Методика формирования доказательного мышления на уроках математики у учащихся начальных классов

Внутренний план действий имеет сложную структуру, в которую  входит целый ряд элементов. Успешное развитие каждого элемента создаёт  условие для развития внутреннего  плана действий в целом.

Можно предложить систему, позволяющую  целенаправленно формировать внутренний план действий на уроках математики при  решении текстовых задач.

К структурным элементам  внутреннего плана действий относятся:

• анализ условий;
• собственно планирование;
• умение следовать идеальному плану в процессе его реализации;
• умение объяснить в развёрнутой речевой форме результат действий;
• умение использовать усвоенные действия в новых условиях.

Формирование внутреннего  плана действий носит поэтапный  характер.

Для развития способности  рассуждать, во время проведения занятий  кружка «Учимся рассуждать», используются задачи « на выведение». Общий смысл  задач такого рода заключается в  поиске конкретного суждения, непротиворечиво  следующего из данных суждений.

Например, ребёнку даётся задание узнать, кто из двух мальчиков  будет старше через год (Петя или  Вова), если известно, что год назад  Петя был моложе Вовы. В ходе рассуждения  ребёнок соотносит такие приведённые  в задаче суждения: «Год назад ребята были разного возраста», «Год назад  Петя был моложе Вовы», «Год назад  Вова был старше Пети». Из данных суждений ребёнок имеет возможность сделать  непротиворечивый вывод и вывести  новое суждение: «Через год Вова будет старше, чем Петя».

Искомое в любых задачах  «на выведение» имеет разную форму. Во-первых, при решении любых задач  «на выведение» возможно требование: найти либо связь конкретного  признака с конкретным предметом (задачи «на совмещение»), либо отсутствие связи  конкретного признака с конкретным предметом (задачи «отрицание»), либо отношение  между признаками конкретных предметов (задачи «сопоставление»).

В задачах «на выведение» может быть поставлена разная поисковая  цель:

• найти единичное суждение;
• найти частное суждение;
• найти общее суждение.

Поисковая деятельность при  решении задач «на выведение» имеет разный субъективный (в восприятии ребёнка) и объективный (в восприятии со стороны) смыслы.

Субъективно поисковая деятельность воспринимается ребёнком в двух вариантах: как связанная с решением задач  и как связанная с проверкой  готового решения.

Объективно, по своему реальному  значению и смыслу поисковая деятельность на материале задач «на выведение» имеет три формы: решение задач, проверка решения и составление  простых задач в итоге решения  сложных задач.

«Главная задача обучения математике, причём с самого начала, с первого класса, - учить рассуждать, учить мыслить», - писал А.А. Столяр.[40] Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ логического мышления используется игра с кругами, рассмотрение которой приведено ниже.

Игра с кругами, созданная  на основе известных кругов Эйлера, позволяет обучать классифицирующей деятельности, закладывает понимание  логических операций: отрицания - не, конъюнкции - и, дизъюнкции - или. Перечисленные логические операции имеют важнейшее значение, так как различные их комбинации образуют всевозможные и сколь угодно сложные логические структуры. Из функциональных элементов, реализующих логические операции не, и, или, конструируются схемы современных ЭВМ.

Для игры с кругами нужны  нарисованные на бумаге один, два или  три пересекающихся круга разного  цвета, разноцветные обручи и наборы геометрических фигур разных цветов и размеров, карточки с числами  и буквами русского алфавита. В  принципе необязательно использовать круги, можно работать с любыми замкнутыми плоскими фигурами. В этом случае замкнутые области выделяются на монтажной панели, к примеру, цветными верёвочками. Возможна также работа на компьютере со специальной компьютерной программой. Комплексное обучение, сочетающее игры с обручами со всем классом, игру за столом в группе и индивидуальную работу за компьютером, является наиболее эффективным.

Систематическая работа на уроке и во внеурочное время приводит к положительным результатам  по формированию умения рассуждать у  учащихся начальной школы.

Определение уровня развития у детей способности рассуждать, проводится с помощью диагностического задания «разное - одинаковое». Это  задание включает постепенно усложняющиеся  задачи, где требуется составить  умозаключение, сделать вывод из данных суждений.

Апробация материалов курса  показывает, что дети с интересом  относятся к регулярным занятиям на материале поисковых задач. Дети начинают более уверенно вести себя при решении задач на уроках математики.

 

2. Способы обоснования истинности суждений в младших классах, анализ ошибок в рассуждениях

В начальной школе нет  доказательства в строго логическом и математическом смысле этого слова. Одной из причин этого является то, что в начальном курсе математики почти нет определений. Однако это  вовсе не означает, что при изучении математики в начальной школе  ученики не устанавливают логической связи между математическими  факторами, а только усваивают эти  факты.

Например, ученики при  изучении таблицы умножения должны уметь выводить 5*3=15 из того факта, что 5+5+5=15, и из общего определения умножения как суммы одинаковых слагаемых. А это рассуждение уже является фрагментом настоящего доказательства. Почему только фрагментом? Потому что ученику начальной школы недоступно в полном объёме обосновать, что 5+5+5=15 (это трудно сделать не только ученику начальной школы).

Как известно, в математике все предложения, за исключением  исходных, как правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте.

Пусть, например, требуется  решить уравнение: 7*х=14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)».

Это правило – общая  посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка.

Заключение: «нужно 14 разделить  на 7, получим 2». Особенность дедуктивных  рассуждений в начальных классах  заключается в том, что они  применяются в неявном виде, то есть общую и частные посылки  опускаются (не проговариваются), ученики  сразу приступают к действию, которое  соответствует заключению.

