Методика формирования доказательного мышления на уроках математики у учащихся начальных классов

Полезно предлагать детям  задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут  быть: а) верными; б) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно  рассматривать как суждение, для  обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы  доказательств.

Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся можно предложить такое задание.

Во  сколько раз площадь прямоугольника ABCD больше площади прямоугольника LMNO? Запиши ответ числовым равенством.

   В

 

 

   А

 

 

 

A

C

 

 

D

 

 

 

D

M

 

 

 L

 

 

 

L

N

 

 

O

O

Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.

Миша  – такое равенство: 60:12=5.

Кто из них прав? Как рассуждали Миша и  Маша?

 

Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных  рассуждений, где в качестве общей  посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведённый рисунок.

При решении задачи, когда  учащиеся предлагают способ решения, они  так же высказывают суждения, используя  для доказательства содержание задачи.

Измерение как способ обоснования  истинности суждений обычно применяется  при изучении величин и геометрического  материала. Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «одна  сторона треугольника больше другой»  дети могут обосновать измерением.

Таким образом, в начальном  курсе математики для обоснования  истинности суждений используются дедуктивные  рассуждения, неполная индукция, вычисления, измерения, эксперимент. Для того чтобы целенаправленно формировать у учащихся умение доказательно рассуждать, необходимо учитывать принципы борьбы за полноценность аргументаций и вырабатывать у детей привычку доказывать свои утверждения и гипотезы.

Рассмотрим следующее  рассуждение:

"Когда все посылки  истинные и рассуждение проведено  по логическим правилам, то и заключение истинное. В итоге рассуждения получили ложное заключение. Значит, не все посылки истинны или рассуждение проведено не по правилам вывода".

Из данного рассуждения  следует, что причинами ошибок в  рассуждениях могут быть:

1. ложность хотя бы одной из посылок;
2. отступление от правил логического вывода.

Поэтому выявление правильности проведения рассуждения предусматривает  следующие шаги:

1.   проверка истинности посылок;

2. проверка соответствия способа перехода от посылок к заключению определённому правилу логического вывода.

Понятно, когда выясняется, что одна из посылок рассуждения  ложная, то сразу же, без дальнейшей проверки, можно уверенно утверждать, что рассуждение неправильное. Например:

«Если число меньше 10,то оно  чётное. Число 7<10. Значит, 7 – чётное число».

Общая посылка в этом рассуждении  ложная, поэтому рассуждение неправильное.

В случае, когда все посылки  истинные, необходимо перейти к определению  способа рассуждения и его  соответствию одному из правил логического  вывода. Например, в следующем рассуждении  все посылки истинные, но заключение ложное, это значит, что рассуждение  неправильное.

«Если птица умеет летать высоко в небе, то у неё есть крылья. У курицы есть крылья. Значит, курица умеет летать высоко в небе».

Полученное заключение: «Курица  умеет летать высоко в небе» очевидно ложное, хотя общая и частная посылки истинные. Данное рассуждение неправильное потому, что оно проведено не по правилу заключения(1), а по способу, который не гарантирует правдивость заключения. Наглядно выделить этот способ позволяет запись рассуждения в схематичном виде(2).

Сравните его с правилом заключения.

 

AÞB                                              AÞB

А                   (1)                             В                    (2)

В                                                     А

 

По схеме (2) рассуждать нельзя, так как можно получить ложное заключение. Правильным ли будет следующее  рассуждение?

«Если человек применяет  правила вывода, то он рассуждает правильно. Ольга рассуждает правильно. Значит, Ольга применяет правила вывода».

По какой схеме проведено  это рассуждение – по схеме (1) или по схеме (2)? Рассуждение построено  по схеме (2) и, значит, является неправильным. Действительно, возможно, что Ольга, как и многие другие люди, интуитивно рассуждает правильно даже в том  случае. Если никогда не слышала  о правилах логического вывода.

Чтобы исправить ошибку в  рассуждении, необходимо отказаться от схемы (2) и перейти к схеме (1), которая  является правилом вывода:

«Если человек применяет  правила вывода, то он рассуждает правильно. Ольга применяет правила вывода. Значит, Ольга рассуждает правильно».

Полученное заключение, несомненно, правдивое. Роль правил вывода именно в том и заключается, что от истинных посылок они всегда ведут к правдивому заключению. Так, рассуждение о птицах исправляется следующим образом:

«Если птица умеет летать высоко в небе, то у неё есть крылья. Орёл умеет летать высоко в небе. Значит, у орла есть крылья».

Рассуждение может оказаться неправильным и в том случае, если все посылки, а также заключение являются истинными. Например:

«Если число делится на 15, то оно делится на 3. Число 45 делится  на 3. Значит, число 45 делится на 15».

Посылки и заключение в  этом рассуждении истинные, но оно  неправильное потому, что проведено  по схеме (2), а не по схеме (1). Недозволенность  такой формы рассуждения доказывается методом приведения контрпримера: по этой форме из истинных посылок можно получить ложное заключение. Найдём подходящий контрпример:

«Если число делится на 15, то оно делится на 3. Число 48 делится  на 3. Значит, число 48 делится на 15».

