Разработка комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

Решение. Поскольку векторы и не коллинеарны (их координаты не являются пропорциональными), то согласно (1), составим уравнение:

Преобразуем левую часть:

Таким образом общее уравнение искомой плоскости

     Задача  5. Составить уравнение плоскости P, проходящей через точки и параллельно вектору .

Решение. Векторы и неколлинеарны. Поэтому, согласно (1), уравнение плоскости имеет вид

 т. к. векторы и компланарны. Здесь Откуда получаем общее уравнение

Можно рассуждать при построении уравнения  также следующим образом. В качестве нормального вектора  плоскости P может быть взят вектор

Тогда уравнение плоскости согласно формуле (2) примет вид:

 или  _[3]

     Задача  6. Записать уравнение плоскости

1) «в  отрезках»;               2) в параметрическом виде

Решение. 1) Перепишем уравнение плоскости в виде откуда после деления на –2 получим искомое уравнение «в отрезках»: 

2) Из  полученного уравнения «в отрезках»  имеем: точки  и лежат в плоскости P. тогда в качестве двух неколлинеарных векторов и , параллельных плоскости P, можно взять и Тогда векторно-параметрическое уравнение плоскости примет вид откуда в координатной форме получим:

Это и  есть параметрическое уравнение  плоскости P.

     Задача  7. Привести к нормальному виду уравнение плоскости

Решение. Так как свободный член уравнения плоскости то нормирующий множитель 

Тогда нормальным уравнением будет  

Значит, а расстояние от начала координат до плоскости равно 3.

     Задача  8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки   A(1, 0, –1), B(1, 3, –4) и образующей угол с плоскостью

Решение. Не ограничивая общности. Будем искать уравнение плоскости в виде

Поскольку точки A(1, 0, –1) и B(1, 3, –4) лежат в искомой плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости. Значит имеем

откуда Подставим найденные значения D и B, выраженные через C, в уравнение плоскости: 

Следовательно, нормальный вектор .

Воспользуемся тем, что плоскость образует угол с плоскостью нормальный вектор которой . По формуле косинуса угла между плоскостями имеем:

откуда  или Находим C, преобразовывая последнее равенство:                

Имеем окончательно уравнение плоскостей:     _[1] 
 
 
 

4. Прямая  линия в пространстве

    Всякое  уравнение вида                                                      (50)

т.е. уравнение, в котором векторное произведение текущего радиуса-вектора на данный вектор (а 0) приравнено другому данному вектору, - если только оба данных вектора взаимно перпендикулярны, - изображает прямую линию, и, обратно, всякая прямая линия может быть представлена таким уравнением.

      Вектор а определяет направление прямой (50), вектор b перпендикулярен к плоскости, проходящей через данную прямую и полюс.

      Если  в уравнении (50) свободный член b = 0, прямая проходит через полюс.

      В частности, если постоянный множитель  векторного произведения есть единичный  вектор         ,      где n² = 1,     или      - N = 0,      (51)

то модуль свободного члена равен расстоянию (р) прямой от полюса   ,      а n есть орт прямой.

Уравнение (51) называется нормальным уравнением прямой.

     Чтобы привести общее уравнение прямой (50) к нормальному виду, достаточно перенести свободный член в левую  часть и разделить все члены  на а (модуль вектора а), отнеся в векторном произведении этот делитель к самому вектору а:                                         .                                 (50')

Расстояние  любой точки М (r₁) от прямой (51) вычисляется по формуле:

δ =                           (52)

или, если прямая дана общим уравнением (50), по формуле:

δ = ,              (52')

т.е. расстояние точки от прямой равно модулю левой части нормального уравнения прямой, в котором текущий радиус-вектор заменен радиусом-вектором данной точки.

      Если  прямая задана одной из своих точек А (r₁) и вектором а, ей параллельным, то уравнение прямой имеет вид:           (53)

или                                                  .                                        (53')

т.е. расстояние точки от прямой равно модулю левой  части нормального уравнения  прямой, в котором текущий радиус-вектор заменен радиусом-вектором данной точки.

