Методика формирования доказательного мышления на уроках математики у учащихся начальных классов

Мышление ребёнка в начале обучения в школе отличается эгоцентризмом, особой умственной позицией, обусловленной отсутствием знаний, необходимых для правильного решения определённых проблемных ситуаций. Так, ребёнок сам не открывает в своём личном опыте знания о сохранении таких свойств предметов, как длина, объем, вес и др. Отсутствие систематичности знаний, недостаточное развитие понятий приводят к тому, что в мышлении ребёнка господствует логика восприятия. Ребёнку, например, трудно оценивать одно и то же количество воды, песка, пластилина и т.д. как равное (то же самое), когда на его глазах происходит изменение их конфигурации в соответствии с формой сосуда, куда они помещены. Ребёнок попадает в зависимость от того, что он видит в каждый новый момент изменения предметов. Однако в начальных классах ребёнок уже может мысленно сопоставлять отдельные факты, объединять их в целостную картину и даже формировать для себя абстрактные знания, отдалённые от прямых источников.

Ж. Пиаже установил, что  мышление ребёнка в шесть-семь лет характеризуется «центрацией» или восприятием мира вещей и их свойств с единственно возможной для ребёнка реально занимаемой им позиции. Ребёнку трудно представить, что его видение мира не совпадает с тем, как воспринимают этот мир другие люди. Так, если попросить ребёнка посмотреть на макет, на котором представлены три горы различной высоты, заслоняющие друг друга, а затем предложить найти рисунок, на котором горы изображены так, как их видит ребёнок, то он достаточно легко справляется с этой задачей. Но если попросить ребёнка выбрать рисунок, на котором изображены горы, так, как их видит человек, смотрящий с противоположной точки, то ребёнок выбирает рисунок, отражающий его собственное видение. В этом возрасте ребёнку трудно представить себе, что может быть другая точка зрения, что можно видеть по-разному.[31]

Ж. Пиаже описал исследования, которые указывают на отсутствие у ребёнка представления о постоянстве некоторых свойств вещей как на характерную черту детей до шести-семи лет. Классическими являются опыты с пластилиновыми шариками.

Если положить перед ребёнком два совершенно одинаковых шарика из пластилина, то ребёнок сразу устанавливает, что они одинаковы по количеству массы пластилина. Стоит, однако, на глазах у ребёнка смять один шарик в лепёшку и после этого спросить, где больше пластилина, ребёнок сразу ответит, что пластилина больше в лепёшке.

Или другой опыт. Если перед  ребёнком выложить два ряда пуговиц, один под другим, так, чтобы пуговицы одного ряда точно соответствовали пуговицам другого ряда, и спросить у ребёнка, в каком ряду их больше, то он отвечает, что пуговиц в обоих рядах одинаковое количество. Но если в одном ряду уменьшить расстояния между пуговицами и он займёт меньшее расстояние в длину, чем другой, и повторить вопрос, то ребёнок укажет на более длинный ряд, полагая, что в нем пуговиц больше. Хотя ребёнок отчётливо видел, что пуговиц никто не убирал и не добавлял.

Специфика детского мышления, согласно Ж. Пиаже, - «центрация» и несформированность представлений о постоянстве основных свойств вещей. Но для детей шести-семи лет характерны промежуточные ответы.

Согласно Ж. Пиаже, оба  типа промежуточных реакций являются весьма важными. Промежуточные ответы, свойственные этой стадии, дают возможность  утверждать: «Действительно, ребёнок на этой стадии старается координировать наличные перцептивные отношения и преобразовывать их в силу этого в действенные, т.е. операциональные отношения».[32]

Дети, пришедшие к утверждению  сохранения величины, учитывают отношения  высоты и ширины, им удаётся умножение отношений высоты и ширины, вытекающее из сравнения стаканов.

Логического умножения отношений  для открытия инвариантности общих  величин однако, недостаточно. Согласно Ж. Пиаже, «когда после оценки величин лишь с точки зрения одномерных перцептивных отношений... ребёнок координирует эти отношения друг с другом, он конструирует в результате этого многомерное целое, однако это также целое, которое остаётся «интенсивным» и не поддаётся «экстенсивным» измерениям до тех пор, пока ребёнок не овладеет иными, кроме логического умножения, средствами математического порядка».[32]

В отечественной психологии было показано, что обучение пониманию  принципа сохранения сразу же на задачах  Ж. Пиаже не даёт желаемого результата, потому что яркие внешние различия сравниваемых предметов делают ребёнка невосприимчивым к обучению. В исследованиях П.Я. Гальперина и его сотрудников ребёнка учили пользоваться специальным орудием для умственных операций - мерой и вспомогательными средствами (лотками) для оценки величин в специальных задачах.[5]

Применение разных мер  позволяет вычленить свойства объекта  и таким образом освободить ребёнка от давления визуально воспринимаемых внешних различий, которые были в задачах Ж. Пиаже. Использование для решения задачи мер и вспомогательных средств, фиксирующих и закрепляющих то, что обследовано, даёт возможность представить преобразования объекта и сохранение его неизменных параметров.

