Колебания. Вибрация. Волны

Таким образом, понятия «линейность» и «нелинейность! связаны с характером движения.

В результате влияния свойств восстанавливающей силы, которая может зависеть от упругих перемещений как линейно, так и нелинейно, возникают физические последствия — различия в свойствах колеблющейся системы, в ее реакции на те или иные внешние воздействия. Эти различия могут быть значительными. И тогда понятия «линейная» i «нелинейная» с полным основанием можно отнести к само! механической системе, к характеристике ее физически) свойств, несмотря на то что эти понятия сами по себе отно сятся только к математическому признаку.

 

 

По этой причине в теории и практике колебаний под понятиями линейности и нелинейности подразумевают именно физические свойства и особенности системы — названия служат как бы паспортной характеристикой этих свойств.

В действительности строго линейных систем не существует. К линейным обычно причисляют системы, у которых либо характеристика восстанавливающей силы почти линейна, т. е. слабо отклоняется от линейной, либо их перемещения малы и не выходят далеко за пределы характеристики участка вблизи начальной точки, где она сохраняет поч- IH линейную форму. В таком случае физические свойства системы также слабо отклоняются от физических свойств линейной системы, которая служит ее идеалом. Это позволяет рассматривать реальную систему в качестве линейной, хотя она не в точности ей соответствует. Но это значительно упрощает расчеты.

11а рисунке 25 и 26 изображены два типа нелинейной характеристики восстанавливающей силы — зависимости силы от перемещения. У первой из них (см. рисунке25) с увеличением перемещения жесткость (отношение силы к перемещению) увеличивается — это так называемая жесткая характеристика. Вторая из них (см. рисунок 26), наоборот, соответствует уменьшению жесткости с увеличением перемещения— это так называемая мягкая характеристика. Обе характеристики дополняют основную группу характеристики, включающую и линейную, изображенную на рисунке 21.

Посмотрим, к каким последствиям может привести вве¬дение каждой из изображенных характеристик в описание поведения колебательной системы с одной степенью свободы н каковы, собственно, свойства и особенности нелинейных гнетем в отличие от линейных.

 

 

 

 

 

 

 

В случае свободных, незатухающих колебаний, как уже было указано ранее, спектр частот — дискретный, состоящий из одной собственной частоты. Эта частота определяется в зависимости от соотношения коэффициента жесткости пружины и массы колеблющегося тела, она равна . Для линейной системы величина с постоянна, поэтому независимо от степени отклонения колеблющейся массы, т. е. от амплитуды, частота свободных колебаний будет одна и та же (рисунке 27, а).

В случае же малых отклонений (см. рисунке 25) жесткость пружины определяется направлением касательной к кривой в начале координат. При больших отклонениях жесткость пружины увеличивается, принимая некоторое промежуточное значение между ее величиной при малых отклонениях и при максимальном отклонении. Не приводя здесь способа расчета промежуточного значения, но зная, что оно увеличивается с увеличением отклонения, можно предвидеть, что кривая зависимости между частотой и амплитудой будет «загибаться» вправо, как показано на рисунке 27, б.

С увеличением отклонения (см. рисунке 26) жесткость пружины будет определяться кривой, «отстающей» от касательной, т. е. от линейной зависимости, жесткость будет уменьшаться, и можно предвидеть, что кривая зависимости между частотой и амплитудой будет «загибаться» влево, как показано на рисунке 27, в.

Зависимость между и амплитудой А для вынужденных колебаний показана на графиках (рисунке 28).

На рисунке 28, а эта зависимость соответствует жесткой характеристике восстанавливающей силы, изображенной на рис. 27, б. На рис. 28, б показана зависимость между р!со0 и А при характеристике, соответствующей рис. 27, в, т. е. при мягкой характеристике. Кривые, обозначенные на рисунке 28 жирной линией, соответствуют системе без трения —

34

A

/

0 ^0

6)               (я так и не понял, что сюда нужно вставить)

f*'£uetr<£cceHr

пни либо простираются в бесконечность, либо доходят до нулевой частоты; кривые, изображенные тонкой линией, соответствуют системе с трением — они имеют ограничение на плоскости. Эти кривые называются амплитудно-частотными характеристиками нелинейной системы.

