то книг на полках станет поровну. Сколько книг на верхней полке?

Решение: обозначим буквой х число книг на верхней полке. Тогда число книг на нижней полке равно 4х. Если с нижней полки переставить на верхнюю 15 книг, то на нижней полке останется

4х-15 книг, а на верхней будет х+15 книг. По условию задачи после такой перестановки книг на полках окажется поровну. Значит,

4х-15=х+15,

4х-х=15+15,

3х=30,

х=10.

П.7. Линейное уравнение с одной переменной

- определение линейного уравнения с одной переменной;

- сколько может иметь корней линейное уравнение.

Пример. Решить уравнение

4(x+7)=3-x.

Раскроем скобки:

4х+28=3-х.

Перенесем слагаемое –х в левую часть уравнения, а слагаемое 28 в правую часть, изменив при этом их знаки:

4х+х=3-28.

Приведем подобные слагаемые:

5х=-25.

Разделим обе части уравнения на 5:

х= -5.

Применяя свойства уравнений и выполняя тождественные преобразования, мы последовательно заменяли одно уравнение другим, равносильным ему. Значит, корнем уравнения 4(х+7)=3-х является число -5.

П.8. Решение задач с помощью уравнений

Алгоритм  решения задач с помощью уравнений.

При решении задач с помощью уравнений поступают следующим образом:

обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение;

решают это уравнение;

истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?

Решение: Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в корзине стало х-10 яблок, а в ящике стало 2х+10 яблок. По условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине. Значит,

5(х-10)=2х+10.

Решим составленное уравнение:

5х-50=2х+10,

5х-2х=10+50,

3х=60,

х=20.

Следовательно, в корзине было 20 яблок.

Так как 2х=2×20=40, то в ящике было 40 яблок.

Ответ: 20 яблок и 40 яблок.

§15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы.

П.40. Линейное уравнение с двумя переменными

Определения:

- линейное уравнение с двумя переменными;

- что называют решением уравнения с двумя переменными.

Понятие равносильных уравнений с двумя переменными и свойства уравнений с двумя переменными.

Задача. Группу из 35 туристов решили расселить на теплоходе в трехместные и четырехместные каюты так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест. Сколько трехместных и двухместных кают надо заказать?

Решение: Допустим, что надо заказать х трехместных и у четырехместных кают. Тогда

3х+4у=35.

Требуется найти все пары натуральных значений переменных х и у, удовлетворяющие этому уравнению.

Из уравнения 3х+4у=35 находим, что

у=

Подставляя в это равенство вместо х последовательно числа 1, 2, 3 и т.д., найдем, при каких натуральных значениях х соответствующие значения у являются натуральными числами:

если х=1, то у=8;

если х=5, то у=5;

если х=9, то у=2.

Других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению 3х+4у=35, нет, так как при других натуральных значениях х соответствующее значение у является либо дробным положительным числом, либо отрицательным числом.

Значит, надо заказать соответственно трехместных и четырехместных кают либо 1 и 8, либо 5 и 5, либо 9 и 2.

П.41. График линейного уравнения с двумя переменными

Определение  графика линейного уравнения с двумя переменными.

Пример 1. Построить график уравнения 3x-4y=12.

Пример 2. Построить график уравнения 0,5х= -1,5.

Оглавление

Анализ содержания

Примеры математических моделей

§5. Арифметический квадратный корень.

П.13. Уравнение x2=a

Возможные случаи решения уравнения  x2=a, где а – произвольное число.

Если а<0, то уравнение x2=a корней не имеет.

Если а=0, то уравнение имеет единственный корень, равный нулю.

Если а>0, то уравнение имеет два корня.

Примеры:

х2=49;

х2=2.

§8. Квадратные уравнения и его корни.

П.21. Неполные квадратные уравнения

Определение:

-  квадратное уравнение;

-  приведенное квадратное уравнение;

- неполное квадратное  уравнением.

Пример. Решим уравнение

-3x2+15=0.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения и разделим обе части получившегося уравнения на -3:

-3х2= -15,

х2=5.

Отсюда

х=

П.22. Формула корней квадратного уравнения

Способ решения уравнения выделением квадрата двучлена.

Решение квадратного уравнения ax2+bx+c=0.

Вводится понятие дискриминанта и его формула.

Вводится формула корней квадратного уравнения. Различные возможные случаи в зависимости от значения дискриминанта (D).

Решение квадратного уравнения по формуле , где D=b2-4ac.

Пример. Решим уравнение 12x2+7x+1=0.

