Уравнения как математические модели реальных ситуаций

Получаем следующее уравнение:

x(x+4)=60

x2+4x-60=0

D1=64

 

Обратите внимание: на то, что x=-10 не удовлетворяет условию задачи, так как ширина не может выражаться отрицательным числом.

 

Условию удовлетворяет только x=6. Получаем, ширина 6 см, тогда длина прямоугольника 6+4=10 (см).

Учитель: Вспомним, как находится периметр прямоугольника?

Ученик:

Учитель: Получаем 2(6+10)=2·16=32 (см). Это и есть периметр.

Ответ: 32 см. 

 

4. Решение задач на закрепление пройденной темы.

5. Подведение итогов урока  и постановка домашнего задания.

    Вы, наверное, обратили внимание, что были прорешаны задачи разного характера и решение каждый раз сводилось к решению квадратных уравнений.

    Кроме того, заметили, что  встречались как геометрические  задачи, для которых требовалось  алгебраическое решение, так и  алгебраические задачи с геометрическим решением.

    Для дальнейшего совершенствования  навыка составления уравнений  по условию задачи и закрепления  запишите в дневниках задание на дом: п.23, №559, №561.

 

 

 

 

 

Приложение 2

 

 

Конспект урока.

Алгебра. 9 класс.

Тема: Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений.

Цели:

Приведение в систему всех полученных знаний за курс основной школы, закрепление основных умений и навыков по решению текстовых задач.

Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении текстовых задач.

Развивать навыки самоконтроля.

Тип урока: обобщающий урок-практикум.

Оборудование: презентация, раздаточный материал.

Содержание  урока:

1. Сообщение темы и цели практикума.
2. Актуализация опорных знаний и умений учащихся.
3. Инструктирование по выполнению заданий практикума.
4. Выполнение заданий в группах.
5. Проверка и обсуждение полученных результатов.
6. Постановка домашнего задания.
7. Резервные задания.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ход урока:

 

