Көпшілікке қызмет көрсету жүйесі

ЭЕМ – да есепті шешу таңдалған алгоритімнің талаптарына сәйкес дайындалады. Таңдалған математикалық әдістің негізінде алгоритм мен ЭЕМ-ның нақты тұрпатына арналған бағдарлама жасалады немесе қолданбалы бағдарламалардың дайын пакеті пайдаланылады. Бағдарлама сұрапталады және мәселенің шешімін бірінші рет алғанға дейін ЭЕМ-да іске асырылады.

Есепті шешу нәтижелерін ЭЕМ айнымалылардың сандық мәндері түрінде береді. Олар талданады және олардың негізінде модельдің осы экономикалық үдеріске сәйкестік дәрежесі жөнінде қорытынды шығарылады.

Шешімдерінің  мәндерін талдағанда есептің белгілі  шарттары сәйкес оңтайлы нұсқа алынғаннан ескеру қажет. Осы шарттар өзгерсе, онда оңтайлы шешім де өзгереді.

 

 

2. Арнайы бөлім

2.1 КӨПШІЛІККЕ ҚЫЗМЕТ КӨРСЕТУ МОДЕЛЬДЕРІ

Көпшілікке  қызмет көрсету теориясы (КҚКТ) - колданбалы математиканың тәжірибелік маңызы зор бөлімдерінің бірі. Практикада көпшілікке кызмет көрсету жүйесі (КҚКЖ) деп те аталады, олар көп қайталанатын біркелкі жағдайлар, мысалы, қызмет көрсету кәсіпорындарында; ақпарат қабылдау, өңдеу және жіберу жүйелерінде; автоматтандырылған өңдіріс желілерінде және т.б. өңдіріс, қызмет көрсету, басқару жүйелерінде өңдірістерді талдаумен айналысатын ғылым саласы.

Көпшілікке  қызмет көрсету теориясының негізін қалаған дат ғалымы - А.К. Эрланг. Біздің елде Кеңес ғалымы математик А.Я. Хинчиннің тәжірибелік еңбегінен кейін көпшілікке қызмет көрсету теориясы термині енді.

Көпшілікке қызмет көрсету теориясының мәні өтінімдер ағынының сипаты, қызмет көрсетілетін арналар саны, жекелеген арнаның өнімділігі мен тиімді қызмет көрсету арасындағы тәуелділікті осы өдерістерді барынша жақсы басқару жолдарын табу мақсатында анықтау болып табылады. КҚКТ мәселесі оңтайландыру сипатында болады және ең соңында оған қызмет көрсетуді күтудің, қызмет көрсетуге жұмсалған уақыт пен ресурстардың және қызмет көрсететін арналардың жұмыс істемеу шығынының барынша аз жиынтық сомасы қамтамасыз етілетін жүйенің нұсқасын аңықтау жөніндегі экономикалық аспект кіреді. КҚКТ-да біреулерге немесе бірдемеге қызмет көрсету қажет, бұлар «қызмет көрсетуге өтінім» (талап) деген ұғыммен белгіленеді, ал кызмет көрсету операцияларын біреу немесе бірдеме орындайды, олар қызмет көрсету арналары (тораптары) деп аталады. Қызмет көрсетуге сұраныс көптігіне карай өтінімдер ағын кұрайды, қызмет көрсету операцияларына дейін олар кіріс деп аталады. Ал қызмет көрсетудің басталуын күту қажет болса, яғни кезекте тұрғаннан кейін олар арналарда қызмет көрсету ағындарын құрайды, содан кейін өтінімдердің шығыс ағыны қалыптастырылады. Өтінімдердің тұтастай кіріс ағыны элементтерінің жиынтығы көпшілікке қызмет көрсетудің ең қарапайым бір арналы жүйесін - КҚКЖ кұрайды, оның құрылымдық моделі 8.1-суретте көрсетілген.

 

 

8.1сурет

 

Жүйе деп өзара байланысты және мақсатқа сай өзара іс-әрекет жасайтын бөліктердің жиынтығы аталады. Қызмет көрсетуге өтініш жүйеден кеткенде қызмет көрсету тәртіптемесі аяқталған болып саналады. Қызмет көрсету тәртіптемесін іске асыруға қажет уақыт аралығының ұзақтығы негізінен қызмет көрсету өтінімінің сұраныс сипатына, қызмет көрсететін жүйенің және қызмет көрсететін арнаның жай-күйіне байланысты болады. Мысалы, сатып алушының супермаркетте болу ұзақтығы бір жағынан, сатып алушының жеке қасиеттеріне, оның сұранысына, ол сатып алуға ұйғарған тауарлар түрлеріне, екінші жағынан - қызмет көрсетуді және қызметкерлердің қызмет көрсетуін сатып алушының супермаркетте болуын айтарлықтай қысқартып, қызмет көрсету қарқынын арттыруға мүмкіндік беретіндей ұйымдастыру түріне байланысты.

