Уравнения как математические модели реальных ситуаций

 

На сегодняшний день наиболее распространенной является трехэтапная схема процесса математического моделирования:

1) перевод предложенной задачи с естественного языка на язык математических терминов, то есть построение математической модели задачи (формализация);

2) решение задачи в рамках математической теории (решение внутри модели);

3) перевод полученного результата (математического решения) на язык, на котором была сформулирована исходная задача (интерпретация полученного решения).

Наиболее ответственным и сложным является первый этап – само построение математической модели. Оно осуществляется логическим путем на основе глубокого анализа изучаемого явления (процесса) и требует умения  описать явление (процесс) на языке математики.

Рассмотрим на примере реализацию всех этапов процесса математического моделирования.

Задача. Два автомобиля выехали одновременно из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 540 км. Первый автомобиль ехал со скоростью, на 10 км/ч большей, чем второй, и прибыл в пункт В на 45 мин раньше второго. Найдите скорость каждого автомобиля.

I этап. Формализация. Построим математическую модель задачи.

Обозначим за x км/ч – скорость второго автомобиля, тогда скорость первого автомобиля равна (x+10) км/ч.

ч – время, потраченное на весь путь вторым автомобилем.

ч – время, потраченное на весь путь первым автомобилем.

Известно, что второй автомобиль потратил на путь на 45 мин больше, чем первый. .

. Полученное уравнение  является математической моделью  данной задачи.

II этап. Внутримодельное решение.

Перенесем все слагаемые в одну часть .

Приведем слагаемые к общему знаменателю .

 

 

 

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Получим следующую систему:

.

Получили, что и .

 

III этап. Интерпретация. Переведем результат с математического языка на язык исходной задачи.

Так скорость автомобиля не может быть отрицательным числом, то условию задачи соответствует только один корень , т.е. скорость второго автомобиля равна 80 км/ч, а скорость первого 90 км/ч.

 

Учителю следует добиться от учащихся четкого понимания значения и содержания каждого из выше описанных этапов процесса математического моделирования. Это нужно для того, чтобы школьники усвоили, что они решают не просто математическую задачу, а конкретную жизненную ситуацию математическими методами. Тогда учащиеся смогут увидеть в математике практическое значение, и не будут воспринимать ее как абстрактную науку.

Метод математического моделирования является мощным инструментом для исследования различных процессов и систем. Понятие математической модели и некоторые общие положения, связанные с ним, должны в той или иной форме иллюстрироваться на протяжении всего курса математики, а разделы школьной программы, посвященные задачам на работу, движение, проценты, прогрессии могут рассматриваться как введение в метод математического моделирования.

 

 

 

 

§2. Функции и цели обучения математическому моделированию в школе

 

 

Терешин Н. А. выделяет следующие дидактические функции математического моделирования:

1. Познавательная функция.

 Методической целью этой функции является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постоянно при переходе от простого к сложному.

Здесь мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Реализация познавательной функции не предопределяет процесса научного познания, ценность этой функции состоит в ознакомлении учащихся с наиболее кратчайшим и доступным способом осмысления изучаемого материала.

2. Функция управления деятельностью учащихся.

Математическое моделирование предметно и потому облегчает ориентировочные, контрольные и коммуникационные действия. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимися чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или на выяснение тех свойств, которые должны сохранить объект при тех или иных преобразованиях.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащихся, которая соответствует исследованию полученных ими результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

3. Интерпретационная функция.

Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью различных моделей. Например, окружность можно задать с помощью пары объектов (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, а также с помощью рисунка или чертежа. В одних случаях можно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других – геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей является ее интерпретацией; чем значимей объект, тем желательней дать больше его интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

Можно также говорить об эстетических функциях моделирования, а также о таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала и т. д.

Кроме этих функций можно выделить еще одну – не менее важную – эвристическую. Математическая модель, выступая как выражение количеством качества объекта, позволяет экспериментировать с его количественной стороной, дает возможность определить границы устойчивости, нормальный и оптимальный режимы функционирования, еще глубже проникнуть в качественный аспект объекта — показать его внутренние закономерности. В этом и раскрывается эвристическая функция математического моделирования и его возможности для решения проблем разных наук: биологии, химии, физики, медицины и других.

Применение нескольких функций математической модели способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается с модели на полученную с ее помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности.

 

 

 

 

§3. Модель как средство обучения. Анализ учебников алгебры 5-9 классов

 

 

Моделирование может использоваться в обучении для многих целей.

Для фиксации и наглядного представления ориентировочной основы действия. ООД может быть представлена в виде схемы пошаговой программы операций, в виде направленного графа или в какой-либо другой форме.

Для фиксации и наглядного представления изучаемых абстрактных понятий. Такие модели служат очень хорошим средством для организации познавательной деятельности учащихся.

 Для фиксации и наглядного  представления общих способов  действий по решению широкого  класса задач. Универсальным средством  для такого выделения является построение моделей этих общих способов, осуществляемое самими учащимися по специальным заданиям учителя.

Во всех перечисленных выше целях моделирование используется не только как средство фиксации, но и как средство наглядности.

     Человек, который понял, усвоил сущность данной модели, становится как бы её создателем, и тем самым она также приобретает для него свойства наглядности.