Найдем дискриминант:

D = 72-4×12×1=1, D>0.

Применим формулу корней квадратного уравнения:

х=

х=

Ответ: х1= ;   х2=

П.23. Решение задач с помощью квадратных уравнений

Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помощью квадратных уравнений.

Задача. Найдем катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Решение: пусть меньший катет равен х см. Тогда больший катет равен (х+4) см. По теореме Пифагора:

х2+(х+4)2=202.

П.24. Теорема Виета

Вводятся:

- теорема Виета с доказательством;

- теорема, обратная теореме  Виета.

Пример. Решим уравнение

 x2+3x-40=0.

D=25-4×3×2=1 – положительное число. Значит, уравнение имеет корни. Эти же корни имеет приведенное квадратное уравнение х2 – Значит, сумма корней уравнения 3х2-5х+2=0 равна , а произведение равно

§9. Дробные рациональные уравнения.

П.25. Решение дробных рациональных уравнений

Примеры решения дробных рациональных уравнений.

Действия, которые целесообразно использовать при решении дробных рациональных уравнений.

Пример. Решить дробное рациональное уравнение

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дроби, т.е. на выражение

х(х-5).

Упростив уравнение, получим квадратное уравнение

х2-3х-10=0.

Его корни – числа -2 и 5.

При х=5 общий знаменатель обращается в нуль, поэтому число 5 не является корнем уравнения.

Итак, корнем уравнения служит только число -2.

П.26. Решение задач с помощью рациональных уравнений

Решение многих задач приводится к дробным рациональным уравнениям.

Задача. Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Решение: пусть х км/ч – скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению (х+3) км/ч, а против течения (х-3) км/ч. По течению реки 25 км лодка прошла за ч, а против течения 3 км – за По условию задачи на весь путь лодка затратила 2ч. Следовательно,

Решив это уравнение, найдем его корни: х1=2 и х2=12.

По смыслу задачи скорость лодки в стоячей воде должна быть больше скорости течения. Этому условию удовлетворяет второй корень – число 12 и не удовлетворяет первый.

Ответ: 12 км/ч.

Для тех, кто хочет знать больше.

П.27. Уравнения с параметром

Понятия параметра и решения уравнения с параметром.

Пример. Решить уравнение

bx-3x=b3-3b2+4b-12

с параметром b.

Вынесем в левой части уравнения множитель х за скобки. Получим

(b-3)x=b3-3b2+4b-12, если b-3 , то

x=

x=b2+4.

Если b-3=0, то уравнение принимает вид 0х=0. В этом случае любое число является корнем уравнения.

Итак, мы нашли, что b уравнение имеет единственный корень x=b2+4, а при b=3 любое число является корнем уравнения.

Оглавление

Анализ содержания

Примеры математических моделей

§5. Уравнения с одной переменной.

П.12. Целое уравнение и его корни

Повторение: целое уравнение. Вводят следующие понятия:

- степень уравнения;

-  биквадратное уравнение.

Пример. Решим уравнение

x3-8x2-x+8=0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

x2(x-8)-(x-8)=0,

(x-8)(x2-1)=0,

(x-8)(x-1)(x+1)=0.

Отсюда найдем, что

x-8=0, или x-1=0, или x+1=0.

Значит, исходное уравнение имеет три корня:

x1=8, x2=1, x3= -1.

П.13. Дробные рациональные уравнения

Повторение:

- дробные рациональные  уравнения;

- решении дробных  рациональных уравнений.

Более сложные примеры решения дробных рациональных уравнений.

Пример. Решим уравнение

Общим знаменателем дробей, входящих в уравнение, равен x4-x2-72. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

6x2-54+9x=x3.

Отсюда

х3-6x2-9x+54=0,

(x3-6x2)-(9x-54)=0,

х2(x-6)-9(x-6)=0,

(x-6)(x2-9)=0,

(x-6)(x-3)(x+3)=0,

х1=6, х2=3, x3= -3.

если х=6, то х4-х2-72 0;

если х=3, то х4-х2-72=0;

если х= -3, то х4-х2-72=0.

Значит уравнение имеет единственный корень – число 6.

Ответ: 6.

Для тех, кто хочет знать больше.

П.16. Некоторые приемы решения целых уравнений

Специальные приемы для решения уравнений пятой и более высоких степеней.

Теорема 1 о корне многочлена. Если число а является корнем многочлена

P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, где a0¹0,

То этот многочлен можно представить в виде произведения

(x-a)P1(x),

где P1(x) – многочлен n – 1-й степени.