Мысалы, әмбебап  дүкенде бірыңғай есеп айырысу торабын енгізу сатып алушыға елеулі артықшылықтар береді. Мәселен, егер дәстүрлі есеп айырысу формасында бір сатып алушыға орташа 1,5 минут уақытта қызмет көрсетілсе, бірыңғай торап енгізілгеннен кейін - 67 секунд уақыт, оның 44 секунды секцияда сатып алынған затты ресімдеуге және 23 секунд дүкеннен шығарда сатып алынған зат үшін тікелей есеп айырысуға кетеді. Егер сатып алушы түрлі секцияларда бірнеше зат сатып алса, онда уақыт шығыны екі зат сатып алғанда 1,4 есеге, үш зат сатып алса - 1,9, ал бес затқа 2,9 есе қысқарады.

Қайсыбір қажеттілікті қанағаттандыруға берілген кез келген сұранысты өтініш деп атаймыз. Өтінішті қанағаттандыру дегенді қажетті қанағаттандыру деп түсінетін боламыз. Қызметті бір адам, адамдардың тобы немесе техникалық құрылғы (автоматтар) корсетеді. Өтінімдерге қызмет көрсетуді жүзеге асыратын құралдар жиынтығы қызмет көрсету арнасы деп аталады. КҚКЖ арна саны бойынша бір арналы және көп арналыға бөлінеді. Өтінімдер КҚКЖ-ге жүйелі түрде емес, өтініштердің кездейсоқ ағынын құрап кездейсоқ келіп түседі. Сондықтан КҚКЖ есептері математикалық тұрғыда зерттелуі керек. Кездейсоқ шаманы алдын ала білу мүмкін емес. Осы кездейсоқтық математикада марков немесе пуассон процесі болуы мүмкін.

КҚКЖ-нің алдағы кез келген жағдайының болу ықтималдығы өткеніне емес казіргі жағдайына байланысты болса, онда марков процесі болады. Мысалы, шахмат ойнының қарсы жүрісі осы қазіргі жүрісіне байланысты. Кездейсоқ жағдай марков процесі болуы үшін жағдайдың бір-біріне өтуі пуассонша болуы керек. Пуассон жағдайында оқиғалар ағыны бір-біріне байланыссыз және жеке дара болады. Мысалы, ленталы конвейердің қызметі пуассонды болмайды. Біз қарастыратын КҚКЖ марков жағдайында деп қабылдаймыз.

КҚКЖ екі негізгі түрге бөлінеді: қайтарысы бар және күтулері бар КҚКЖ. Күтулері бар КҚКЖ кезектің ұйымдастырылуына байланысты: кезегі шектелген және шектелмегенге бөлінеді.

Қайтарысы бар КҚКЖ-де өтінім жүйеге келіп түскенде, ол бос болмаса сол уақытта қайтарыс алады. Осы өтініш кызмет алу үшін жүйеге жаћа өтініш есебінде қайта келу керек. Мысалы ретінде телефон шалуды алуға болады. Қоңырау соққанда бос болмаса қайтарыс алады, егер міндетті түрде сөйлесу үшін қайта қоңырау шалу керек.

КҚКЖ-де бір арнаға п=1 интенсивтілігі λ болатын пуассон өтініш ағыны қосылған. Көп жағдайда интенсивтілік уақыт периодында өзгеріп тұруы мүмкін, сонда λ(t). Қызмет көрсету ағыны тоқтамай кызмет көрсетеді, сондықтан қызмет көрсету орташа уақыты Т_КЬІЗМ. болады да, ол екі көрші өтініштің уақыт интервалын көрсетеді. Қызмет көрсету ағынының өнімділігі µ интенсивтілігімен анықталады және мына формуламен есептеледі:

КҚКЖ жағдайы қызмет көрсетуден бос S₀ немесе бос емес Sі болуы мүмкін.