После обучения использования  орудий для умственных операций дети переносят усвоенный способ рассуждений  на задачи Ж. Пиаже: происходит переориентировка ребёнка в ситуации, появляется разделение того, что выступает под влиянием восприятия как очевидное (в действительности «кажется»), и того, что есть в действительности, - существенных отношений. «Орудийно-опосредствованное действие приводит к разделению внешней картины вещей на её видимость и скрытые за этой видимостью существенные отношения».[32]

Безусловно, в современном  обществе умственное развитие ребёнка зависит от типа конструирования нового знания. Оно строится взрослым, обладающим уже сформированным интеллектом. Речь идёт о научном знании (Ж. Пиаже). Интеллектуальное развитие определяется социальными факторами - индивид изменяется социальными отношениями.

Переход к систематическому обучению в школе, к развивающему обучению, изменяет ориентировку ребёнка в окружающих его явлениях действительности. На донаучной стадии развития мышления ребёнок судит об изменениях с эгоцентрических позиций, но переход к усвоению новых способов решения проблем меняет сознание ребёнка, его позицию в оценке предметов и изменений, происходящих с ним. Развивающее обучение подводит ребёнка к усвоению научной картины мира, он начинает ориентироваться на общественно выработанные критерии.

Психологами, работавшими  под руководством В.В. Давыдова, исследовалось мышление двух типов - эмпирическое и теоретическое.

Теоретическое мышление характеризуется  рядом взаимосвязанных компонентов. К ним относятся:

- рефлексия, т.е. осмысливание  ребёнком собственных действий и их соответствия условиям задачи;

- анализ содержания задачи  с целью выделения принципа  или всеобщего способа её решения, который затем как бы «с места» переносится на целый класс подобных задач;

- внутренний план действий, обеспечивающий их планирование  и выполнение «в уме».[11]

В исследованиях установлено, что усвоение знаний при обучении ребёнка в школе может происходить на основе другого типа мышления, которое получило название эмпирического. Усвоение знаний на основе эмпирического мышления осуществляется посредством сравнения внешне сходных, общих признаков предметов и явлений окружающего мира, важных для последующей их классификации и распознавания. Такое мышление не аналитично, чуждо рефлексии и ограничено в возможностях умственного планирования. Эмпирическое решение задач некоторого класса происходит применительно к каждой задаче в отдельности и при постепенном выделении одинакового приёма их решения путём «поисков и ошибок». Вследствие этого приём решения задач формируется очень медленно и не приобретает обобщённой формы.

Как проявляются особенности  эмпирического или теоретического мышления у учащихся, как выявить, каким путём идёт развитие мышления младшего школьника?

Например, важными математическими  операциями, усваиваемыми учащимися  в младших классах школы, являются операции сложения, вычитания, деления  и умножения. Осмысленность усвоения этих действий, как правило, закрепляется и проверяется в процессе решения  большого количества различных по сюжету, однотипных по способу действия простейших математических задач. Для определения  же степени сформированности теоретического мышления строится экспериментальная ситуация, состоящая из двух частей.

В первой части учащимся предлагается решить одну за другой несколько  задач, которые подобраны так, что  одни из них похожи по сюжету, другие - по ответу, но все они были бы различны по способу математического решения. Третьи же задачи не похожи внешними признаками, ответам, но имеют одинаковый способ решения.

Задача 1. На крышу дома сели 3 синички. К ним прилетела ещё одна. Сколько синичек стало на крыше?

Задача 2. На дереве сидело 17 синичек. 13 синичек улетело. Сколько  синичек осталось на дереве? (Общий  ответ с задачей 1).

Задача 3. 18 синичек поровну  разделились на три стаи. Сколько  синичек в каждой стае? (Общий  сюжет с задачами 1 и 2).

Задача 4. Мальчику дали 7 яблок  и 2 груши. Сколько всего фруктов  дали мальчику? (Способ решения общий  с задачей 1).

