Разработка элективного курса «Решение текстовых задач» для учащихся 9 класса

Решение:

Пусть скорость автобуса (х) км/ч, тогда скорость автомобиля (1,2 х) км/ч. Таким образом, время движения автобуса ч, а автомобиля ч. Зная, что автомобиль сделал остановку на 2 мин., но приехал на 3 мин. раньше автобуса, составим уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 1,2 = 60 (км/ч) – скорость автомобиля.

Ответ: 50 км/ч – скорость автобуса; 60 км/ч – скорость автомобиля.

    4. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения реки. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Решение:

Пусть скорость течения реки равна (х) км/ч, тогда (8-х) км/ч – скорость катера против течения реки, а (8+х) км/ч – скорость катера по течению реки. Запишем и решим уравнение:

т.к. х = -2 не подходит по смыслу задачи, то х=2.

Ответ: 2 км/ч – скорость течения реки.

   5. На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один из картов проходил круг на 5 мин. медленнее другого и через час отстал от него ровно на круг. За сколько минут каждый карт проходил круг?

Решение:

Пусть первый карт проходит круг за (х) мин., тогда второй карт проходит круг за (х+5) мин. Составим и решим уравнение:

 

Т.к. по смыслу задачи 0, то х=15

1) 15 + 5 = 10 (мин.) время движения второго карта.

Ответ: за 15 минут первый карт проходит круг, за 20 мин. второй карт проходит круг.

                 6. Расстояние между двумя городами скорый поезд проходит на 4 часа быстрее товарного и на 1 час быстрее пассажирского. Найти скорости товарного и скорого поездов, если известно, что скорость товарного поезда составляет 5/8 от скорости пассажирского и на 50 км/ч меньше скорости скорого.

Решение:

Пусть х, км/ч – скорость товарного поезда (х>0), у, ч – время движения скорого поезда (у>0).

Составляем таблицу 1:

Величины Процессы	Расстояние (км)	Скорость (км/ч)	Время (ч)
Скорый поезд	(х+50)у	х+50 ?	у
Пассажирский поезд	8/5 х(у+1)	8/5 х	у+1
Товарный поезд	х(у+4)	х ?	у+4

 

По условию задачи поезда прошли одно и то же расстояние. Получаем систему уравнений

     8/5 х(у+1) = х(у+4)

     (х+50)у = х(у+4).

По условию задачи х>0, тогда

8(у+1) = 5(у+4)

(х+50)у = х(у+4),

 

3у = 12

(х+50)у = х(у+4),

 

у = 4

х+50 = 2х,

у = 4

х = 50.

Полученные значения неизвестных удовлетворяют условию х>0, у>0, значит удовлетворяют условию задачи.

50 км/ч – скорость товарного поезда.

50+50 = 100 (км/ч) – скорость скорого поезда.

Ответ: 50 км/ч, 100 км/ч.

 

Тема №4:  «Задачи на совместную работу»

  1. Две трубы при совместной работе могут наполнить бассейн за 4 часа. Если бы сначала первая труба наполнила половину бассейна, а затем ее перекрыли и открыли вторую, то наполнение бассейна было бы закончено за 9 часов. За сколько часов может наполнить этот бассейн каждая труба в отдельности?

          Решение:

Вся работа равна 1. Пусть первая труба заполнит бассейн за (х) час, а вторая – за (у) час. Составим и решим систему уравнений:

 

Ответ: одна труба может заполнить бассейн за 12 час., а вторая – за 6 час.

  2. Одна из труб может наполнить водой бак на 10 мин. быстрее другой. За какое время может наполнить этот бак каждая труба, если при совместном действии этих труб в течение 8 мин. было заполнено бака?

          Решение:

Пусть одна труба заполняет бак за (х) мин., тогда вторая труба заполнит бак за (х + 10) мин. Составим и решим уравнение:

          1) 20 + 10 = 30 мин.

Ответ: первая труба заполнит бак за 20 мин., а вторая – за 30 мин.

  3. Машинистка должна была напечатать за определенное время 200 страниц. Печатая в день на 5 страниц больше, чем планировала, она завершила работу на два дня раньше срока. Сколько страниц в день печатала машинистка?

Решение:

Пусть машинистка фактически набирала (х) страниц в день, тогда по плану она должна была набирать (х - 5) страниц в день. Таким образом планировалось напечатать 200 страниц за 200 : (х-5) дней, в то время как машинистка справилась с работой на 2 дня раньше. Составим и решим уравнение:

 

Ответ: машинистка печатала по 25 страниц в день.

           4. Машинистка начала перепечатывать рукопись книги, через 4 часа к ней присоединилась вторая машинистка. Проработав 8 часов, они закончили перепечатку всей рукописи. За сколько часов каждая машинистка может перепечатать всю рукопись, если первой на это требуется на 8 часов больше, чем второй?

         Решение:

Пусть первая машинистка может перепечатать всю рукопись за х часов, а вторая – за у часов. Тогда за 1 час первая машинистка печатает часть рукописи, а вторая - часть. Первая машинистка работала 4+8= 12 часов и напечатала часть рукописи, а вторая работала 8 часов и напечатала часть рукописи, вместе они напечатали всю рукопись, то есть 1.

Составим систему уравнений и решим ее 

 

;

12х – 96+8х=х(х–8);

 

Если х=4,то у=–4 (не подходит по условию задачи).

Если х=24, то у=24–8=16.

         Ответ: 24 ч, 16ч.

             5. Бригада рабочих выполнила некоторое задание. Если бригаду уменьшить на 20 человек, то такое же задание она выполнит на 5 дней позже, чем при первоначальном составе, а если бригаду увеличить на 15 человек, то она выполнит задание на 2 дня раньше. Сколько рабочих было в бригаде первоначально и за сколько дней они выполнили задание?