Оның ерекшеліктері: өтініштердіө кезекте күту уақыты Т_кез =0, өйткені мындай жүйелерде кезектің болуы мүмкін емес, олай болса  Lкез=0 және оның пайда болуы ықтималдығы Р_кез=0. к өтінімдер саны бойынша жүйенің жұмыс режимі, оның жай - күйі белгіленеді: егер к=0 болса, арналардың жұмысы кідіреді, 1<к<п болса, љтінімдерге кызмет кљрсетіледі, к>п болса, қызмет көрсетіледі немесе қайтарыс беріледі. Осындай КҚКЖ-дің көрсеткіштеріне қызмет көрсетуге кідіру ықтималдығы,   ықтималдығы, арналар кідіретін орташа уақыт, бос емес және арналардың орташа саны, қызмет көрсетілетін орташа уақыт, А абсолюттік откізу қабілеті жатады.

Күту шектелмеген КҚКЖ-де өтініш келіп түскенде жүйе бос болмаса, кезекке тұрады. Қызмет міндетті түрде көрсетіледі. Мысалы ретінде сауда орындарындағы кызмет көрсетуді айтуға болады. Мұнда қызмет көрсету ықтималдығы ⁼ 1, кезектің  ұзындығы және кезек күту уақыты шексіз болуы ықтимал. Мұндай жүйелерде мынадай жұмыс режимі болуы мүмкін: егер к=0 болса, арналар кідірісте, егер 1<к<п болса, өтінімдерге қызмет көрсетіледі, к>п болса, қызмет көрсетіледі және кезек болады. Осындай КҚКЖ тиімділігінің көрсет- кіштеріне кезектегі өтінімдердің орташа саны , к жүйесіндегі өтінімдердің орташа саны, Т_жкж жүйесінде отінімнің болатын орташа уақыты, А абсолюттік өткізу қабілеті жатады.

Кезектің  саны шектелген күту бар КҚКЖ-де өтініш келіп түскенде жүйе бос болмаса кезекке түру мүмкіндігі болса күтеді, болмаса қайтарыс алады. Мысалы ретінде автомобиль жөндеуші бекеттерді айтуға болады. Мұнда кезек күтушілер саны алаңның ауданына байланысты шектелген. Егер жүйедегі өтінім саны к=0, онда арналар бос, кідірісте, егер 1<к<n болса - өтініштерге қызмет көрсету, егер n<к<=n+m болса - қызмет көрсетіледі және кезек болады, к>п+т болса қызмет көрсетіледі, кезек болады және қызмет көрсетуге қайтарыс болады. Осындай КҚКЖ тиімділігінің көрсеткіштеріне: кызмет көрсетуге қайтарыс білдіру ықтималдығы Р_қарсы қызмет көрсету ықтималдығы Р_{қызм.көрс.ықтимал}, кезектегі өтінімдердің орташа саны L_кез, к жүйесіндегі өтінімдердің орташа саны L_жқж, Т_жқж жүйесінде болатын орташа уақыт, А абсолюттік өткізу қабілеті жатады.

Осы жүйе тұйық және ашық түрде болуы мүмкін. Мысалы цехтың ішіндегі станоктарды ағындық жөндеуден өткізу қызметі тұйық жүйеге жатады. Мұнда цехтың ішінде саны шектелген нақты станоктарға қызмет көрсетіледі.

Сонымен қатар  жүйе біртекті және көптекті болуы  мүмкін. Егер бір түрлі қайталанатын қызмет көрсетілсе, онда біртектіге жатады. Ал әр түрлі қызмет көрсетілсе, онда көптүрліге жатады. Бұл жағдайда әрқайсысына бөлек кезек болады.

Сөйтіп, КҚКЖ сипаттамаларының есептеу формуласын төмендегідей көрсетуге болады:

П - қызмет көрсетілетін арналар саны;

λ- өтініштердің кіріс ағынының интенсивтілігі;

µ - қызмет көрсету интенсивтілігі;

- қызмет көрсетілетін орташа уақыт;

- кезекте күту уақыты;

Т_ж- жүйеде болатын орташа уақыт;

L_кез - кезектегі орташа ұзақтық;

L_жө -жүйедегі өтініштердің орташа саны;

ρ - жүктеме интенсивтілігі;

α - жүктеме коэффициенті;

Ω - салыстырмалы өтімділік қабілеті;

А - абсолютті өтімділік қабілеті;

Р₀- жүйенің бос болу ықтималы;

Р_кез- кезектің болу ықтималдығы;

Р_{қайтарыс} - қызмет көрсетуде қайтарыстың ықтималдығы;

Р_{қызм.көр} - өтінішке қызмет көрсету ықтималдығы;

Т_бос - арнаның орташа кідіру уақыты;

П_{бос емес} -бос емес арналардың орташа саны;

П_бос - бос арналардың орташа саны;

К_ж - арналардың жүктемелерінің коэффициенті.