Здесь дело в том, что для  сознательного проведения дедуктивных  рассуждений необходима большая  подготовительная работа, направленная на сознательное усвоение общего вывода, свойства, закономерности. Этого требует  особенности мышления младшего школьника, которое отличается конкретностью. Но сознательное усвоение общего вывода позволяет пользоваться в дальнейшем дедуктивным рассуждением.

На протяжении почти двух лет учащиеся на конкретных примерах усваивают зависимость между  компонентами и результатом действий, и только в конце II класса они могут пользоваться дедуктивными рассуждениями при решении простейших уравнений.

Практика показывает, что  для усвоения общих положений, правил, выводов учащимся требуется большое  количество конкретных упражнений. Только в результате длительной целенаправленной работы в этом направлении появляется возможность для проведения учащимися  дедуктивных рассуждений.

Учитель школы №525 г. Москвы В. П. Лехова в своей статье «Дедуктивные рассуждения в курсе математики начальных классов» приводит такой пример.[22]

Она провела в III классе проверочную работу, в которой учащимся были предложены в начале два уравнения: 17+х=31 и 43-х=17.

Все ученики (за исключение двоих из 33 человек) быстро справились с их решением. При объяснении решения  уравнения учащиеся использовали дедуктивное  рассуждение: «Чтобы найти неизвестное  слагаемое, нужно из суммы вычесть  известное слагаемое (общая посылка). Нам неизвестно второе слагаемое, чтобы  его найти, надо из суммы 31 вычесть  известное слагаемое 17 (частная посылка). Из 31 вычесть 17 получим 14 (заключение).

Подобным образом учащиеся рассуждали и при решении второго  уравнения. Казалось бы, все в порядке. Но через некоторое время тем  же ученикам были предложены уравнения (умышленно составленные неверно): 35+х=29 и 53-х=62 с целью проверки умения вести  наблюдения.

12 учеников решили уравнения,  вычитая из большего числа  меньшее, 9 человек сказали, что  эти уравнения решить нельзя. Когда их попросили записать  хотя бы ход решения, то только  трое из них смогли это сделать.  Остальные учащиеся справились  с заданием только после подсказывающих  вопросов: Как найти неизвестное  слагаемое? Как найти неизвестное  вычитаемое? И так далее. Но  это не говорит о том, что  учащимся начальных классов вообще  недоступны дедуктивные рассуждения.  Зачастую, для формирования у  младших школьников умения рассуждать  доказательно не всегда используются  возможные методические резервы.

Предлагаемые в начальной  школе упражнения в основном требуют  вычисления, поэтому даже в том  случае, когда можно сделать вывод  учащиеся предпочитают заменить рассуждения  вычислениями.

Заметим, что вычисления тоже относят к доказательствам, это тоже один из способов доказательства истинности суждений, но вычисления должны опираться на дедуктивные рассуждения.

Н. Б. Истомина подчёркивает, что «процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы… Так, обосновывая результат при решении примера на порядок действия, они пользуются общей посылкой в виде правила порядка действий, затем выполняют вычисления»[17]

При работе по формированию умения доказательно рассуждать, учителю  необходимо следить за правильностью  рассуждений, проводить подготовительную работу.

А. Я. Хинчин приводит несколько принципов борьбы за полноценность аргументации:

1)Борьба против незаконных обобщений – это борьба с доказательствами, построенными на неполной индукции. Это воспитывает у учащихся привычку с критической тщательностью проверять законность всякого обобщения, привычку твёрдо помнить, что замеченное во многих случаях ещё не обязательно имеет место во всех случаях.

Конечно, в математике все, что обосновано не до конца, расценивается  как абсолютно необоснованное, но в начальном курсе математики это вполне возможно, особенно на начальном  этапе, так как открываемые учащимися  законы, свойства, правила достоверны (они уже получили свои строгие  доказательства в математике). Другое дело, когда учащиеся начинают использовать неполную индукцию при доказательстве свои каких-либо рассуждений. Вот с  этим-то и необходимо бороться.

2) Борьба против необоснованных аналогий. Допустим, что несколько объектов обладают  свойствами А и В, а так же С. Если мы обнаружили объект, обладающий свойствами А и В, то можем ли мы утверждать, что этот объект обладает и свойством С?

Да, но только тогда, когда  мы со всей строгостью доказали, что  из наличия признаков А и В с неизбежностью вытекает и наличие признака С.

Критическое отношение к  заключениям по аналогиям есть один из важнейших показателей, отличающих правильно воспитанное научное  и практическое мышление от первобытного, обывательского.

3) Борьба за полноту дизъюнкций. Здесь говорится о том, что необходимо предусматривать все возможные разновидности той или иной ситуации.

4) Борьба за полноту и выдержанность классификации. Нарушение полноты классификации состоит в том, что остаются понятия, которые не вошли ни в один из названных классов.

Данное требование состоит  в том, чтобы классификация проводилась  по одному принципу, одному признаку.[43]

Все вышеперечисленные принципы должны соблюдаться в любом классе для успешного формирования умения у детей доказательно рассуждать.

Но, несмотря на все, в начальном  курсе математики используются и  другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, измерения, а так же вычисления, о которых мы уже говорили в нашей работе.

Эксперимент обычно применяется  вместе с наглядностью и предметными  действиями. Например, ребёнок может обосновать, что 7>6, выложив в одном ряду 7 кругов, а под ним – 6. Установив между кругами первого и второго ряда взаимно-однозначное соответствие, он фактически обосновывает своё суждение (в первом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребёнок может обращаться к предметным действиям и для обоснования истинности полученного результата при сложении, вычитании, умножении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько одно число больше другого?», «На сколько одно число меньше другого?» и так далее. Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами. Например, для обоснования результата деления 9:2=4 (ост.1) можно использовать рисунок: