Колебания. Вибрация. Волны

При отрицательном затухании фазовые траектории суть спирали, раскручивающиеся и удаляющиеся от нулевой точки, которая в этом случае называется неустойчивым фокусом (рисунок 44).

Наконец, существуют такие условия движения, при которых коэффициент упругости оказывается отрицательным.

 

В этом случае фазовая траектория называется седлом (рисунок 45).

Колебания, при которых изображающая точка перемещается вдоль фазовой траектории, приближаясь к нулевой точке фазовой плоскости, будут устойчивыми (см. рисунок 42, 43), в противном случае они будут неустойчивы (см. рисунок 44, 45).

Что касается колебаний, фазовые изображения которых имеют вид эллипсов с нулевой точкой типа центр (см. рисунок 41, а, б), то хотя они не имеют признаков неустойчивости и считаются теоретически устойчивыми, однако на практике эта устойчивость недостаточна. Малейшее возмущение, возникшее в процессе движения, вызовет увеличение амплитуды, которое в дальнейшем не будет снято. А для практики необходимо, чтобы возмущенная система всегда стремилась к невозмущенной, т. е. чтобы она была устойчива асимптотически.

 

Таким образом, изображение движения с помощью фазовых траекторий позволяет усмотреть такие качественные свойства системы, которые нельзя обнаружить на графике время — перемещение. В первую очередь устойчивость движения.

 

Автоколебания.

Автоколебания характеризуются как процессом их возникновения, так и особым процессом их поддержания. Для системы, способной совершать автоколебания, необходим внешний источник, подводящий энергию причем неколебательного типа. Этот источник собственно и обеспечивает поддержание автоколебаний. Вместе с тем способ подведения энергии к системе определяет характер колебаний.

Заметим, что по физической структуре и способу подведения энергии автоколебательные системы можно разделить на два типа. Первый тип сочетает в себе обычную колебательную систему, состоящую из массы и упругости (тело на пружине), и источник энергии с соответствующим регулирующим устройством, способным включать и выключать подвод энергии к системе. Второй тип характеризуется тем, что от источника энергия подводится к некоторому «накопителю», а переключатель осуществляет то подвод энергии к накопителю, то отвод энергии от него, в результате чего происходят периодические движения некоторого элемента вперед — назад.

Приведем примеры систем первого и второго типа.

На рисунке 46 показана схема автоколебательной системы первого типа. Она представляет собой соединение обыкновенной упругой колебательной системы, состоящей из тела А массой т и горизонтально расположенной пружины Б, имеющей коэффициент жесткости с, с бесконечной лентой В, движущейся с постоянной скоростью в одном направлении. Причем между телом А и лентой В действует сила трения, направленная в сторону, противоположную скорости относительного движения тела на ленте. Зависимость силы 

Рисунок 46

 

 

 

 

Рисунок 47

трения от относительной скорости изображена на рисунке 47. Кроме того, система может иметь демпфер, создающий трение, пропорциональное скорости тела А.

 

Проследим движение массы, увлекаемой лентой. Начиная от положения равновесия, при котором натяжение пружины будет равно нулю, а трение относительного покоя велико, тело А будет двигаться вместе с лентой вправо до тех пор, пока натяжение пружины, оттягивающее тело назад (влево), не достигнет значения, равного силе относительного покоя, и начнет превышать ее. После этого произойдет срыв — тело начнет двигаться влево, преодолевая силу трения при относительном движении, и, пройдя по инерции положение равновесия, продолжит движение до крайнего левого положения. Но здесь сжатая пружина начнет толкать тело с ускорением снова вправо, при этом в некоторый момент скорости массы и ленты станут равными друг другу и повторится процесс совместного движения до следующего срыва и т. д. При совместном движении е лентой тело движется равномерно, а после срыва оно движется как обыкновенная колебательная система по синусоидальному закону. В этом примере имеют место так называемые фрикционные автоколебания.

Приведем еще один пример системы, относящейся к первому типу,— электрический звонок (рисунок 48). Он состоит из электромагнита. А, питаемого от батареи или от электросети, и молоточка Б на гибкой пластине пружине, который при замыкании цепи притягивается к электромагниту и совершает удар о чашечку; но в этот момент происходит размыкание цепи и пружина оттягивает молоточек обратно, после чего цикл повторяется. В этом примере батарея или электросеть является источником энергии, а размыкающее устройство играет роль регулятора подачи энергии.