КҚКЖ тиімділігінің көрсеткіші ретінде уақыт бірлігінде қызмет көрсетілетін өтініштердің орташа саны; кезектегі өтініштердің орташа саны; қызмет көрсетуді күтудің орташа уақыты; күтпей қызмет көрсетуге қарсылық ықтималдығы; кезектегі өтініштер саны белгіленген мәнінен асып кету ықтималдығы және т.б.

Осы сипаттамаларды мынадай етіп топтауға болады:

1. Тиімді жұмыс істеу көрсеткіштері:

а) абсолютті өтімділік қабілеті;

ә) салыстырмалы өтімділік қабілеті;

б) жүйенің орташа бос болмау уақыты;

в) орташа қызмет көрсету уақыты.

2.         Қызмет көрсету сапасының көрсеткіштері:

а) орташа кезекте күту уақыты;

ә) орташа жүйеде болу уақыты;

б) кезекті күтпей қайтарыс алу ықтималдығы;

в) өтінім кезек күтпей қызмет алу ықтималдығы;

г) кезектегі күту уақытын реттеу заңдылығы;

ғ) өтінімнің  жүйеде болу уақытын реттеу заңдылығы;

д) кезектегі өтінімнің орташа саны;

е) жүйедегі өтінімнің орташа саны.

3.      КҚКЖ және тұтынушы өзара қызметінің тиімділігі:

а) уақыт бірлігіндегі орташа табыс, пайда, сапа.

Мысал қарастырайық.

1. ЖҚКЖ - қайтарысы бар бір арналы жүйе.

1-мысал. Анықтама бюросына телефон арқылы сөйлесуге өтініштердің қарқындылығы сағатына λ=90, ал телефон арқылы сөйлесу ұзақтығы ( =2 мин екені белгілі. Бір телефон нөмірі болғанда КҚКЖ жұмысының тиімділік көрсеткіштерін табыңыздар.

Қайтарысы бар КҚКЖ тиімділігінің көрсеткіштері ретінде төмендегілерді қарастырамыз:

Ω - салыстырмалы өткізу қабілетін немесе жүйе қызмет көрсететін келіп түскен өтінімдердің орташа үлесін;

А - КҚКЖ абсолюттік өткізу қабілетін немесе уақыт бірлігінде қызмет көрсетілетін өтінімдердің орташа санын;

Р_{бас.тарту} - қызмет көрсетуге қайтарыс беру ықтималдығын немесе жүйе қызмет көрсетпеген өтінімдер үлесін.

ІІІешуі. Қызмет көрсету қарқындылығын анықтаймыз:

,

Бұдан өтінім минутына немесе 1 сағатга 30 өтінім. Салыстырмалы өткізу қабілеті:

яғни келіп  түскен өтінімдердің тек 25%-ы ғана қабылданады. Қызмет көрсетуге қайтарыс беру ықтималдығы:

 

 

яғни өтінімдердің 75%-ы орындалмайды.

КҚКЖ абсолюттік өткізу қабілеті немесе А уақыты бірлігінде қызмет көрсетілетін өтінімдердің орташа саны:

 

,

яғни сағатына орташа 22,5 өтінімге қызмет көрсетіледі.

 

2.2 Көп арналық қайтарысы бар КҚКЖ.

2-мысал. Оңтайлылық шарты ретінде әрбір 100 өтініштің кем дегенде 90 өтініші орташа қанағаттандырылады деп ұйғарып, телефон нөмірлерінің оңтайлы санын анықтауға болады.

Шешу. Арнаның жүктеме қарқындылығы р=λ,/µ=90/30=3 яғни t_{қызм.көрс} орташа телефон сөйлесу уақытында орташа 3 өтінім келіп түседі. Арналар санын бірте-бірте арттыра береміз: п=2, 3, 4,5,6,...

Шекті ықтималдықтар  саны мына формулалар бойынша анықталады:

Р₀= (1+р+р²/2!+...+ р^к/к!+...+ /п!

=ρР₀,              Р₂=Р₀*р²/2!,           Рз=Р₀*р³/3!,             Р_к= Р₀*р^к/к!,