Методика формирования доказательного мышления на уроках математики у учащихся начальных классов

Целесообразно запомнить  две схемы не дедуктивных рассуждений:

1. (AÞB и В)ÞА;
2. (AÞB и )Þ .

 

Эти схемы не гарантируют  истинности заключения при истинности посылок.

В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих  истинность заключения, а так же невыполнение условий правильности теорем и формул, применение ошибочного чертежа приводят к ошибочному выводу, ложному заключению. И математики стали придумывать умышленно неправильные рассуждения, но имеющих видимость правильного. Такие рассуждения получили название софизмов.

Разбор софизмов не только формирует умение правильно рассуждать, но и помогает усваивать многие математические факты.

Рассмотрим пример софизма.

Докажем, что 5=1.

Из чисел 5 и 1 вычтем одно и то же число 3. Получим 5-3=2, 1-3= -2. Возведём числа 2 и -2 в квадрат: 2²=4, (-2)²=4. Значит должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Итак, 5=1.

Проанализируем проведённое рассуждение. Оно состоит из трёх шагов.

I шаг (вычитание из 5 и 1 целого числа 3).

Общая посылка: «Разность  любых целых чисел существует».

Частная посылка: «Числа 5, 1 и  3 целые».

Заключение: «Разность 5-3 и 1-3 существует, и 5-3=2, 1-3= -2».

Рассуждение велось по правилу  заключения, поэтому мы получили истинное заключение. Ошибок на этом шаге нет.

II шаг (возведение чисел 2 и -2 в квадрат).

Общая посылка: «Квадраты  любых целых чисел всегда существуют и являются неотрицательными числами».

Частная посылка: «Числа 2 и -2 целые».

Заключение: «Квадраты чисел 2 и -2 существуют, причём 2²=4, (-2)²=4».

Заключение также велось по правилу заключения, поэтому получили истинный вывод. Ошибок на этом шаге тоже нет.

III шаг (заключение о равенстве чисел  5 и 1).

Общая посылка: «Если числа  равны, то равны и их квадраты».

Частная посылка: «Квадраты  чисел равны (4=4)».

Заключение: «Равны и сами числа 5 и 1».

На этом этапе рассуждение  велось по схеме (AÞB и В)ÞА, а она не гарантирует истинности заключения. В результате и было получено ложное заключение.

Умозаключения, построенные  по схемам, гарантирующим истинность заключения, являются очень важными  при изучении математики, методики её преподавания и вообще дидактики.

 

 

2. Неполная индукция

«Неполная индукция представляет собой такое рассуждение, при  котором на основании того, что  некоторые объекты совокупности обладают определённым свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты этой совокупности» .[14]

Рассуждения по неполной индукции часто встречаются в начальном  курсе обучения математике. Они являются как бы источником веры в правильность действий учителя и ученика. Рассмотрим пример. Как ученик второго класса убеждается в справедливости переместительного  закона умножения? Сначала ему демонстрируют  несколько примеров типа 3*2=3+3=6; 2*3=2+2+2=6. Затем показывают конструкцию более общего характера, основанную на нахождении площади одного и того же прямоугольника двумя способами. После этого ему предлагают «поверить» в коммутативность и запомнить математическое утверждение о справедливости переместительного закона умножения: a*b=b*a.

Очевидно, что ни один из приведённых аргументов не является логически достаточным для того, чтобы сделать вывод о справедливости переместительного закона умножения. Демонстрация конечного (и даже небольшого) количества числовых примеров не является достаточным аргументом для того, чтобы утверждать, что свойство справедливо для всех пар чисел.

Умозаключение, которое используется в начальной школе, записывается так: «Для некоторых пар натуральных  чисел справедливо свойство переместительности умножения. Следовательно, для всех пар натуральных чисел справедливо свойство переместительности умножения».