 

Периодическое включение тока позволяет системе получать энергию, благодаря которой поддерживается колебательный процесс, несмотря на потери на удар и трение.

Для обоих приведенных примеров характерно, что упругий элемент в системе сближает процесс автоколебаний с процессом колебаний упругих систем.

Приведем пример второго типа. Рассмотрим гидравлическую систему, состоящую из резервуара /, в который втекает вода от питающей трубы 2 ив которой имеется сифонная труба 3 (рисунок 49Г а). Когда вода в сосуде достигает уровня h2, сифон начинает действовать и быстро опорожняет сосуд до уровня hu после чего сифон прерывает действие, уровень воды в сосуде начинает повышаться и происходит повторение цикла. 

 

Этот процесс, представляющий собой периодические колебания уровня жидкости между уровнями hi и /г2, есть автоколебательный процесс, питаемый энергией, которая подводится извне через трубу 2 жидкостью, втекающей с постоянной скоростью. Сосуд служит накопителем, а опорожняющая труба 3 — элементом, регулирующим поступление энергии в накопитель и отвод энергии от него.

Рассмотрим колебательный процесс в данной системе.

В соответствии со схемой наполнения и опорожнения резервуара диаграмма движения, т. е. изменения высоты h уровня воды в резервуаре в функции времени, имеет периодический характер: период Т состоит из периода наполнения и периода опорожнения (рисунке 49, б). Как видим, этот процесс имеет характер скачкообразного движения, график его имеет пилообразный вид. Фазовое изображение процесса показано на рисунке 49, в.

Приведем еще один пример автоколебательной системы без упругого элемента. На рисунке 50, а, б, в, г, д схематически изображены различные положения поршня простейшего пневматического виброударного инструмента в течение одного цикла работы. В цилиндре 1 перемещается поршень 2, производящий удар по бойку 3. Движение обусловлено подачей сжатого воздуха в цилиндр через патрубок 4\ в нижней части цилиндра имеется выходное отверстие 5 для воздуха. В самом поршне имеется канал 6, идущий по оси поршня, с разветвлениями в стороны.

При вводе сжатого воздуха в патрубок 4 (см. рис. 50, б, положение после удара) поршень поднимается вверх под его действием на кольцевой заплечик поршня (см. рисунке 50, в)\ после прихода поршня в наивысшее положение благодаря сообщению через патрубок 4 с каналом 6 сжатый воздух попадает в верхнюю область цилиндра и начинает с большей силой давить на верхнюю поверхность поршня, и поршень быстро устремляется вниз (см. рисунке 50, г). В нижнем положении, когда удар поршня по бойку произведен, канал поршня соединяется с выходным отверстием 5 и сжатый воздух выходит в атмосферу (см. рисунке 50, д). После этого цикл повторяется.

Характер колебаний гидравлической и пневматической систем связан с одним накопителем энергии; периодическое движение состоит в обмене энергией между внешней средой и накопителем. При этом должен существовать некоторый клапан, при закрытом положении которого накапливается энергия, а при открытом — энергия отдается внешней среде. В гидравлической системе клапан срабатывает при определенном уровне перепада энергии, и опорожнение накопителя зачастую происходит достаточно быстро, и график имеет пилообразный вид. В пневматической системе срабатывание клапана соответствует моменту заполнения сжатым воздухом верхней полости цилиндра — этот процесс происходит более плавно, чем в гидравлической системе, однако график колебаний все же не такой плавный, как при системе с упругим элементом. Рассмотренные колебания систем второго типа называются релаксационными.

В последнем примере роль резервуара выполняет генератор сжатого воздуха, а его переменное действие обеспечивается соответствующими каналами подачи и выпуска воздуха.

Из сопоставления двух типов процессов можно сделать заключение, что если процесс, происходящий в системе первого типа, имеет нечто общее с процессом колебаний системы с упругим элементом, способным порождать восстанавливающую силу, то в системе второго типа процесс не имеет черт, свойственных колебаниям упругих систем. Движение систем второго типа имеет разрывной, скачкообразный характер, и поэтому колебания иногда называют разрывными.

В практике, однако, встречаются системы, в которых автоколебательный процесс имеет черты и первого и второго типа, так как соответствующее сложное устройство сочетает в себе упругий элемент и резервуар.