Теорема 2 о целых корнях целого уравнения. Если уравнение

a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0,

в котором все коэффициенты – целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

Пример. Решим уравнение

x5+x-2=0.

Если данное уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы 2 он является делителем число -2. Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число 1. Покажем, что других корней это уравнение не имеет. Для этого представим его в виде х5= -х+2. Функция у=х5 является возрастающей, а функция у= -х+2 – убывающей. Значит, уравнение x5+x-2=0 имеет единственный корень.

§7. Уравнения с двумя переменными и их системы.

П.17. Уравнения с двумя переменными и его график

Повторение:

- решение уравнения с двумя переменными;

- равносильные  уравнения;

-  график уравнения с двумя переменными.

Пример:

x2+y2= r2, где r-произвольное положительно число.

Оглавление

Анализ содержания

Примеры математических моделей

Глава 1. Математический язык. Математическая модель.

§1. Числовые и алгебраические выражения

Повторение:

- числового выражения;

- алгебраического выражения.

С помощью конкретного примера автор учебника анализирует, какие сведения из математики необходимо вспомнить в процессе выполнения примера:

- порядок арифметических действий;

- закон сложения (умножения);

-операции с дробями;

-действия с положительными и отрицательными числами.

 3+5×7;

.

a+b=b+a (ab=ba);

Вводятся следующие понятия:

-  значение числового выражения;

- переменная;

- значение алгебраического  выражения;

- допустимые значения  переменной;

- недопустимые  значения переменной.

§2. Что такое математический язык

Перевод высказываний с обычного языка на математический и перевод высказываний с математического на обычный язык.

Существование письменной и устной речи в математическом языке.

На обычном языке говорят: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется». Математик пишет:

a+b=b+a.

Вот пример обратного перевода. На математическом языке записан распределительный закон:

a(b+c)=ab+ac.

Осуществляя перевод на обычный язык, получим длинное предложение: «Чтобы умножить число а на сумму чисел b и c, надо число а умножить поочередно на каждое слагаемое и полученные произведения сложить».

§3. Что такое математическая модель

Знакомство с понятием математическая модель.

Три этапа решения задачи:

1 этап. Составление математической модели.

2 этап. Работа с математической моделью.

3 этап. Ответ на вопрос задачи.

Описание реальных ситуаций с помощью:

-  словесной модели;

- алгебраической модели;

- графической  модели.

Пример. Построить график температуры воздуха, если известно

Решение. Построим прямоугольную систему координат. По горизонтальной оси (ось абсцисс) будем откладывать значение времени, а по вертикальной оси (ось ординат) – значения температуры. Построим на координатной плоскости точки, координатами которых являются соответствующие числа из таблицы. Всего получается 12 точек (рис.1). Соединив их плавной линией, получим один из возможных графиков температуры (рис.2).  
      Построенный график есть математическая модель, описывающая зависимость температуры от времени. Анализируя этот график, можно описать словами, что происходило с температурой воздуха в течение суток. Ночью с 0 ч до 8 ч утра становилось все холоднее (от 5° в 0 часов до -4° в 8 часов утра). Потом, видимо, выглянуло солнышко и стало теплеть, так что в 11 ч температура была уже не отрицательной, а нулевой (0°). До 16 ч теплело, причем в 16 ч было теплее всего (8°). А затем стало темнеть, температура начала постепенно снижаться и понизилась до 3° в 22 ч. Глядя на график температуры, можно определить какая была наименьшая температура (-4° в 8 часов утра), какая была наибольшая температура (8° в 16 часов), где температура менялась быстрее, где медленнее.

§4. Линейное уравнение с одной переменной

Вводятся понятия:

- корень уравнения;

Уравнение 3х=12 имеет корень х=4.

-  линейное уравнение с одной  переменной;

- коэффициент.

аx+b=0, где a и b-коэффициенты.

Вводится алгоритм решения линейного уравнения ax+b=0 в случае, когда a¹0 и алгоритм решения уравнения ax+b=cx+d(a¹c).

Глава 2. Линейная функция.

§7. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Вводятся понятия:

- линейное  уравнение с двумя переменными;

аx+by+c=0, где а, b, c – коэффициенты.

- решение уравнения ax+by+c=0.

Учащиеся формулируют алгоритм построения графика линейного уравнения ax+by+c=0.

Теорема о графике уравнения ax+by+c=0.

Пример. Построить график уравнения

4х+3у-12=0.

Оглавление

Анализ содержания

Примеры математических моделей

Глава 3. Функция y=k/x.

§23. Графическое решение квадратных уравнений

Способы решения квадратных уравнений и анализ всех полученных способов.

