Колебания. Вибрация. Волны

В положении равновесия, в котором момент сил трения уравновешивает момент силы тяжести маятника и его угловая скорость равна нулю, положение маятника характеризуется некоторой точкой В на фазовой плоскости, находящейся на оси ф на расстоянии от нулевой точки, равном ф0. Величина ф0 определяется в зависимости от момента инерции маятника и угловой скорости вала. При малых амплитудах и достаточно большом демпфировании фазовая траектория, выходящая из некоторой точки А вблизи точки В, накручивается на точку В, которая играет роль устойчивого фокуса (кривая а).

При малом демпфировании фазовая траектория, выходящая из точки Л, будет раскручиваться, удаляясь от точки В — неустойчивого фокуса (кривая б). Раскручивание будет происходить до тех пор, пока фазовая кривая не соприкоснется с «потолком» — прямой, параллельной оси ф и находящейся от нее на расстоянии, равном величине угловой скорости вращения вала. А далее произойдет движение по этому «потолку» между точками 3 и 1, что будет соответствовать совместному движению маятника и вала, а затем движение по кривой в, обозначенной жирной линией. Вся эта кривая, включающая прямолинейный отрезок 3—1, есть предельный цикл, в который вливаются все фазовые траектории. Если амплитуда достаточно велика, то соответствующая кривая г обходит этот предельный цикл, затем упирается в прямую 2—3—1 и следует до точки 1, а затем по кривой в — к предельному циклу.

При достаточно большой амплитуде, когда фазовая кривая, обойдя предельный цикл, упрется в прямую 2—3—1 левее некоторой предельной точки 2 (кривая д), дальнейшее течение фазовой кривой идет выше прямой 2—3—1, но затем, если эта траектория попадает на участок 2—1, она вливается в предельный цикл. Если же, идя поверху, она попадет правее точки /, то, совершив еще необходимое число циклов, она в конце концов должна вливаться в кривую предельного цикла в.

Таким образом, в одном случае точка В — положение равновесия — оказывается устойчивой, а в другом — неустойчивой. Но во втором случае все фазовые траектории, идущие как изнутри, так и извне, стремятся к предельному циклу — к кривой в.

Существует множество явлений, родственных поведению систем, изображенных на рисунке 46 и 53. Их объединяет наличие сухого трения, которое порождает автоколебания. Такие явления сопровождаются скрипом по типу скрипа несмазанных колес телеги, скрипа несмазанной двери и т. п. Иногда порождается неустойчивость.

Несколько усложненную разновидность автоколебаний представляет собой авторезонанс. Он, в частности, наблюдается в виброударных системах и состоит в том, что тело (деталь) периодически перемещается между двумя ограничителями, расстояние между которыми определяет частоту соударений. Подводимая энергия, порождаемая движением самой нелинейной системы, преодолевает сопротивление трения и действует с той же частотой, в связи с чем возникает своеобразный резонанс. На каждой частоте получается устойчивый предельный цикл.

Синхронизация колебаний. Это явление, которое содержит в себе признак, близкий к самовозбуждению, в некотором смысле родственно автоколебаниям (хотя питание для этого возбуждения происходит от колебательного источника, но «косвенного»).

В установках, предназначенных для искусственного возбуждения колебаний несколькими механическими вибраторами, снабженными не уравновешенными грузами-эксцентриками, требуется согласованность их движения — синхронность вращения и сохранение определенных соотношений между фазовыми углами эксцентриков. Для принудительной синхронизации работы вибраторов ранее использовались различные механические передачи (например, жесткая кинематическая связь при помощи зубчаток, сложные системы управления и др.). Однако случайно было обнаружено, что во вращающихся роторах вибраторов самопроизвольно поддерживаются определенные частотные и фазовые соотношения даже при отсутствии непосредственной связанности валов и при различии параметров. Секрет этого явления заключается в том, что если валы, приводимые во вращение независимыми электродвигателями, установлены на неподвижной платформе, то они действительно вращаются независимо друг от друга. Но если платформу установить на упругие опоры, позволяющие им вибрировать, то угловые скорости вращения роторов выравниваются и между фазами эксцентриков устанавливается определенное соотношение. В этом состоит явление синхронизации.