Все посылки в последнем  рассуждении истинные. Его форма  такая же, как и в рассуждении  о числе 45, а заключение «Число 48 делится на 15» является ложным. Таким  образом, мы доказываем ученикам, что  рассуждения по схеме (2) недопустимы.

Во всех упражнениях, которые  здесь приведены, требуется найти  ошибку в рассуждениях и исправить  её. Напомним, что для этого необходимо проверить:

1. истинность посылок;
2. соответствие правилу логического вывода.

При выполнении заданий желательно использовать карточки с цветными сигналами  и схемы правильных рассуждений.

 

3. Комплекс упражнений, направленный на формирование доказательного мышления

Успешность формирования умения доказывать в средней школе  во многом зависит от того, насколько  качественно и целенаправленно  ведётся подготовительная работа в  начальной школе.

Подготовка младших школьников к сознательному усвоению и проведению доказательств предполагает:

1. Раскрытие смысла слов «и», «или», «все», «каждый» и уточнение этого на практике;
2. Формирование в процессе обучения математике различных приёмов умственных действий;
3. Формирование первоначальных геометрических представлений и умения доказывать их различными способами;
4. Формирование умения делать выводы из исходных суждений и излагать последовательность своих рассуждений.

Такая подготовительная работа может успешно проводиться на уроках математики через систему специальных заданий.

Для раскрытия смысла слов «и», «или», «все», «каждый» во 2-м классе предлагаются следующие задания:

1. Нарисуйте три клетки. Раскрасьте их. Сколько клеток нарисовали? (три)
• Сколько клеток раскрасили? (три)
• Можно ли сказать, что три клетки нарисовали и все раскрасили? (да)
• Можно ли сказать, что три клетки нарисовали и некоторые раскрасили? (нет)
• Можно ли сказать, что три клетки нарисовали и каждую раскрасили? (да)
2. На доске рисунок. Вопросы:
• Верно ли, что все треугольники красные? (да)
• Докажи. (нет ни одного треугольника другого цвета)
• Можно ли сказать, что все круги - синие? (нет)
• Почему? (есть один красный круг)
• А если скажем, что некоторые круги синие? (правильно)
• Можно ли сказать, что каждый треугольник – красный? (да)
• Все квадраты белые? (да)

Для проверки понимания смысла введённых слов можно предложить задания:

1. У Маши было 4 яблока. Все яблоки она отдала сестре. Сколько яблок Маша отдала сестре?
2. Нарисуйте 5 флажков. Каждый из них раскрасьте красным карандашом. Вопросы:

• Сколько флажков нарисовали? (5)

• Сколько флажков раскрасили? (5)
• Объясни. (нарисовали 5 флажков, каждый раскрасили. Значит, раскрасили 5 флажков)

3. Выберите из слов «все», «некоторые», «каждый» нужное и запишите его вместо точек, чтобы предложения были верными:

… треугольники – красные.

… круги – синие. И  т.д.

Для формирования умения пользоваться приёмом сравнения необходимо начать с выделения признаков одного объекта, затем установления сходства  и различия между признаками двух объектов, позже трёх, четырёх и более объектов. Такую работу лучше начать с первых уроков математики в первом классе. В качестве объектов можно использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо знакомых детям, в которых они могут выделить признаки, опираясь на собственные представления. Можно задать вопрос:

• Что вы можете рассказать о предмете?

Далее в процессе работы учитель знакомит детей с понятиями  «размер», «форма» и предлагает следующие  вопросы:

• Что вы можете сказать о размерах (формах) этих предметов? (большой, маленький, круглый и т.д.)

И только потом можно предлагать сравнивать сначала два предмета, затем несколько. Вопросы:

• В чём сходство и различие этих предметов? Что изменилось? (если нужно сравнить два предмета)

Впоследствии умение выделять признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы ученики переносят на математические объекты. Рекомендуемые задания:

1. Назови признаки :

1. Выражения 3+2 (числа 3,2, знак «+», 3>2, 3>2 на 1);
2. Выражения 6-1 (числа 6,1, знак «-», 6>1, 6>1 на 5);
3. Равенства х+5=9 (х – неизвестное число, числа 5,9, знаки «+», «=», 9>5).

2. В чём сходства и различия:
1. Выражений: 6+2 и 6-2; 9*4 и 9*5; 6+(7+3) и (6+7)+3;
2. Чисел: 32 и 45; 32 и 42; 32 и 23; 1 и 11; 2 и 12; 111 и 11; 112 и 12 и т.д.
3. Равенств: 4+5=9 и 5+4=9; 3*8=24 и 8*3=24; 4*(5+3)=32 и 4*5+4*3=32 и т.д.
4. Текстов задач:
• Коля поймал 2 рыбки, Петя – 6. На сколько больше поймал рыбок Петя, чем Коля?
• Коля поймал 2 рыбки, Петя – 6. Во сколько раз больше поймал рыбок Петя, чем Коля?
5. Геометрических фигур:

                                     и т.д.

Приём сравнения можно  успешно использовать при знакомстве учеников с новыми понятиями.

Например, при знакомстве с трёхзначными числами во 2-м  классе, можно дать задание:

• Чем похожи между собой все числа: 100,205,356,789,999 и т.д.

При знакомстве с понятием «тупоугольный треугольник» уместным будет такое задание:

• Чем похожи между собой все треугольники?