«Средние» кривые на графике (штриховые линии) — это «с келетные» кривые. Они отражают зависимость частоты от амплитуды и соответствуют кривым на рис. 27, бив. Заметим, что для амплитудной кривой линейной системы (см. рис. 22) скелетной кривой служит прямая — вертикаль р/ыц— 1, а кроме того, прямая на рис. 27, а.

Кривые на рис. 28 далеко не исчерпывают все случаи нелинейности. Дело в том, что характеристики восстанавливающей силы чрезвычайно разнообразны. Кривые перемещения — сила могут иметь самую замысловатую форму, например, могут быть составлены из прямолинейных участ¬ков (рис. 29) или могут характеризовать зазоры в соедине¬нии (рис. 30). Кроме того, кривые способны отражать такое

 

 

свойство присоединенного к колеблющемуся грузу податливого элемента, при котором форма кривой будет соответствовать различным направлениям деформирования (нагружение - разгружеиие). ' ho гиетере BIC (рис. 31).

Амплитудно-частотные характеристики в этих случаях более сложные.

Зависимость и iMeiiciiini амплитуды от изменения частоты при вынужденных нелинейных колебаниях имеет свои особенности Проследим возможный процесс такого изменения на графике частота амплитуда; он относится к системе с жесткой характеристикой и с трением (рисунке 32).

 

Рис. 33

Прежде всего обратим внимание па неоднозначность амплитуды - одному и тому же значению частоты может соответствовать не одно шачеине ими пи уды. Проведя вертикаль для одного значения час пи ы, можно получить пересечение с кривой амплитуд в одной, двух и трех точках. Далее, если частота р медленно во ipai i.n i, го точка на кривой движется вдоль кривой в наврав в ини, показанном стрелкой. Рост амплитуды А ограничивается при достижении предельной точки а, после чего нрош ходит срыв амплитуды вин I до ее малого значения ючки l> 11о если часто- Iу р уменьшиIв в направлении, например, от точки b влево, ю но до< гпжеипп значения амплитуды, определяемого ючкой с, произойдет срыв амплитуды вверх до значения, соотнситвующего точке, после чего точка на кривой будет влево и вниз. Таким образом, при движении по амплитудной кривой вправо, т. е. при увеличении частоты, и при движении влево, т. е. при снижении частоты, процессы изменения амплитуды А неодинаковы.

На риунке 33 изображено такое же положение для нелиней¬ной системы с мягкой характеристикой. Схема движения показана стрелками, поэтому дополнительного пояснения не требуется.

Типы внешних воздействий, возбуждающих колебания в системе.

Существуют два типа возбуждения колебаний от внешнего источника: а) силовое и б) кинематическое.

Силовое возбуждение возникает при непосредственном действии внешней силы, которое может быть периодическим, почти - периодическим, произвольным и случайным во времени, а также импульсным.

Периодическое воздействие может быть гармоническим, т. е. изменяющимся во времени по закону синуса, полигармоническим, т. е. состоять из нескольких гармоник, и представлять собой бесконечную совокупность гармоник, т. е. шум, характеризующийся сплошным спектром. Если число гармоник ограничено, но они имеют несоизмеримые периоды, то воздействие называется почти - периодическим.

Другой тип периодических воздействий — это периодически действующие импульсы (силы, кратковременно действующие через равные промежутки времени с перерывами), схема которых изображена на рисунке 34.

 

Наконец, колебания могут возбуждаться гм.mil, произвольно изменяющейся во времени.

При кинематическом возбуждении отдельным точкам системы сообщаются заданные перемещения, вторые могут изменяться во времени так же, как при перечисленных типах силового возбуждения.

Электрические аналоги механических колебаний.

Сейчас мы рассмотрим одно нажине свойство, присущее многим явлениям природы и играющее важную роль в процессе познания. Речь идет об аналогиях.