           Решение:

Пусть х рабочих выполнили задание за у дней; тогда по условию ху=(х–20)(у+5) и ху=(х+15)(у–2).

Запишем оба равенства в виде пропорции:

 

Каждую пропорцию вида заменим равносильной пропорцией вида

Тогда получим

Или 

        

8(у+5)=15(у–2)

7у=70

У=10

Тогда х=60. Итак, в бригаде было 60 рабочих, которые выполнили задание за 10 дней.

Ответ: 60 рабочих, 10 дней.

Тема №4:  «Работа и производительность труда»

 Основными  компонентами задач этого типа  являются:

а) работа А (выполненная, выполняемая или планируемая к выполнению);

б) время Т (затраченное, используемое или необходимое для выполнения работы);

в) производительность труда N, т.е. работа, выполненная в единицу времени (фактическая или предполагаемая).

Указанные компоненты связаны между собой равенством .

К задачам на работу относятся и задачи на «бассейны», в которых основными компонентами являются:

а) объем V бассейна;

б) время Т, необходимое для заполнения (или опорожнения) бассейна;

в) скорость Х наполнения бассейна.

Указанные компоненты связаны между собой равенством .

 

            1. Первый рабочий может выполнить некоторую работу на 4 часа раньше, чем второй. Вначале они 2ч работали вместе, после чего оставшуюся работу выполнил один первый рабочий за час. За какое время может выполнить всю работу второй рабочий?

           Решение. 

            Пусть объем всей работы А, производительность труда первого рабочего N1, второго – N2. Тогда первый рабочий выполнит всю работу за время ,  второй . Получаем уравнение: - = 4.

Запишем второе условие задачи.

За два часа совместного труда рабочие сделали 2(N1 + N2), за час первый рабочий сделал N1,  в итоге работа была выполнена: 2(N1 + N2) + N1 = А.

Получаем систему уравнений: из которой надо найти .

Из второго уравнения имеем: N1 =

Подставив это выражение в первое уравнение, получаем: - = 4 или

А2 – 9 АN2 + 8N22 = 0. Отсюда имеем А = 8N2 ( =8), А = N2 ( =1).

Второе решение, очевидно, не подходит, так как один второй рабочий может сделать всю работу за один час, то это противоречит условию задачи.

            Ответ: второй рабочий сделает всю работу за 8 часов.

            2. Две бригады, работая вместе, должны отремонтировать

заданный участок шоссейной дороги за 18 дней. В действительности же получилось так, что сначала работала только одна первая бригада, а заканчивала ремонт участка дороги одна вторая бригада, производительность труда которой выше, чем у первой бригады. В результате ремонт участка дороги продолжался 40 дней, причем первая бригада в свое рабочее время выполнила ⅔ всей работы. За сколько дней был бы отремонтирован заданный участок дороги каждой бригадой отдельно?

            Решение:

Пусть х – количество дней, за которое отремонтирует заданный участок дороги первая бригада; у − количество дней, за которое отремонтирует заданный участок дороги вторая бригада;

Используя формулу ,получим первое уравнение .

Первая бригада в свое время выполнила всей работы, то есть она работала х дней. Вторая бригада выполнила всей работы и работала у дней. Получим второе уравнение:

х + у=40.

Решим систему уравнений:

 

Из второго уравнения имеем 2х+у=120, тогда у=120−2х.

Подставим найденное выражение в первое уравнение и получим квадратное уравнение , корнями которого являются Тогда

Пара 24 и 72 не удовлетворяют условию задачи, так как производительность труда второй бригады выше, чем у первой бригады.

          Ответ: 45 и 30 дней.

           3. На одном из двух станков  обрабатывают партию деталей  на 3 дня дольше, чем на другом. Сколько дней продолжалась бы  обработка этой партии деталей  каждым станком в отдельности, если известно, что при совместной  работе на этих станках втрое  большая партия деталей была  обработана за 20 дней?

           Решение:

І станок – х дней

ІІ станок – (х+3) дня

Производительность труда при совместном выполнении того же объема работы равна

 

 

 

Если объем работы увеличивается втрое, то

 

Получим уравнение

3х(х+3) = 20(2х+3)

3

 

Если предположить, что количество дней – целое число, то каждый станок в отдельности обрабатывает эту партию деталей 12 и 15 дней.

             Ответ: 12 и 15 дней.

            4. Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 15 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание. А потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течении 6 ч, то и тогда будет выполнено только 0,6 всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения этого задания?

           Решение:

Составим таблицу 2:

 

	Время выполнения всего количества работы	Производительность труда	Количество выполненной работы
Бригада Слесарей	х
Бригада учеников	х+15

 

Получаем уравнение

 

Решая это уравнение, получаем корни 30 и -5(не подходит по условию задачи). Значит, бригаде слесарей требуется 30 часов для самостоятельного выполнения этого задания, тогда бригаде учеников требуется 45 часов.

            Ответ: 45 часов.

          5.Две бригады трактористов пахали два участка земли  (первая бригада − первый участок, вторая – второй), причем объем работ на втором участке втрое больше, чем на первом, первой бригаде на 6 трактористов меньше, чем во второй. Производительность труда всех трактористов одинакова. Бригады одновременно начали работу, и когда первая бригада закончила работу, вторая еще работала. Какое наименьшее число трактористов могло быть в первой бригаде?

            Решение:

Пусть х – производительность труда каждого тракториста, у – количество трактористов в первой бригаде. Тогда ху – объем работы, выполненной первой бригадой за единицу времени, а время, затраченное первой бригадой на выполнение всей работы, равно

Рассуждая аналогично, найдем время, затраченное второй бригадой на выполнение всей работы, оно равно