Математические методы моделирования

Содержание

1.Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл…………………………………………………………………………..…..2     

  1.1 Задача, приводящая к понятию определенного интеграла………………2

  1.2 Понятие определенного интеграла…………………………………3

  1.3 Геометрический смысл определенного интеграла…………………….....4

  1.4 Экономический смысл определенного интеграла…………………………..6

2.Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница………...7

   2.1 Свойство определённого интеграла…………………………………….…7

   2.2 Формула Ньютона-Лейбница………………………………………….......9

   2.3 Замена переменной  и формула интегрирования по  частям а определенном интеграле………………………………………………………...11

3. Геометрические приложения определённого интеграла…………………...14

   3.1 Вычисление площадей плоских фигур…………………………………...14

   3.2 Вычисление объёмов тел вращения………………………………………21

   3.3 Вычисление длины дуги плоской кривой………………………………..24

4. Несобственные интегралы…………………………………………………....26

5. Примеры и решение  задач……………………………………………………31

   5.1.Вычисление определенных интегралов по формуле

 Ньютона-Лейбница……………………………………………………………...31

   5.2 Замена переменной  в определенном интеграле………………………….35

   5.3 Метод интегрирования  по частям в определенном интеграле………….38

6. Геометрические приложения  определённого интеграла…………………...41

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

 

 

Задача о площади криволинейной трапеции.

 Пусть на отрезке [а, b] задана неотрицательная функция у=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у=f(x), прямыми х=а, х=b и осью абсцисс у = 0 (см. рис.1). Говорят также о площади S под 1 кривой у =f(x) на [а, b]

 

 

                        Рис. 2

Рис. 1

Рассмотрим  некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой у =f(x) на [а, b] (см. рис.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций и прямоугольников, и ее площадь S_л (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство . Это равенство оказывается тем 
более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади S_л под ломаной неограниченно приближении ломаной к заданной кривой.      

Понятие интегральной суммы. Пусть на [а, b] задана функция у =f(x). Разобьем отрезок [а, b] на п элементарных отрезков точками : На каждом отрезке [ ]   разбиения выберем некоторую точку и положим ∆ где i=1,2,…,n.   Сумму вида

                     ∆                                                (1)

Будем  называть   интегральной  суммой для функции у =f(x) на [а,b]. Очевидно,   что   интегральная сумма (1) зависит как от способа разбиения отрезка [а,b] точками   х₀ , …, , так и от выбора точек   каждом из отрезков разбиения

Геометрический  смысл  интегральной  суммы.   Пусть  функция y=f(x) неотрицательна     на    [a,b].     Отдельное      слагаемое      f( ) ∆

интегральной  суммы (1) в этом случае равно площади прямоугольника со сторонами f( ) и ∆ , где i=1, 2, …, п (см.рис.3.), где =∆ , ∆ и т.д.). Другими словами,

— это площадь под прямой y=f( ) на отрезке [ ]. Поэтому вся интегральная сумо (26.1) равна площади + +S₂+…+ S_n под ломаной, образованной на каждом из отрезков [ ] прямой y=f( ), параллельной оси абсцисс (см. рис.26.3), т.е.

∆

Рис. 3

1.2 Понятие определенного интеграла.

     Для избранного разбиения отрезка [а,b] на части обозначим  через   ∆ ,   максимальную   из длин отрезков  [ ], где i=1, 2, …, n.

Определение. Пусть предел интегральной суммы (1) при стремлении   max ∆х, к нулю существует, конечен и не зависит от

способа выбора точек х₁,х₂,… и точек , Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [а,b], обозначается а сама функция у=f(х) называется интегрируемой на отрезке [а,b], т.е.

При этом число а называется нижним пределом, число b — его верхним пределом; функция f(x) — подынтегральной функцией, выражение f(x)dx — подынтегральным выражением, а задача о нахождении — интегрированием функции f(x) на отрезке [а,b].

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена  обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (1).

Несмотря  на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как  представляет семейство функций, Г есть определенное число.