Многие отличные друг от Друга по еноей физической природе явления оказываются весьма схожими благодаря подобию связанных С НИМИ lipOIU'i 'ОН >ю сходство или подобие, являющееся одной и i иллюстраций единства природы в целом, приводит к тому, что два существенно различных между собой процесса при сопоставлении оказываются схожими в споем протекании во времени. При надлежащем подборе количественных значений участвующих в них физических величии они как бы воспроизводят друг друга. Если один из л их процессов на практике трудно осуществим, а другой легко в сходство или подобие их строго установлено, то достаточно изучить второй процесс.

В такого рода ситуациях применяется принцип построения аналогий.

В механике и вообще в физике существует множество аналогий. Они успешно используются при исследованиях.

Аналогия двух подобных процессов может быть проведена на основании характера изменения во времени величин, участвующих в том и другом процессе. Но в конечном счете она сводится к аналогии в математическом описании этих процессов, ибо математическое описание дает простейшее и наиболее точное выражение явления или процесса, посколь¬ку оно отражает и количественное соотношение.

Таким образом, аналогия в определенных случаях устанавливает полную тождественность между уравнениями и формулами для одного и другого процесса.

К числу известных аналогий принадлежит, например, электромеханическая аналогия колебаний.

Нам придется использовать математический аппарат — дифференциальные уравнения. Менее подготовленному читателю можно не вникать в эти формулы — общая идея аналогии понятна и так. 

 

 

 

Наряду с механическими колебаниями существуют колебания в электрических цепях. Те и другие описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

 

На рис. 35, а изображена механическая колебательная система с одной степенью свободы (см. также рисунке 2). Дифференциальное уравнение колебаний этой системы, записанное для скорости v=x движения тела массой т, имеет вид

На рисунке 35, б изображена электрическая цепь, в которую последовательно включены индуктивность L, емкость С и сопротивление R. При подаче в цепь напряжения колебания тока i в цепи описываются дифференциальным уравнением:

Приведенное здесь математическое выражение аналогии рас¬считано на подготовленного читателя.

Электрической цепь

Механическая система, механические величины 1-я система аналогий, физические величины 2-м система аналогий, физические величины

 

Для другой электрической цепи (модель ее изображена на рисунке 35, в), в которой параллельно включены емкость С, индуктивность L и проводимость g и в которую подается , колебания напряжения и описываются дифференциальным уравнением:

 (24)

Две модели (см. рис. 35, б и в) представляют два различных аналога механической колебательной системы, изображенной на рисунке 35, а, а дифференциальные уравнения (23 и 24) выражают две различные системы аналогий дифференциального уравнения (22). Если взять, например, уравнение (23), то, приравняв значения I., R, С и т, k и 1/с в уравнении (22), сможем решить задачу для механических колебаний с помощью наблюден и и над электрической системой.

Описанные аналогии позволяют попять всю систему соответствия величин, относящихся к механической и электрическим системам. В качестве механических величин могут использоваться как декартовы, так и угловые координаты и скорости, т. е. обобщенные координаты и скорости, а также силы и пары, т. е. обобщенные силы.

На странице 40 приводится таблица электрических аналогов механических величин по двум системам аналогий.

Использование электрических моделей целесообразно, так как электрические цепи построить достаточно легко, в то время как механическую модель не всегда просто.

Нужно иметь в виду, что величины, относящиеся к различным моделям и являющиеся аналогами, имеют различные размерности. Тем не менее, приводя эти величины к тождественному равенству в двух аналогах, можно оперировать с ними, устанавливая как электрические эквиваленты тех или иных механических величин, так и обратно — механические эквиваленты электрических величин. Для двух приведенных электромеханических аналогий эти эквиваленты будут различными.

Сделаем одно общее замечание.

Аналогия действует в тех рамках, которые определены точным сходством уравнений одного и другого процесса, в данном случае механического и электрического. В этом отношении любая из моделей-аналогов играет роль некоторого счетно-решающего устройства.

Электрическая модель, воспроизводя механическую модель — принятую механическую систему, повторяет ту самую идеализацию (или схематизацию), которая отражена в механической системе, и не больше.