     Наглядность же моделей  имеет обобщенный характер. Модель  дает возможность создать не  просто наглядный образ какого-то объекта, при этом все остальные свойства, несущественные в данном случае, отбрасываются и поэтому не мешают восприятию нужных, существенных свойств.

     Модели позволяют  создавать у учащихся наглядные  образы таких объектов изучения, как абстрактные понятия, отношения, которые обычными средствами предметной наглядности создать невозможно.

     Однако надо иметь  в виду, что создание наглядных  образов с помощью моделей  требует от учащихся определенных  знаний теоретического характера  и активной познавательной работы с этими моделями. Эта работа имеет наибольший эффект в том случае, когда сами учащиеся принимают непосредственное участие в разработке и построении моделей, а не только в изучении уже готовых моделей.

 

 

 

Сравнительный анализ учебников.

Математика. 5 класс

Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
§2. Сложение и вычитание натуральных чисел.
П.10. Уравнение	Вводятся понятия: - уравнение;	х+2=5
	- корень уравнения;	Корнем уравнения x+2=5 является число 3.
	- решить уравнение;	x+12=78 x=78-12 x=66.
	-как найти неизвестное слагаемое;
	- как найти неизвестное уменьшаемое;
	- как найти неизвестное вычитаемое.

 

Математика. 6 класс

Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
§8. Решение уравнений.
П.42. Решение уравнений	Вводятся правила решения уравнений (метод весов).

 

 

Математика. 5 класс

И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
Глава 1. Натуральные числа.
§14. Уравнения	Вводятся понятия: - уравнение;	Уравнение – так называют равенство, из которого находят неизвестную величину, обозначенную, как правило, буквой латинского алфавита.
	- решить уравнение.	7×x=21, x=21:7, x=3.
§16. Математический язык	Перевод математических записей на обычный язык и наоборот.
§17. Математическая модель	Вводится понятие математическая модель.

 

Математика. 6 класс

И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
Глава 2. Преобразование буквенных выражений.
§19. Решение уравнений	Вводятся понятия: - постоянная величина; - переменная величина.
	Вводятся два способа решения уравнений. 1 способ: - перенести все слагаемые из  правой части уравнения в левую  часть, меняя при переносе знаки  на противоположные; - привести подобные слагаемые; - слагаемое, не содержащее переменную, перенести в правую часть уравнения, поменяв его знак на  противоположный; - разделить правую часть уравнения  на коэффициент при переменной.
	2 способ: - слагаемые, содержащие переменную, перенести в левую часть уравнения, а числа – в правую часть, не забывая при переносе менять  знаки на противоположные; - привести подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения; - разделить число в правой  части уравнения на коэффициент  при переменной.
§20. Решение задач на составление уравнений	На примере конкретной задачи выделяют 3 этапа математического моделирования: Составление математической модели (составление уравнения по условию задачи); Работа с математической моделью (решение уравнения); Ответ на вопрос задачи.	Задача 594. В одном бидоне молока в 3 раза больше, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой 5 л, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было в каждом бидоне первоначально?

 

В учебной программе Н. Я. Виленкина не включены такие темы, как «Математический язык», «Математическая модель» и др., но, тем не менее, учащиеся применяют различные модели на уроках математики.

В учебнике И. И. Зубаревой, А. Г. Мордковича в курс математики 5 класса вводятся такие понятия, как математический язык и математическая модель, которые получают свое развитие в 6 классе. В 6 классе при решении задач с помощью уравнений учащиеся знакомятся с этапами математического моделирования, и уравнение является в данном случае моделью реальной ситуации.

 

 

Математика. 5 класс

Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
1 часть. §2. Математические модели.
П.1. Перевод условия задачи на математический язык	Для того чтобы построить математическую модель, надо научиться переводить условие задачи с обычного языка на математический язык.
П.2. Работа с математическими моделями	После перевода текста задачи на математический язык поиск решения сводится к работе с математической моделью – к вычислениям, преобразованиям, рассуждениям.	Найти неизвестные числа х и 3х, если выполняется равенство х+3х=60. Равенства такого вида еще не встречались. Но найти нужные числа можно, если это равенство записать по-другому, преобразовать. Здесь помогут известные свойства чисел – свойство единицы и распределительный закон. В самом деле: х+3х=1×х+3×х=(1+3)×х=4х. Поэтому равенство можно записать в виде: 4х=60, х=60:4, х=15. Значит, в соревнованиях участвовало 15 девочек. А число мальчиков, участвовавших в соревнованиях, равно 3х, или 45.

 

Математика. 6 класс

Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон

Оглавление	Анализ содержания	Примеры математических моделей
3 часть. §3. Уравнения.
П.4. Понятие уравнения	Вводятся понятия: - уравнение;	2y+3=y2, 0,06=(n-0,1)(n-0,2)
	- корень уравнения;	Число 3 – корень уравнения 2х=6
	- множество значений переменной;
	- что значит решить уравнение;	Решить уравнение – значит найти множество его корней.
П.5. Решение уравнений	Самый простой способ решения состоит в том, чтоб данное уравнение преобразовывают к более простому или более удобному виду по уже известным алгоритмам. Используется метод проб и ошибок при решении уравнения, а также метод перебора.
П.6. Решение задач с помощью уравнений	Вводится: - три этапа математического  моделирования; -три этапа решения задач с помощью уравнений; - алгоритм решения задач  с помощью уравнений.