Тенденция к синхронизации настолько сильна, что согласованное вращение роторов не нарушается даже при отключении одного из двигателей: например, обрыв провода, подводящего питание к одному двигателю, был обнаружен через несколько часов, но машина работала нормально. Таким образом, «слабая», «побочная» связь между мощными вращающимися валами с эксцентриками через вибрирующую платформу косвенным образом способствовала возбуждению вращения двигателя, потерявшего питание, т. е. почти «самовозбуждению».

Явление синхронизации характерно не только для механических систем — оно наблюдается и в других физических системах, и в биологии. Его существование характеризует свойственную природе тенденцию к самоорганизации, к самоупорядочению.

Параметрически возбуждаемые колебания.

Эти колебания возникают вследствие периодического изменения параметров системы (изменения массы, упругости), а не в результате внешнего воздействия.

Простейшим примером системы с периодическим изменением параметра может служить консольный стержень с грузом на конце, защемленный в опоре с криволинейными поверхностями, которые может огибать стержень при изгибном деформировании (рисунок 55). При увеличении прогиба точка соприкосновения стержня с поверхностями опоры смещается таким образом, что расчетная длина консоли уменьшается. При этом жесткость стержня увеличивается, и это увеличение происходит непрерывно в процессе колебаний стержня с грузом.

Второй пример — маятник с переменной длиной подвески. Роль такого маятника выполняют обыкновенные качели, раскачиваемые стоящим на них человеком. В самом деле, если предположить, что масса человека сосредоточена в его центре тяжести, а расстояние от центра тяжести до точки подвеса качелей считать длиной маятника, то при приседании и распрямлении человека в процессе раскачивании качелей происходит опускание и поднятие центра его массы. Это и будет маятник с переменной длиной (эффект раскачивания проявляется еще нагляднее, если качающихся двое и они раскачивают качели в разных фазах).

Изменение длины маятника можно представить в виде схемы (рис. 56; предполагается, что изменение длины происходит почти мгновенно).

Возбуждение колебаний и нарастание амплитуд при изменении параметра имеют свои особенности.

Прежде всего обратим внимание, что за одно колебание качелей вправо — влево изменение длины маятника в пределах размаха от минимума до максимума происходит дважды. Следовательно, частота колебаний (качаний) качелей- маятника составляет половину частоты возбуждения, вызнанного изменением длины маятника. При этом возникает резонансная ситуация.

При параметрически возбуждаемых колебаниях есть и другие частоты возбуждения, вызывающие резонанс,—они определяются отношениями собственной частоты со0 к частоте возбуждения со, равными 1 : 1, 3 : 2, 2 : 1 и т. д.

Кроме того, оказалось, что при сколько-нибудь значительных амплитудах колебаний системы возникает неустойчивость, т. е. режим неограниченной раскачки. Теоретическое исследование привело к определению областей устойчивости и неустойчивости, если под областью понимать некоторую совокупность значений таких величин, как отношение собственной частоты к частоте раскачки и значение некоторой относительной амплитуды колебаний.

 

 

 

Параметрические колебания в простейшем случае описываются дифференциальным уравнением Матье:

В отличие от уравнения свободных колебаний оно со-

держит «раскачивающее» слагаемое —

На основе этого уравнения была построена известная диаграмма Стретта (рисунок 57); ее координаты . Кривые линии — это границы между областями устойчивости и неустойчивости. Области устойчивости заштрихованы. Диаграмма относится к системе без демпфирования; при демпфировании области неустойчивости ограничиваются (рисунок 58)

Лекция третья. Динамика звеньев, агрегатов, машин.

Основные задачи.

Требования, предъявляемые к машине, касаются не только ее производственных качеств. Помимо длительного срока службы, экономичности и безопасности функционирования, от машины также требуется спокойная безвибрационная работа. Поэтому уже на стадии проектирования машин следует уделять внимание тем явлениям, которые могут быть причиной неполадок. Решение соответствующих задач поможет конструктору предупредить возникновения целого ряда затруднений.

Важнейшими задачами динамики машин являются задачи определения функций движения звеньев машин с учетом сил и пар сил инерции звеньев, упругости их материалов, сил сопротивления, уравновешивания сил инерции, обеспечения устойчивости движения, регулирования хода машин.