Основное содержание учебного материала	Деятельность учителя	Деятельность учащихся
1. Сообщение темы и цели практикума
	После проверки готовности класса к уроку сообщает, что сегодня проводится заключительный урок итогового повторения решения задач с помощью уравнений и систем уравнений по всему курсу алгебры. Ставится задача: привести в систему все полученные знания, закрепить основные умения и навыки по решению текстовых задач.	Записывают тему урока
2. Актуализация опорных знаний  и умений учащихся
Устные упражнения. Слайд №2.   1. Составьте уравнение  для решения задачи:   а) У хозяйки было 20 кур и цыплят. Кур было в 4 раза меньше, чем цыплят. Сколько цыплят было у хозяйки?   б) В книге 60 страниц. Прочитали в 2 раза больше страниц, чем осталось прочитать. Сколько страниц осталось прочитать?   2. Составьте систему уравнений  с двумя переменными для решения  задачи:   В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и кроликов.	Вызывает учащихся для составления уравнений.   Выясняет вместе с учащимися, можно ли задачу под буквой а) решить арифметически.   Выясняет вместе с учащимися, можно ли эту задачу решить арифметически, с помощью одного линейного уравнения.	Учащиеся отвечают на вопросы учителя.   Учащиеся составляют систему уравнений и записывают ее на доске (по желанию) и в тетрадях.   Контролируют ответы одноклассников.   Учащиеся отвечают на вопросы учителя.
3. Инструктирование по выполнению  заданий практикума
Таблица с инструкцией   Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов: анализ задачи; схематическая запись задачи; поиск способа решения задачи; осуществление решения задачи; проверка решения задачи; исследование задачи; формулирование ответа задачи; анализ решения задачи.   Слайд №3.   Моторная лодка проходит расстояние между двумя пунктами А и В по течению реки за 2 ч, а против течения – за 3 ч. Какое время затратит бревно на путь от А до В?	Напоминает, как пользоваться инструкцией на примере задачи   Отмечает, что теперь сами учащиеся должны проявить подобные умения при выполнении заданий практикума. Передает задания каждой группе из 4-5 человек и двойные листы с копиркой для оформления решений каждым учеником.	Читают инструкцию, отвечают на вопросы учителя
4. Выполнение заданий в группах
Раздаточный материал с заданиями для групп. Содержание 2-х вариантов заданий:   Вариант №1:   1.На турбазе имеются  палатки и домики; всего их 25. В  каждом домике живут 4 человека, а  в каждой палатке 2 человека. Сколько  на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек?   2. Бригада лесорубов должна  заготовить 600 м3 дров. Первые 8 дней  бригада работала по плану, а  затем перевыполняла план ежедневно  на 10 м3. Поэтому уже за 2 дня до  срока бригада заготовила 640 м3 дров. Какова ежедневная норма (в кубических метрах) по плану?   Вариант №2:   1.У причала находилось 6 лодок, часть из которых была  двухместными, а часть – трехместными. Всего в эти лодки может  поместиться 14 человек. Сколько двухместных  и сколько трехместных лодок было у причала?   2.Бригада рабочих должна  была за несколько дней изготовить 216 деталей. Первые три дня бригада  выполняла установленную ежедневную  норму, а потом стала изготавливать  на 8 деталей в день больше плана. Поэтому за 1 день до срока было изготовлено 232 детали. Сколько деталей в день стала изготавливать бригада?	Управляет самостоятельной работой учащихся	Выполняют задания с использованием таблиц с инструкцией
5. Проверка и обсуждение полученных  результатов
Слайды с ответами к заданиям.	Собирает копии решений и готовит учащихся к проверке выполненной работы   Включает слайды. Проверяет работы с помощью консультантов из каждой группы и с учетом самооценок подводит итоги работы.   Собирает раздаточный материал	Копии решений сдают учителю   Осуществляют самопроверку и самооценку выполнения заданий. Получают разъяснения по возникающим при этом вопросам
6. Постановка домашнего задания
Решить задачи из Сборника заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс Л.В.Кузнецова, Е.А.Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова.   № 594, с.162;   № 599, с.163.	Дает пояснения по домашнему заданию. Сообщает, что следующий урок будет уроком обзорного повторения по теме и “Решение задач с помощью уравнений и систем уравнений” подготовки к итоговой контрольной работе	Записывают домашнее задание
7. Резервные задания
Слайды №6, 7, 8.   Задача 1. Двое очистили 400 картофелин; один очищал 3 штуки в минуту, другой – 2. Второй работал на 25 мин больше, чем первый. Сколько времени работал каждый?   Задача 2. Купили два сорта краски. Первого сорта на 3600р., а второго – на 2400р. При этом краски второго сорта купили на 6 кг больше, чем первого, но килограмм краски второго сорта на 100р. дешевле килограмма краски первого сорта. Сколько было куплено килограммов краски первого сорта?   Задача 3. Два туриста, сменяясь, перенесли рюкзак на расстояние 11 км. При этом каждый нес рюкзак по одному часу. Какова скорость второго туриста, если 3 км он проходил на 6 мин медленнее, чем первый турист проходил 2 км?	Использует для обеспечения занятости и развития наиболее подготовленных учащихся

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

 

 

Конспект урока.

          Алгебра. 7 класс.

Тема: Решение задач с помощью уравнений.

Номер урока по теме: 2

 

Цель:

• Обучение решению текстовых задач с помощью уравнений, развитие мышления  учащихся;
• Формирование приемов умственной и исследовательской   деятельности;
• Формирование умений и навыков моделирования реальных объектов и явлений;
• Воспитание у учащихся навыков учебного труда.

 

Ожидаемые результаты: активизация мыслительной деятельности учащихся в ходе составления различных уравнений при решении задач. Ученики повысят свое самоуважение, почувствуют себя более компетентными.

 

План урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Решение задач.
4. Самостоятельная работа.
5. Итог урока.

6. Домашнее задание.

 

 

 

Ход урока:

1. Организационный момент. Сообщение темы урока, целей.

2. Актуализация знаний учащихся.

Фронтальная работа. Репродуктивный метод.

Для подготовки учащихся к решению задач повторить и систематизировать их знания и умения в ходе работы с графиком движения, моделируя события.

Учитель: Каким способом можно описать процесс движения?

Ученик: текстом, рисунком, таблицей, графиком.

Учитель: На рисунке изображен график движения туриста. Опишите движение туриста.

 

         В

        18

          

        12

 

 

t,ч

          А      3         5     6

Ученик: Сколько часов в пути находился турист? Сколько длился привал? Скорость до привала и после? На сколько скорость до привала больше скорости после привала?

