Описание Mathcad

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Цепи Маркова………………………………………………………………3
1. Цепи Маркова с дискретным временем………………………………3
2. Цепи Маркова с непрерывным временем…………………………….5
3. Классификация состояний марковских цепей……………………….7
4. Области применения цепей Маркова…………………………………8
2. Описание Mathcad………………………………………………………...10
1. Краткие сведения……………………………………………………..10
2. Панели инструментов………………………………………………...11
3. Справочная информация……………………………………………  14
4. Ввод и редактирование формул. Элементы интерфейса редактора формул…………………………………………………………………15
5. Математические выражения и встроенные функции………………18
6. Переменные и оператор присваивания……………………………...20
7. Типы чисел…………………………………………………………….21
8. Графики. Типы графиков. Построение графика……………………24
9. Операторы……………………………………………………………..28

2.10Некоторые алгебраические преобразования……………………….31

2.11 Пример решения задачи  с помощью Mathcad……………………..35

 

Список использованных источников……………………………………36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.ЦЕПИ МАРКОВА.

1.1 ЦЕПИ МАРКОВА С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

Цепи Маркова широко используются в экономических исследованиях – в частности, при изучении систем массового обслуживания. Примерами процессов массового обслуживания могут служить, в частности: обслуживание покупателей в сфере розничной торговли, транспортное обслуживание, ремонт аппаратуры, машин и механизмов, находящихся в эксплуатации, обработка документов в системе управления и т.п. Главной особенностью процессов массового обслуживания является случайность (момент возникновения заявки на обслуживание и окончание обслуживания заявки часто непредсказуемы). 

В теоретическом плане цепи Маркова рассматриваются как частный вид случайных процессов. Функция  называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной величиной. Если в качестве t выступает время, то случайная функция описывает случайный процесс. 

Цепью Маркова называют последовательность испытаний, в каждом из которых появляется только одно из k несовместных событий   полной группы, причем, условная вероятность   того, что в s-м испытании наступит событие  , при условии, что в (s-1)–м испытании наступило событие  , не зависит от результатов предшествующих испытаний. 

Например, если последовательность испытаний образует цепь Маркова, и полная группа состоит из четырех несовместных событий  , причем, известно, что в шестом испытании появилось событие  , то условная вероятность того, что в седьмом испытании наступит событие  , не зависит от того, какие события появились в первом, втором, …пятом испытаниях. 

Пусть некоторая система в каждый момент времени находится в одном из k состояний. В отдельные моменты времени в результате испытания состояние системы изменяется, т.е. система переходит из одного состояния, например i, в другое, например j. После испытания система может остаться в том же состоянии (перейти из состояния   в состояние  ). 

Для цепей Маркова часто используется следующая терминология: события называют состояниями системы, а испытания – изменениями ее состояний. 

В связи с этим цепью Маркова можно назвать последовательность испытаний, в каждом из которых система принимает только одно из k состояний полной группы, причем, условная вероятность   того, что в s–м испытании система будет находиться в состоянии j, при условии, что после (s-1)–м испытания она находилась в состоянии i, не зависит от результатов предшествующих испытаний. 

Цепью Маркова с дискретным временем называют цепь, изменение состояний которой происходит в определенные фиксированные моменты времени. 
Конечная дискретная цепь определяется:

1. множеством состояний S = {s1, …, sn}, событием является переход из одного состояния в другое в результате случайного испытания

2. вектором начальных вероятностей (начальным распределением) p(0) = {p(0)(1),…, p(0)(n)}, определяющим вероятности p(0)(i) того, что в начальный момент времени t = 0 процесс находился в состоянии si

3. матрицей переходных вероятностей P = {pij}, характеризующей вероятность перехода процесса с текущим состоянием si в следующее состояние sj, при этом сумма вероятностей переходов из одного состояния равна 1:

∑j=1…n  pij = 1

Пример матрицы переходных вероятностей с множеством состояний S = {S1, …, S5}, вектором начальных вероятностей p(0) = {1, 0, 0, 0, 0}:

С помощью вектора начальных вероятностей и матрицы переходов можно вычислить стохастический вектор p(n) — вектор, составленный из вероятностей p(n)(i) того, что процесс окажется в состоянии i в момент времени n. Получить p(n) можно с помощью формулы:

p(n) = p(0)×P n

Векторы p(n) при росте n в некоторых случаях стабилизируются — сходятся к некоторому вероятностному вектору ρ, который можно назвать стационарным распределением цепи. Стационарность проявляется в том, что взяв p(0) = ρ, мы получим p(n) = ρ для любого n. 
Простейший критерий, который гарантирует сходимость к стационарному распределению, выглядит следующим образом: если все элементы матрицы переходных вероятностей P положительны, то при n, стремящемуся к бесконечности, вектор p(n) стремится к вектору ρ, являющемуся единственным решением системы вида  
p × P = p. 
Также можно показать, что если при каком-нибудь положительном значении n все элементы матрицы P n положительны, тогда вектор p(n)  все-равно будет стабилизироваться. 
Доказательство этих утверждений есть в [1] в подробном виде.

Марковская цепь изображается в виде графа переходов, вершины которого соответствуют состояниям цепи, а дуги — переходам между ними. Вес дуги (i, j), связывающей вершины si и sj будет равен вероятности pi(j) перехода из первого состояния во второе. Граф, соответствующий матрице, изображенной выше:

 
1.2 ЦЕПИ МАРКОВА С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ.

 

Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени. 

Время наступления событий часто предсказать заранее невозможно. Например, любая деталь устройства или агрегат могут выйти из строя в любой, непредсказуемый момент времени. Описание таких, и гораздо более сложных ситуаций возможно при использовании формализма непрерывных цепей Маркова. 