Пример. Решить уравнение

x2-2x-3=0.

Глава 4. Квадратные уравнения.

§24. Основные понятия

Вводятся следующие основные понятия:

- квадратные уравнения;

- приведенное  квадратное уравнение;

- неприведенное  квадратное уравнение;

- квадратный трехчлен;

-  полное квадратное  уравнение;

- неполное квадратное  уравнение;

- корень квадратного  уравнения;

- что значит  решить квадратное уравнение.

Пример. Решить уравнение

x2-2x-3=0.

Решение.

1)Разложим квадратный трехчлен x2-2x-3 на множители способом группировки:

x2-2x-3=х2+х-3х-3=х(х+1)-3(х+1)=(х+1)(х-3). Теперь данное уравнение можно переписать в виде (х+1)(х-3)=0.

Корни уравнения: х1= -1, х2=3.

2)Разложим квадратный  трехчлен x2-2x-3 на множители методом выделения полного квадрата:

x2-2x-3= (х2-2х+1)-4=(х-1)2-4=(х-1+2)(х-1-2)=(х+1)(х-3).

(х+1)(х-3)=0, х1= -1, х2=3.

§25. Формулы корней квадратных уравнений

Вводится понятие дискриминанта.

Вводятся теоремы о числе корней квадратного уравнения и как находить эти корни.

Теорема 1. Если D<0, то квадратное уравнение ax2+bx+c=0  не имеет корней.

Алгоритм решения уравнения ax2+bx+c=0 .

Также с помощью конкретного примера вводятся понятия параметра и уравнения с параметром.

Пример. Решить уравнение 2x2+4x+7=0.

Решение.

 Здесь а=2, b=4, c=7,

D=b2 - 4ac=42-4×2×7=16-56= -40.

Так как D<0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

§26. Рациональные уравнения

Вводятся следующие понятия:

- рациональные выражения;

- рациональное  уравнение;

-  посторонний корень;

- биквадратное  уравнение.

Алгоритм  решения рационального уравнения.

Решение рациональных уравнений методом введения новой переменной.

Пример. Решить уравнение

Опираясь на данный пример, сформулируем следующий алгоритм.

Алгоритм решения рационального уравнения

1. Перенести все члены уравнения в одну часть.
2. Преобразовать эту часть уравнения к виду алгебраической дроби 
3. Решить уравнение p(x).
4. Для каждого корня уравнения p(x)=0 сделать проверку: удовлетворяет ли он условию q(x)¹0 или нет. Если да, то это корень заданного уравнения; если нет, то это посторонний корень и в ответ его включать не следует.

§27. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

Рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций – это  уже известно из §7 и из учебника «Алгебра-7».

В данном параграфе об этом говорится более подробно.

С помощью конкретных примеров подробно рассматриваются все три этапа математического моделирования.

Пример. Перегон в 60 км поезд должен был проехать с постоянной скоростью за определенное расписанием время. Простояв у семафора перед перегоном 5 мин, машинист вынужден был увеличить скорость прохождения перегона на 10 км/ч, чтобы наверстать к окончанию прохождения перегона  потерянные 5 мин. С какой скоростью поезд должен был пройти перегон по расписанию?

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Математическая модель задачи – рациональное уравнение

Второй этап. Работа с математической моделью.

В ходе решения уравнения получаем корни уравнения

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Ответ: 80 км/ч.

§28. Еще одна формула корней квадратного уравнения

Вводятся новые формулы, которые  помогают находить корни квадратного уравнения ax2+2kx+c=0.

Если а=1, то получаем:

§29. Теорема  Виета

Соотношение между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Теорема 1 (теорема Виета). Пусть x1, x2 – корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0. Тогда сумма корней равна  , а произведение корней равно :

x1+x2= ,

x1x2= .

Теорема 2. Если x1 и x2 – корни квадратного трехчлена ax2+bx+с, то справедливо тождество

ax2+bx+с=a(x-x1)(x-x2).

Теорема 3. Если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители, то он имеет корни.

Теорема 4. Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на линейные множители.

Теорема 5. Если числа x1 и x2 таковы, что x1+x2= -p,  х1x2=q, то эти числа – корни уравнения x2+px+q=0.

§30. Иррациональные уравнения

Иногда математическая модель реальной ситуации представляет собой иррациональное уравнение.

Решение иррациональных уравнений методом возведения в квадрат обеих частей уравнения. Данный метод является основным методом решения иррациональных уравнений.

Вводятся следующие понятия:

- равносильные уравнения;

-  равносильное  преобразование уравнения.