Учитель: Постройте график движения туриста, который вышел одновременно с первым из пункта В в пункт А, но двигался равномерно без остановок и завершил движение одновременно с первым туристом.

Ученики: выполняют построение

 

         В

        18

          

        12

 

 

t,ч

          А      3         5     6

 

Учитель: По рис 2. опишите движение объектов.

 

 

 

Ученик: Из п. А и в одновременно навстречу друг другу выехали автобус и бензовоз. Расстояние между пунктами 400 км. Автобус находился в пути 4 ч. Бензовоз на один час больше.

Учитель:  На какие  еще вопросы можно ответить по графику?

Ученик: На каком расстоянии от п. А произошла встреча? Через сколько часов встретились автомобили?

 

3. Решение задач.

Фр.- инд. работа. Практический метод, частично-поисковый.

 

а	V, км\ч.	t , ч.	S, км.
1.	35
2.	45	На 1 ч.

 

 

 

Учитель: Движение объектов описано с помощью таблицы. Используя ее смоделируйте движение.

 Ученик:  Из двух пунктов  навстречу друг другу выехали  два мотоциклиста, причем 1 выехал  на 1 час раньше. Расстояние между  пунктами 195 км.  

Ученик: Из одного пункта в противоположных направлениях выехали два мотоциклиста и разъехались на 195. Причем, мотоциклист со скоростью 45 км\ч. находился в пути на один час меньше. 

Учитель: Можно ли данное описание считать задачей?

Ученик: Нет. Необходимо поставить вопрос.

 

а	V, км\ч.	t , ч.	S, км.
1.	35	?	?         ?
2.	45	? на 1ч.

 

 

Учитель: Решите задачу с помощью уравнения.

На доске оформить предложенные учениками  уравнения.

V

t

S

V

t

S

V

t

S

1

35

х

35х

1

35

х+1

35(х+1)

1

35

х:35

х

2

45

х-1

45(х-1)

2

45

х

45х

2

45

(195-х):45

195-х

 

35х+ 45(х-1)=195                     35(х+1)+ 45=195                        

Учитель: Выберите вопрос на который будете отвечать, решая задачу, и воспользуйтесь одним из составленных уравнений ( для решения уравнений вызвать к доске учащихся). Возможно, третье уравнение никто не выбрал, тогда обсудить почему? И как его решить?

 

Заполнить таблицу ответов:

 

	V, км\ч.	t , ч.	S, км.
1.	35	3	105 90
2.	45	2

 

 

4. Этап самостоятельной работы, (самостоятельная работа с последующей проверкой). Метод самоконтроля.

 

	V, км\ч.	t , ч.	S, км.
1.	35	на 1ч.	на 15 км.
2.	45

 

 

Учитель: Рассмотрите движение, описанное в таблице. Что изменилось в условии? Составьте задачу, используя таблицу. Поставить один вопрос и решить задачу с помощью уравнения.

 

Проверка:

1.  35х-45(х-1)= 15;           

2.  35х=45(х-1)= 15;

3. 

4.  35(х+1)-45х=15;

5. 

6. 

Учитель: Какое из предложенных уравнений вы составили, что обозначили через х?

Обсуждение.

Составить таблицу ответов. Внести в таблицу ответы, полученные при решении задачи.

 

	V, км\ч.	t , ч.	S, км.
1.	35	3	105 90
2.	45	2

 

 

 

Учитель: Почему получилась такая же таблица ответов, как и в предыдущей задаче?

Ученик: Мы рассматривали то же самое движение. Величины не изменились, изменилась связь между расстояниями объектов.

 Учитель: Как по известному  уравнению установить связь между  величинами? Например:

 

В	V	t	S
1	35
2	45

 

35х+45(5-х)= 195

Используя уравнение, заполнить таблицу, выявить связь между величинами

 

5. Итог урока.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводится итог урока.

• Какое движение рассматривалось в задачах?
• Что менялось в условии задачи? (Связь между величинами).
• Что оставалось неизменным? (Скорость).

Вывод: Используя одно и тоже движение объектов, можно составить разные задачи, изменяя связь между величинами.

 

6. Домашнее задание.

Используя  рассмотренное на уроке движение, составить задачу, в которой исходные данные - скорость объектов- станут искомыми. И решить задачу двумя способами: арифметическим и алгебраическим.