Чтобы понять процесс автоколебаний, необходимо рассмотреть соотношения энергии — поступающей в систему извне от источника и рассеиваемой. Одновременно проследим поведение системы, используя фазовое изображение ее СОСТОЯНИЙ.

 

При колебаниях упругой системы тело—пружина энергия движения в процессе торможения тела переходит в накапливаемую потенциальную энергию пружины. Но, кроме того, существует демпфирование, связанное с действием сил трения, которое с течением времени сводит процесс движения на нет. Движение автоколебательной системы необходимо поддерживать за счет поступления энергии извне. Весь вопрос в том, какова закономерность поступления этой энергии в сопоставлении с энергией демпфирования.

В автоколебательной системе первого типа, если она слегка демпфирована, энергия из кинетической в потенциальную переходит приблизительно так же, как в системе без демпфирования. Если в частном случае демпфирование связано с трением, пропорциональным скорости перемещения, то приращение энергии АЕ в демпфирования за один цикл выражается квадратичной зависимостью от амплитуды. В то же время приращение поступающей извне энергии АЕп от непериодического источника не зависит от амплитуды.

На рисунке 51, а изображены кривые и АЕп для того случая, когда приращение демпфирования при малых значениях амплитуды меньше приращения поступающей извне энергии. Тогда система начнет раскачиваться, и положение равновесия на фазовой плоскости будет представлять особый неустойчивый фокус (рисунок 51, б). Это будет продолжаться до тех пор, пока амплитуда колебаний не достигнет значения, при котором станет равным АЕп, как показано на рисунке 51, а. При соответствующем значении амплитуды Аа установится так называемый предельный цикл, за который не выйдет любая возможная фазовая траектория системы, раскачиваемая от начального неустойчивого фокуса, что видно на рисунке 51, а. Этот предельный цикл устойчивый.

Может случиться, что приращение поступающей извне энергии АЕп поначалу близко к нулю, при увеличении амплитуды резко возрастает, а демпфирование при этом происходит по тому же закону, что в предыдущем варианте. В таком случае имеются две точки ах и а2 пересечения кривых и (рисунок 52, а). В начальной (нулевой) точке автоколебания не могут возбуждаться, и при отклонении системы на величину, меньшую чем Аг, любая фазовая траектория будет стремиться к начальной точке (рисунок 52, б). И эта точка будет устойчивым фокусом. При достижении отклонения системы величины Л, — значения амплитуды, определяемой точкой alt наступает предельный цикл с амплитудой Аг, однако он неустойчив, поскольку внутренние фазовые траектории от него отходят вниз, а при отклонении, большем чем Ах, все фазовые траектории раскручиваются, уходя от него вверх; при отклонении, равном Аг, наступает устойчивый предельный цикл — фазовые траектории как снизу, так и сверху наматываются на него (рисунок 52, б). Попутно заметим, что при наличии нескольких предельных циклов устойчивые циклы всегда чередуются с неустойчивыми.

Итак, в первом случае автоколебания в системе в начальном положении способны сами по себе возбуждаться (мягкое возбуждение), а во втором случае они могут возбуждаться лишь при отклонении системы в область между значениями Ах и Л2 (жесткое возбуждение).

Фазовое изображение колебаний системы, склонной к самовозбуждению в положении равновесия, можно показать на примере фрикционного маятника (рисунок 53). Маятник качается относительно оси вала, который вращается

 

 

маятником и валом действует сухое трение, которое приводит к моменту трения, зависящего от относительной скорости между телами. Эта зависимость такая же, как на рисунок 47. И вообще, поведение данной системы весьма близко к поведению системы масса — пружина на ленте (см. рисунок 46). Не вдаваясь в сложный теоретический анализ, постараемся изобразить фазовый портрет этой системы (рисунок 54). Сила трения, очевидно, имеет наибольшее значение при относительном покое маятника и вала, но при отставании маятника от вращения вала она уменьшается, и это способствует нарастанию амплитуд колебаний. Действительно, в той половине цикла, где маятник движется, следуя за валом, где относительная скорость равна нулю, момент сил трения, способствующих качанию, больше момента сил трения, сопротивляющегося движению в другой половине цикла, где качание противоположно вращению. В этом неравенстве и заключена суть поддержания колебательного процесса.

Сделаем одно добавление: предположим, что на маятник пропорционально угловой скорости ф (ось у) его перемещения ф (ось х) действует момент демпфирующих сил.