Автор работы: Пользователь скрыл имя, 14 Мая 2014 в 18:16, лекция
Процесс колебаний возникает в различных физических условиях и относится к различным объектам. Среди них в первую очередь нужно отметить материальные тела, совершающие механические движения, т. е. движения, изменяющие положение относительно друг друга (в том числе и колебательные движения). То есть можно выделить класс механических колебаний.
Существуют колебания и другой физической природы: электрические колебания, тепловые колебания. Но мы рас¬смотрим только механические.
Полигармонические колебания
Полигармонические колебания слагаются из нескольких гармонических колебаний. Если периоды всех слагаемых колебаний соизмеримы, то общее движение в конечном счете будет периодическим, если эти периоды несоизмеримы, то движение будет почти периодическим.
Каждая из отдельных слагающих гармонических колебаний называется гармоникой.
На рисунке 7, а изображены шесть гармонических колебаний, при сложении которых получается суммарное движение, характеризующее сложный процесс полигармонических колебаний (рисунок 7, б).
Совокупность частот всех гармоник, входящих в суммарное движение, называется спектром частот процесса. В зависимости от характера возбуждения спектр может быть дискретным, т. е. состоящим из одной или нескольких отдельных, расположенных в некотором интервале друг от друга частот (рисунки 8, а, б и 9, а, б), или непрерывным, т. е. сплошным, или полосовым (рисунок 10, а, б), при бесконечном числе гармоник.
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
Рисунок 10
Биения. Так называется явление, происходящее в результате сложения двух гармонических колебаний с близкими периодами. Если предположить, что амплитуды и начальные фазы этих колебаний одинаковы, а частоты ω1 и ω2 близки друг к другу, то получим
и движение приобретет вид синусоидального, но с частотой и амплитудой, меняющейся с частотой , или с периодом, равным , т. е. с большим периодом по сравнению с периодом основного движения (рисунок 11).
Шум. Колебания при бесконечном числе гармоник, т. е. при сплошном спектре частот, называются шумом. В обыденной жизни под шумом понимают ощущение, вызываемое такими колебаниями и передаваемое человеческому уху через колебания воздушной среды. В теории колебаний шум рассматривается как физический процесс передачи вибрации от источника через воздушную (или водяную) среду продольными волнами (либо через открытую среду, либо через трубопровод). Известны случаи разрушения частей самолета, вызванные звуковым излучением от двигателя.
При изучении звука пользуются такими понятиями, как «интенсивность» и «громкость». Первое характеризует энергию, проходящую со звуковой волной в единицу времени через единицу площади, а второе — силу звукового ощущения, оно связано с первым приближенным логарифмическим соотношением. За нулевой уровень отсчета интенсивности звука принимают интенсивность, близкую к порогу слышимости при частоте 1000 колебаний в секунду, и тогда по логарифмической шкале при десятикратном отношении интенсивности к нулевому уровню получают уровень интенсивности в децибелах, который определяет также относительное давление среды. Уровень громкости выражается в фонах.
В том случае, когда амплитуды всех гармоник шума одинаковы, колебания называются белым шумом.
Рисунок 12 Рисунок 13
Процесс колебаний нередко происходит таким образом, что амплитуда, частота, а также фаза периодически изменяются во времени, причем период изменения достаточно велик по сравнению с периодом процесса. Такие колебания называются модулированными. В частности, колебания могут происходить по закону
причем λ « ω, и тогда колебания имеют периодически изменяющуюся амплитуду. Колебания называются модулированными по амплитуде (рисунок 12). Кривая называется модулирующей, частота изменения ее ординаты — модулирующей, а частота ω — несущей частотой.
Если во времени частота ω, являясь периодической функцией с достаточно большим периодом, изменяется медленно, то колебания называются модулированными по частоте (рисунок 13).
Наконец, возможна модуляция по фазе, однако она неразрывно связана с модуляцией по частоте.
Затухающие колебания
Так называются свободные колебания, амплитуда которых от периода к периоду убывает, в результате чего в конечном счете происходит успокоение процесса. Затухающие колебания описываются формулой:
в которой F(t)—монотонно убывающая функция.
В частном и довольно распространенном случае , и тогда колебания имеют вид, изображенный на рисунке 14. Величина α называется показателем затухания.
При очень большом значении показателя затухания движение теряет колебательный характер.
Рисунок 14 Рисунок 15
Рисунок 16 Рисунок 17
Затухающие колебания не периодические, так как через один или несколько периодов точка не возвращается точно в прежнее положение.