Часто  рассуждения по неполной индукции приводят к неправильным выводам. Однако в методике преподавания начального курса математики они  с необходимостью используются в  тех случаях, когда вывод не вызывает сомнений и когда нет возможности  обосновать правило или закон  в полной мере. Таких случаев очень  много. Как правило, все общие  закономерности в начальных классах  выводятся индуктивным путём. Так обосновываются переместительные законы умножения и сложения, равенства 0+a=a, 1*a=a, a:1=a, 0*a=0 и другие закономерности.

 

3. Доказательство методом «от противного»

Схема умозаключения «от  противного» такова: «Если из А следует В, то из следует ».

Другими словами, если верно AÞB, то верно то верно Þ , и наоборот. Такое умозаключение лежит  в основе рассуждения от противного и в математике. Если AÞB назвать прямой теоремой, то BÞA называется обратной теоремой, а Þ называется противоположной к обратной теореме.

Покажем справедливость Þ при условии справедливости AÞB. Нам нужно доказать, что если истинно, то тоже истинно. Другими словами, если B ложно, то и A ложно. Но это очевидно, т.к. истинность A влечёт за собой истинность B.

Приведём пример этого рассуждения из обыденной жизни. Допустим, что мы знаем, что если дома никого нет, то на двери висит замок (AÞB). Мы пришли и обнаружили, что замка на двери нет ( ). Значит, дома кто-то есть ( ).

Существует удобная иллюстрация  приведённого умозаключения на диаграмме Эйлера-Венна. Если AÌB, то Ì . На диаграмме (рис.1) это свойство хорошо видно Ì .

                         

В

A

рис.1

         Ā

 

 

 

Существует ещё несколько видов косвенных доказательств. Например, доказательство методом исключения, доказательство, основанное на законе контрапозиции. Суть закона в том, что вместо теоремы AÞB доказывают равносильную ей теорему Þ . Если эта теорема оказывается истинной, то истинна и исходная теорема. Но эти виды доказательств в начальной школе не используются, поэтому мы не будем останавливаться на них подробно.

Мы рассмотрели только несколько видов доказательств, т.к. они, так или иначе, используются в начальном курсе математики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. Методика обучения доказательным рассуждениям в начальной школе

 

1. Роль обучения доказательным рассуждениям в формировании логического мышления

Сформировать у учащихся способность самостоятельно добывать знания, научить сопоставлять, сравнивать, выявлять закономерности, рассуждать, делать выводы, находить частное и  общее – важнейшая задача современной  школы. Все эти умения должны быть сформированы к моменту перехода учащихся первой ступени в среднее  звено. Психолог Л.С. Выготский отмечал  интенсивное развитие интеллекта в  младшем школьном возрасте. Ребёнок  в 7-8 лет мыслит конкретными понятиями, а к концу обучения в начальных  классах происходит переход к  стадии формальных операций, которая  связана с определённым уровнем  развития способности к обобщению  и абстрагированию.

Один из путей решения  этой задачи в целенаправленном формировании логической грамотности, т.е. в ознакомлении детей с теми положениями логики, которые используют при изложении  учебного материала. Например: на уроках математики, при проведении заданий на классификацию, вводят в употребление такие слова, как «все», «удобнее», «значит», «можно», «некоторые» и т.д. Эти слова часто выступают характеристикой общих, частных и других видов утверждений.

При обучении детей в начальных  классах происходит интенсивное  накопление языкового богатства  учащихся, как на уроках литературного  чтения, русского языка, окружающего  мира, так и на уроках математики, где и формируется логическая грамотность. Усваивая научные знания, в частности математические закономерности, речь учащихся должна обогащаться соответствующими логическими формами. Это поможет  детям строить рассуждения.

Обучение ребёнка доказательству требует от него сформированности умений правильно рассуждать. Что непосредственно обнаруживается через правильность математической речи ребёнка. Математическая речь и умение правильно рассуждать тесно связаны друг с другом.

Только абстрактные понятия  требуют логических доказательств. Но всем доказательствам должна предшествовать длительная работа по обоснованию утверждений, относящихся к хорошо известным  понятиям, система упражнений.