Из большого числа вопросов динамики следует в первую очередь выделить те из них, которые имеют отношение к быстроходности машин, к величине сил инерции, к моментам, вызывающим вибрацию машин, отдельных их деталей и оснований. Таким является обеспечение устойчивости движения за счет уравновешивания сил инерции звеньев, так как под действием сил инерции звеньев в кинематических парах механизмов и машин возникают дополнительные динамические давления, которые могут вызвать значительные упругие колебания звеньев, а вместе с ними и колебание фундамента. При этом следует подчеркнуть, что силы инерции при вибрации часто достигают больших значений, угрожающих прочности деталей машин. Поэтому при расчете запаса прочности деталей машин следует учитывать не только давление вращающегося тела, отвод тепла, усилия, вызываемые собственным весом и т.д., но и силы инерции. К динамическим воздействиям относится также удар, возникающий при резких изменениях скорости движущихся частей машины, главным образом из-за наличия зазоров в механизме. Резкое изменение усилий в крайних положениях движущегося механизма также носит характер удара.

Силы в механизмах можно разделить на две группы:

1.  силы внутренние уравновешенные;

2.  силы внутренние неуравновешенные.

Так, например, давление на поршень двигателя осуществляется при помощи внутренней уравновешенной силы, которая не передается на другие элементы двигателя. В отличие от этого, например, вес какой-либо детали, так центробежная сила вращающегося коленчатого вала двигателя и т.д. передается на основание и проявляется в виде неуравновешенной силы. Во многих случаях при помощи использования соответствующих устройств механизма машины можно достигнуть такого уравновешивания свободных (неуравновешенных) проявлений тех или иных сил, чтобы последние не передавались на окружающую среду. Например, силы инерции кривошипно-шатунного механизма двигателя и их моменты можно уравновесить, если применить коленчатый вал с противовесами и т.д.

Условие равновесия действующих на машину внешних сил Pi и сил инерции (-mai) выражается этой формулой.

Это означает, что результирующее действие машин на окружающую среду равно равнодействующей силе инерции всех движущихся материальных точек внутри машины.

Уравнение масс звеньев механизмов и динамических нагрузок в кинематических парах.

Как известно, при движении звеньев механизма в кинематических парах возникают динамические нагрузки от сил инерции звеньев. При этом и стойка тоже испытывает вполне определенную нагрузку, которая передается на фундамент. Динамическая нагрузка, возникающая при движении механизма, является источником дополнительных сил трения в кинематических парах, вибрации в звеньях и фундаменте. Поэтому при проектировании машин часто ставится задача о рациональном подборе масс звеньев механизма, обеспечивающим полное или частичное погашение указанных динамических нагрузок. Эта задача носит название задачи об уравновешивании масс звеньев механизмов.

Задача уравновешивания сил инерции звеньев механизма может быть поделена на две части:

1)  уравновешивание динамической нагрузки на фундамент;

2)  уравновешивание сил инерции в кинематических парах.

3. Уравновешивание динамических нагрузок в кинематических парах.

Решение этой задачи заключается в распределении масс звеньев, при котором частично или полностью исключаются динамические нагрузки.

Уравновешиванию, например, подвергаются роторы электродвигателей, роторы гироскопов, быстровращающиеся части приводов шлифовальных

и прецизионных станков, коленчатые валы двигателей, барабаны, зубчатые колеса, маховики, шкивы и др.

В практике уравновешивания сил инерции вращающихся масс механизмов различают статические и динамические методы. Поэтому при проектировании машин главным образом приходится решать задачу статического и динамического уравновешивания вращающихся звеньев.

Вращающееся звено является статически уравновешенным (Pn =0), если ось вращения (х - х ) проходит через центр тяжести звена. В том случае, если сумма моментов всех сил инерции относительно главных осей равна нулю, то звено считается динамически уравновешенным (£МП = 0).

Пусть, например, звено с массой m вращается вокруг неподвижной оси х - х с угловой скоростью ю (рис. 21,а). Центр тяжести звена S находится на расстоянии r от оси вращения. При этом величина центробежной силы инерции, развиваемая массой m, определяется формулой:

 

в) Рис. 21