Колебания с нарастающей амплитудой (или раскачивающиеся колебания) характеризуются формулой:
в которой G(t) — монотонно возрастающая функция, в частности, она может быть равна , и движение имеет вид, изображенный на рисунке 15.
Заметим, что знак перед показателем затухания — минус или плюс — соответствует устойчивости или неустойчивости движения, причем в первом случае это затухающие колебания, при которых система успокаивается, а во втором — раскачивающиеся колебания, при которых отклонения системы со временем становятся все больше и больше.
В машинах и механизмах детали, в частности рабочий орган, по характеру требуемого рабочего процесса совершают предписанные движения. Но происходят, кроме того, и колебательные движения, которые связаны не с рабочим процессом, а возникают сами собой из-за малых деформаций деталей. Детали реальных машин или звенья реальных механизмов — это физические тела, способные деформироваться под действием внешней нагрузки. Поэтому при движении машины или механизма из-за малого деформирования возникают колебания (или вибрация) отдельных точек, т. е. движения, дополнительные к основному, рабочему, движению машины, ее рабочего органа. Они в большинстве случаев вредны.
Для изучения колебаний той или иной детали или группы деталей необходимо, прежде всего, разобраться в ее возможных перемещениях, связанных с колебательным движением.
Общее количество возможных перемещений весьма велико. Однако не все перемещения существенны. Во многих случаях характер колебательных перемещений той или иной детали определяется небольшим количеством (одним, двумя, тремя и т. д.) возможных перемещений, которые играют подавляющую роль, тогда как другие несущественны. Поэтому можно рассмотреть только существенные перемещения колебаний, остальными же пренебречь. Например, в общем упругом перемещении сжатия конструкции, состоящей из массивного груза и пружины (рисунке 16), участвуют пружина, груз, а также стенка, в которую упирается пружина; пружина сжимается в продольном направлении, и у груза и стенки возникают местные перемещения от контакта с пружиной. Тем не менее, упругие перемещения удлинения и сокращения пружины играют главную роль, поэтому для описания модели конструкции принимают, что перемещения происходят только за счет растяжения сжатия пружины, а груз и стенка считаются абсолютно твердыми.
Па рисунке 17 изображена деталь, которая в средней части может претерпевать изгиб, кручение и растяжение; ее массивные части на концах также подвержены некоторым деформированиям. Для этой детали может существовать бесчисленное множество независимых деформаций, а следовательно, и перемещений, связанных с изменением формы детали. Однако если эта деталь работает в условиях, когда на ее концы действуют крутящие пары, плоскости которых перпендикулярны оси детали, то существенными деформациями окажутся кручения цилиндрических участков — вала и шейки, а остальные деформации будут несущественны. Перемещение сведется к повороту одной концевой части относительно другой вокруг оси детали на некоторый угол — угол закручивания. Схематически деталь можно изобразить в виде двух абсолютно жестких тел, между которыми имеется упругий элемент — вал, подвергающийся скручиванию.
Следовательно, чтобы выделить главное, следует считать, что одни его перемещения существенны, а другие несущественны, и последними пренебречь. Сознательно отбрасывая некоторые возможные перемещения, мы приходим к их конечному числу (иногда совсем малому).
Во всех случаях, когда колебания выполняют роль дополнительных движений, вызванные упругими перемещениями элементов отклонения можно считать малыми. Предположение о малости вполне соответствует таким перемещениям, которые получаются в результате деформирования обычных, малоподатливых элементов. Оно не применимо в тех случаях, когда возможны «большие» перемещения (как, например, качание маятника со значительным отклонением, движение поршня в цилиндре, изгиб гибких элементов). При математическом описании малых перемещений многие соотношения существенно упрощаются.
Для математического описания колебаний (или вибрации) необходимы сведения о закономерности деформирования различных элементов, подвергающихся действию нагружающих сил, причем элементы могут быть сделаны из самых разных материалов. Для одних материалов (например, металлов) зависимость перемещений от силы близка к линейной (т. е. пропорциональной), и перемещение исчезает после устранения силы. Для других материалов (пластмасса, резина) зависимость нелинейная, и после устранения силы перемещение обращается в нуль не полностью, а, кроме того, существует еще зависимость от скорости погружения. Такими же нелинейными свойствами нередко обладает и составная конструкция, хотя ее отдельные части выполнены из «линейного» материала.