Нужно стимулировать у  учащихся потребность обосновать своё суждение. Например: на уроке целесообразно  использовать вопросы типа: «Почему  ты так думаешь?» или «Как ты это  можешь доказать?» В ответах детей  нужно выделять те суждения, на основании  которых они делают умозаключение.

В начальном курсе математики для обоснования истинности суждений используются дедуктивные рассуждения, неполная индукция, вычисления, измерения, эксперимент. Для того чтобы целенаправленно формировать у учащихся умение доказательно рассуждать, необходимо учитывать принципы борьбы за полноценность аргументаций и вырабатывать у детей привычку доказывать свои утверждения и гипотезы.

Работу по формированию умения рассуждать целесообразно построить в двух направлениях: работа на уроке и во внеурочное время. Представим её для наглядности в виде схемы:

 

Работа на уроке                                               Работа во внеурочное время     

 

Поиск           Формирование    Специальный     Обучение          Знакомство

логических   внутреннего         комплекс           решению           с элементами

основ            плана действий   упражнений      задач                логического

условий                                                              «на выведение»   содержания  

 

В качестве средства формирования умения рассуждать на уроке, можно использовать поиск логических основ условий  текстовых задач, формирование внутреннего  плана действий и специальный  комплекс упражнений.

Средством формирования умения рассуждать во внеурочное время являются задачи «на выведение», диаграммы  Эйлера-Венна, а также знакомство с элементами логического содержания. Данная работа может проводиться во время факультатива «Логика в начальной школе» и кружка «Учимся рассуждать».

Одним из приёмов формирования творческой активности, развития умения рассуждать учащихся служит поиск логических основ условий текстовых составных  задач.

Логическая основа условия (ЛОУ) – это понятия и отношения  между ними, которые заданы в условие  задачи. Выявление различных ЛОУ задачи служит основной для решения её разными способами.

Отметим методические приёмы, которые могут быть использованы учителем при организации работы учащихся по поиску различных ЛОУ  задачи.

Приём постановки системы вопросов предполагает последовательность взаимосвязанных, целенаправленно задаваемых учителем вопросов способствующих включению учащихся в активную познавательную деятельность.

Приём моделирования базируется на умении строить различные модели краткой записи текста задачи. Удачно выбранный способ краткой записи содержит все данные задачи и наглядно отражает связи между ними. Вскрытию замаскированных ЛОУ задачи наиболее содействует применение графических видов моделей: схем, чертежей, таблиц.

Приём группировки  данных задачи основан на анализе данных задачи. Он позволяет выявить возможные связи между данными, а затем выбрать те из них, что нужны для решения.

Приём введения дополнительных соглашений. Суть данного приёма состоит во введении в условие задачи дополнительных отношений между данными, которые не влияют результат решения, но подсказывают новые ходы (направления) мыслей решающих. Приём введения дополнительных отношений (соглашений) основан на представлении ситуации, описанной в задаче. Представить ситуацию, изложенную в задаче, можно с помощью моделей.

Приём продолжения  начатого решения используется следующим образом: детям после ознакомления с задачей даётся запись начатого решения этой задачи и предлагается выяснить, что находится первым действием, вторым и т. д., и какое отношение, взаимосвязи между данными задачи легли в основу данных арифметических действий. Таким образом, по составленному – равенству или выражению учащиеся выявляют ЛОУ задачи и продолжают начатое решение в соответствии с ней.

Необходимым средством развития умения рассуждать является формирование внутреннего плана действий.

Внутренний план действий – это фундаментальное интеллектуальная способность, которая серьёзно влияет на развитие познавательной и личностной сфер младшего школьника. Эта способность  во многом определяет успешность обучения. Она позволяет планировать и  осознавать собственные действия до начала их совершения, развивает умение рассуждать. Это очень важно при  решении математических задач, а  также совершении любых других учебных  действий.