Пусть система характеризуется   состояниями  , и переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени. Обозначим через   вероятность того, что в момент времени   система будет находиться в состоянии  . Требуется определить для любого момента времени вероятности состояний  . При этом, очевидно, должно выполняться условие нормировки: 

 

Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей 
 рассматриваются плотности вероятностей перехода 
, представляющие собой предел отношения вероятности перехода системы за время   из состояния   в состояние  к величине  : 

 

где   – вероятность того, что система, пребывавшая в момент   в состоянии  , за время   перейдет из него в состояние  ; при этом всегда  . 

Если  , то процесс называется однородным, если же  , то – неоднородным. 

При рассмотрении непрерывных марковских процессов принято считать, что переходы системы происходят под влиянием некоторых потоков событий. 

Потоком событий называется последовательность событий, следующих одно за другим через какие-то случайные интервалы времени. Плотность вероятности перехода интерпретируется, как интенсивность   соответствующих потоков событий. Если все эти потоки пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, является марковским. 

Марковские процессы удобно иллюстрировать с помощью графа состояний (Рис. 1), где кружками обозначены состояния системы, а стрелками – возможные ее переходы. Задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т.е. стрелкой, направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным. 

 

Как правило, в графе состояний над стрелками проставляют соответствующие переходам интенсивности  . Такой граф называют размеченным.

 

1.3 КЛАССИФИКАЦИЯ СОСТОЯНИЙ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ.

При рассмотрении цепей Маркова нас может интересовать поведение системы на коротком отрезке времени. В таком случае абсолютные вероятности вычисляются с помощью формул из предыдущего раздела. Однако более важно изучить поведение системы на большом интервале времени, когда число переходов стремится к бесконечности. Далее вводятся определения состояний марковских цепей, которые необходимы для изучения поведения системы в долгосрочной перспективе. 
Марковские цепи классифицируются в зависимости от возможности перехода из одних состояний в другие.  
Группы состояний марковской цепи (подмножества вершин графа переходов), которым соответствуют тупиковые вершины диаграммы порядка графа переходов, называются эргодическими классами цепи. Если рассмотреть граф, изображенный выше, то видно, что в нем 1 эргодический класс M1 = {S5}, достижимый из компоненты сильной связности, соответствующей подмножеству вершин M2 = {S1, S2, S3, S4}. Состояния, которые находятся в эргодических классах, называются существенными, а остальные — несущественными(хотя такие названия плохо согласуются со здравым смыслом). Поглощающее состояние si является частным случаем эргодического класса. Тогда попав в такое состояние, процесс прекратится. Для Si будет верно pii = 1, т.е. в графе переходов из него будет исходить только одно ребро — петля.

Поглощающие марковские цепи используются в качестве временных моделей программ и вычислительных процессов. При моделировании программы состояния цепи отождествляются с блоками программы, а матрица переходных вероятностей определяет порядок переходов между блоками, зависящий от структуры программы и распределения исходных данных, значения которых влияют на развитие вычислительного процесса. В результате представления программы поглощающей цепью удается вычислить число обращений к блокам программы и время выполнения программы, оцениваемое средними значениями, дисперсиями и при необходимости — распределениями. Используя в дальнейшем эту статистику, можно оптимизировать код программы — применять низкоуровневые методы для ускорения критических частей программы. Подобный метод называется профилированием кода.

Например, в алгоритме Дейкстры присутствуют следующие состояния цепи:

• vertex (v), извлечение новой вершины из очереди с приоритетами, переход только в состояние b;

• begin (b), начало цикла перебора исходящих дуг для процедуры ослабления;

• analysis (a), анализ следующей дуги, возможен переход к a, d, или e;

• decrease (d), уменьшение оценки для некоторой вершины графа, переход к a;

• end €, завершение работы цикла, переход к следующей вершине.

Остается задать вероятности переходом между вершинами, и можно изучать продолжительности переходов между вершинами, вероятности попадания в различные состояния и другие средние характеристики процесса.

Аналогично, вычислительный процесс, который сводится к обращениям за ресурсами системы в порядке, определяемом программой, можно представить поглощающей марковской цепью, состояния которой соответствуют использованию ресурсов системы – процессора, памяти и периферийных устройств, переходные вероятности отображают порядок обращения к различным ресурсам. Благодаря этому вычислительный процесс представляется в форме, удобной для анализа его характеристик.

Цепь Маркова называется неприводимой, если любое состояние Sj может быть достигнуто из любого другого состояния Si за конечное число переходов. В этом случае все состояния цепи называются сообщающимися, а граф переходов является компонентой сильной связности. Процесс, порождаемый эргодической цепью, начавшись в некотором состоянии, никогда не завершается, а последовательно переходит из одного состояния в другое, попадая в различные состояния с разной частотой, зависящей от переходных вероятностей. Поэтому основная характеристика эргодической цепи –  
вероятности пребывания процесса в состояниях Sj, j = 1,…, n, доля времени, которую процесс проводит в каждом из состояний. Неприводимые цепи используются в качестве моделей надежности систем. Действительно, при отказе ресурса, который процесс использует очень часто, работоспособность всей системы окажется под угрозой. В таком случае дублирование такого критического ресурса может помочь избежать отказов. При этом состояния системы, различающиеся составом исправного и отказавшего оборудования, трактуются как состояния цепи, переходы между которыми связаны с отказами и восстановлением устройств и изменением связей между ними, проводимой для сохранения работоспособности системы. Оценки характеристик неприводимой цепи дают представление о надежности поведения системы в целом. Также такие цепи могут быть моделями взаимодействия устройств с задачами, поступающими на обработку.