Для очень широкого круга задач о колебаниях в объектах техники (машинах, сооружениях) существующие нелинейные зависимости часто приближенно заменяются линейными, что приводит к значительному упрощению при анализе. Но такая замена возможна лишь тогда, когда фактическая нелинейность не позволяет рассмотреть те или иные явления при линейной трактовке задачи.
Возможно и такое упрощение, при котором те или иные величины, характеризующие свойства элементов объекта, периодически изменяющиеся во времени, приближенно заменяют постоянными величинами, равными их средним значениям за период колебаний. Дело в том, что учет переменности усложняет схему объекта, его математическое описание, часто фактически не оказывая существенного влияния на результат.
Итак, получается упрощенный вариант механической колебательной системы, отражающей те свойства реальной машины, механизма или конструкции, которые существенны для той или иной поставленной цели; свойства, имеющие второстепенное значение, не учитываются. При необходимости можно получить более сложную механическую систему, построенную для того же самого реального объекта. Но и эту систему можно усложнить. Таким образом, механическая колебательная система не есть действительно существующая система, а есть результат некоторой абстракции, когда не учитывается ряд свойств реального объекта. Нее зависит от того, способна ли та или иная упрощенная система отразить искомые свойства объекта. Степень идеализации (или схематизации), которую можно принять, зависит от требуемой точности анализа объекта.
При построении механической модели и соответствующей механической системы, особенно при изучении реальных машин и конструкций, идеальные элементы в виде абсолютно твердых тел и идеально упругих пружин, а также и другие элементы, изображаемые идеальными геометрическими фигурами, во многих случаях лишь приближенно отражают действительные свойства объектов. От того, какие свойства будут отражены в системе, зависит «полнота» исследования. Искусство инженера-исследователя в том и включается, чтобы правильно выбрать степень идеализации в соответствии с тем результатом, который хочется получить. Критерием правильности идеализации, выбора модели и системы является опыт.
Для теоретического анализа прежде всего необходимо установить структуру системы, которая определяется ее конфигурацией, связностью отдельных элементов и числом степеней свободы.
Число степеней свободы — это число независимых величин (параметров), характеризующих положение системы. Это же число соответствует числу независимых возможных перемещений точек системы.
Рисунок 18 Рисунок 19
Приведем примеры. Возьмем плоскую фигуру (тело) А, которая присоединена к основанию звеном с шарнирами по концам (рисунок 18). Положение этой фигуры можно охарактеризовать углами α и β. Но это можно сделать с помощью других величин, а именно x и δ (при условии движения в первом квадранте), т. е. для определения положения тела требуются две величины, поэтому система имеет две степени свободы. Возьмем систему, состоящую из твердого тела В, расположенного на конце гибкой консоли. Другой конец консоли связан с телом С. Тело может вертикально перемещаться, и поджато пружиной (рисунок 19). Положение всей системы может быть охарактеризовано тремя обобщенными координатами: вертикальной координатой x1 тела В, угловой координатой φ этого тела и вертикальной координатой x2 тела С. Система имеет три степени свободы.
Приведенные примеры относятся к системам с конечным числом степеней свободы. В таких системах число тел, принимаемых за абсолютно твердые, всегда конечно и число элементов, их соединяющих (в частности, упругих), также конечно.
Для чего нужно знать и учитывать число степеней свободы? Это необходимо для анализа. От числа степеней свободы зависит большая или меньшая сложность расчета колебаний системы.
Для деформируемых объектов (балок, стержней, пластинок, оболочек и т. п.) с распределенной по длине, площади или объему массой нельзя указать число степеней свободы, ибо перемещения, связанные с деформацией, присутствуют м каждом элементе объема, площади или длины. Такие элементы имеют бесконечное число степеней свободы.
Колебания любого объекта (системы) всегда возникают мод действием тех или иных возбудителей. Возбудителями могут быть различные факторы. Например, кратковременный толчок или отклонение деформируемой системы от положения равновесия, действие периодически-прилагаемой внешней силы, возмущение, вызванное внезапным присоединением другой системы, действие непериодической силы, возмущение, связанное с периодическим изменением параметров системы.
Колебательные системы можно классифицировать по различным признакам. Так, различают следующие колебательные системы: с конечным и бесконечным числом степеней свободы, консервативные и неконсервативные системы, линейные и нелинейные системы, стационарные и нестационарные системы, автономные и неавтономные системы.