Во введенном  определении определенного интеграла

предполагается, что а<b. По определению положим

 (2)

Принимая  во внимание (2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний. 

Полагая в (2) b=а, получаем

или   т.е.

                                                  (3)

Также непосредственно  из определения вытекает следующая  формула (для любого действительного  числа С)

                                          (4)

1.3 Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [а,b],где а<b,

 численно  равен площади S под кривой y=f(x) на [а,b] (см. рис. 1). Действительно, при стремлении max к нулю ломаная (см. рис. 3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Используя геометрический смысл определенного интеграла, можно вычислить значения некоторых  интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур.

Например,

а) б) 1в)

 

 

 

 

 

 

а) Первый интеграл – это площадь квадрата со стороной единичной длины:

                         y

 

                           1                    y=1 

 

 

                           0              1                 x

                        Рис. 4

б) второй интеграл – это площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной

длины:

      у

3. y=x

 

  

0. 1

  

рис.5.

 

в) Третий интеграл – это площадь четверти круга  единичного радиуса:

 

  y

      1

                       1

3. x

 

 

 

Рис.6

Заметим, что  равенство (6) также согласовано с геометрическим смыслом определенного интеграла: в случае, когда отрезок интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.

 

 

1.4. Экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция  описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции V, произведенной за промежуток времени [О, Т ].

Если производительность не изменяется с течением времени — постоянная функция), то объем продукции , произведенной за некоторый промежуток, времени задается формулой В общем случае справедливо приближенное равенство , где , которое оказывается тем более точным, чем меньше .

Разобьем отрезок  [О,Т] на промежутки времени точками: Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени , имеем

, где  Тогда

 

При стремлении  ,   к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому.

Учитывая  определение определенного интеграла, окончательно

Получаем

т.е. если — производительность труда в момент t, то есть объем выпускаемой продукции за промежуток [О, Т].

Таким образом, величина U объема продукции, произведенной за промежуток времени [О, Т ], численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке [О, Т]

или

Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции). Теорема (Т.1): Если функция  y=f(x) непрерывна на отрезке [а,b], то она интегрируема на этом отрезке.

2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

 

2.1 Свойство определённого интеграла

 

На основании теоремы (Т.1) будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного  интеграла, которые имеют аналоги  в случае интеграла неопределенного.

1)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла,

т.е.

,                                                                 (1)

 

Доказательство. Пусть    разбиением отрезка [а;b] и выбор точек на каждом из отрезков. Используя распределительный знак умножения чисел, имеем

∆ ∆

Перейдем к пределу в левой  и правой части последнего равенства  при  ∆

По определению определенного  интеграла первый из пределов равен левой части равенства (1), последний – правой.

 

2) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

                                         (2)

Это свойство остается справедливым для любого числа слагаемых.

Доказательство свойства 2) аналогично свойству 1).

Перейдем теперь к свойствам  определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

 

3)Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a,b,c, c

                                                         (3)

 

4) Если на отрезке  , где , , то и

,                                                                         (4)

т.е. обе части  неравенства можно почтенно интегрировать.

Доказательство. Пусть  фиксированы разбиение отрезка  и выбор точек на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

Переходя к пределу  при  , получим (4).

Следствие (оценка интеграла):

       Пусть на отрезке , где , где m и M – некоторые числа. Тогда

                                                          (5)

Доказательство. По свойству 4) имеем 

Заметим, что по свойству 1) и геометрическому смыслу определенного интеграла

аналогично 

 

5) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , (где ), то найдется такое значение , что

                                                                      6)

Доказательство. По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного  значения x  из верно, что где m и M – наименьшее и наибольшее значение функции на . Тогда, согласно (5), имеем

 

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное  между её наименьшим и наибольшим значением. Поэтому, в частности, найдется такое число , что

 

Пусть на . Тогда теорема о среднем утверждает: найдется такая точка из отрезка , что площадь под кривой на равна площади прямоугольника со сторонами и (b-a) (cм. Рис.1 и геометрический смысл определенного интеграла).