После успешного решения  всех предложенных задач учащимся предлагается произвести их классификацию (группировку).

В зависимости от того, на какие признаки ориентировался ученик при решении предложенных задач, возможны два основных варианта классификации: с ориентацией ученика на внешние, несущественные признаки условий задач (эмпирический подход) и с ориентацией  ученика на математические способы действия, на существенные признаки (теоретический подход). Выбор последнего варианта говорит о том, что в результате решения ученик не только получил конечный результат, но и выделил общий способ решения задач соответствующего класса.

В ситуации классификации  решённых задач дети действовали по-разному: группировали задачи по ответу, по сюжету («задачи про синичек»), по способу решения.

Значительное большинство  детей при решении задач ориентируются  на несущественные признаки: сюжет  и ответ задачи. Количество детей, ориентирующихся на математические способы действий, увеличивается  от класса к классу незначительно. Ответ  в задаче для большинства учащихся становится самым значимым фактором в определении правильности решения. При этом дети как бы «забывают» о способе решения задач и  объединяют в одну группу задачи, имеющие  совершенно разный способ, но одинаковый ответ.[12]

Особенности анализа как  основы теоретического обобщения могут  быть установлены при решении  учащимися серии однотипных задач, возрастающих по степени трудности. Но характеру решения таких задач  можно судить о наличии или  отсутствии у учащихся теоретического анализа.

Например, предлагается задание: не меняя порядка расположения чисел  в каждом из предложенных рядов, расставить между ними знаки арифметических действии (сложения, вычитания, умножения  и деления) и скобки так, чтобы  в результате этих действий в каждом ряду получилось бы по единице:

1) 123 = 1

2) 1234 = 1

3) 12345 = 1

4) 123456 = 1

5) 1234567 = 1

6) 12345678 = 1 и т. д.

Если ребёнок каждую задачу решает как новую для себя, не выделяя общий принцип их построения, то это свидетельствует об ориентации на внешние, несущественные признаки задач. Решение в таком случае идёт методом «проб и ошибок». Если же ребёнок открывает при решении двух-трёх задач общий принцип их решения, а затем сразу и безошибочно использует его при решении всех подобных задач, значит, он проанализировал первые задачи и при решении остальных опирался на выявленное исходное отношение их условия.  

Эти задания могут быть выполнены эмпирически, путём бессистемного перебора знаков арифметических действий, например:

(1 + 2): 3 = 1; 1*2 + 3 - 4 = 1; (1 + 2) * 3 : (4 + 5) = 1; 1 + 2 + 3 - 4 + 5 - 6 = 1 и т. д.

Задания могут быть выполнены  на основе теоретического анализа, когда  в процессе мысленного экспериментирования  и целенаправленного поиска в  ситуации решения двух-трёх задач выделяется исходное отношение, закономерность решения всех заданий, которая сразу же переносится на решение других задач данной серии, данного класса.

Так, задачи 1, 3, 5, 7... (нечётные) имеют такую особенность решения: (1 + 2): 3 = 1; ((1 + 2): 3 + 4) : 5 = 1; (((1+2) : 3+4) :5 + 6) : 7 = 1 и т. д.

Задачи 2, 4, 6, 8... (чётные) решаются так: 1*2 + 3 - 4 = 1; (1*2 + 3 - 4 + 5) : 6 = 1; ((1*2 + 3 - 4 + 5) : 6 + 7) : 8 = 1 и т. д.

Исходным и существенным для нечётных задач является отношение (1 + 2): 3, а для чётных - (1*2 + 3 - 4). Кроме того, все эти задачи, начиная с третьей, имеют ещё одну особенность, которая состоит в том, что после выявления исходного отношения действия испытуемых состоят в прибавлении последующего числа и делении на число, следующее за ним, например:

(... + 4): 5 или (... + 7): 8.

Исследования психологов показали, что при создании определённых условий (постановка учебных задач и их решение с помощью учебных действий) младшие школьники могут успешно усваивать теоретический материал по математике, русскому языку и другим учебным предметам.[8]

Современный уровень развития общества и соответственно сведения, почерпнутые из различных источников информации, вызывают потребность уже  у младших школьников вскрыть  причины и сущность явлений, объяснить  их, т. е. отвлечённо мыслить.

Вопрос об умственных возможностях младшего школьника в разное время решался по-разному. В результате ряда современных исследовании выяснилось, что умственные возможности ребёнка шире, чем предполагалось ранее, и при создании условий, т.е. при специальной методической организации обучения, младший школьник может усваивать абстрактный, теоретический материал.