      Если  прямая задана одной из своих точек А (r₁) и вектором а, ей параллельным, то уравнение прямой имеет вид:            (53)

или                                        .                                             (53')

      При тех же заданиях можно представить  прямую уравнением в параметрической форме:                                r = r₁ + λa.            (54)

      Если прямая задана двумя своими точками А (r₁) и В (r₂), уравнение ее будет:                          .                      (55)

Если  прямая определена двумя плоскостями, через нее проходящими:

                          (57)

то ее можно представить также и  одним уравнением:   .   (57)

      Так как в уравнение всякой прямой входит вектор, ей параллельный (направляющий вектор), то задача о вычислении угла между двумя данными прямыми  сводится к вычислению угла между  их направляющими векторами.

      Если  даны две параллельные прямые нормальными  уравнениями:

        и         ,

то расстояние между ними может быть вычислено  по формуле:

d = .                             (58)

    Если  даны любые две прямые:             и        ,      (59)

то кратчайшее расстояние между ними вычисляется  по формуле:

.           (60)

     Условие пересечения двух прямых (59) имеет  вид:   . (61)

     Если  прямые (59) пересекаются, то радиус-вектор точки их пересечения определяется следующим образом:                           r =                (62)

или                                                          .                                 (62') [5]

      Задача 1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника , и уравнение его диагонали . Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого прямоугольника.

     Решение. Сделаем схематический чертеж (Рис.6). Перепишем данные уравнения в виде: , , . Так как угловые коэффициенты прямых, задающих стороны прямоугольника, одинаковы , то эти уравнения задают параллельные прямые, то есть стороны, на них лежащие, противоположны. Найдем точки пересечения данной диагонали с этими сторонами. Пусть это будут точки и . Для этого приравняем сначала 1 и 3, а затем 2 и 3 уравнения:

      ; .

       Таким образом,  .

     Неизвестные стороны параллельны между собой  и перпендикулярны данным (так  как это прямоугольник).

     Замечание. Угловые коэффициенты перпендикулярных прямых и связаны соотношением .

     Таким образом, уравнения неизвестных  сторон прямоугольника таковы:

      . Подставив в первое уравнение  координаты точки  , во второе – точки , получим, что и, следовательно, , .

     Найдем  координаты точек  и , приравняв уравнения соответствующих сторон: , то есть ;

      , то есть  .

     Уравнение диагонали  получим как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

 или  . [6]

      Задача 2. Составить канонические уравнения прямой:

1) проходящей через точку параллельно вектору

2) проходящей  через две заданные точки  и

3) заданной  общими уравнениями

Решение. 1) Пусть – произвольная точка искомой прямой. Тогда т. е. их координаты пропорциональны. Т. к. то имеем соотношения: 

которые и представляют собой канонические уравнения прямой с заданными  свойствами на плоскости.

2) Пусть  – произвольная точка прямой. Тогда векторы и – коллинеарны, т. е. их координаты пропорциональны.

Т. к. то имеем:

Это и  есть искомый результат.

3) Для  перехода от общих уравнений  прямой L к каноническим обычно поступают следующим образом. Подбирают какую-либо точку фиксируя числовые значения одной из  координат и решая относительно нее систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Затем находят направляющий вектор прямой L как векторное произведение нормальных векторов плоскостей, задающих L. Проиллюстрируем на примере.

 – направляющий вектор  плоскости  , – нормальный вектор плоскости

Тогда вектор . Определим его координаты:

Для нахождения точки  зафиксируем одно из координатных значений, например, Тогда, подставив в заданные общие уравнения получим: или т. е. .

Таким образом, искомые канонические уравнения _[4]

Задача 3. Докажите, что прямые и параллельны, и найдите расстояние между ними, если они заданны параметрическими уравнениями:

 и 

Решение. Прямая имеет направляющий вектор , а – причем т. к. Значит,

Найдем  расстояние между ними, используя  формулу расстояния от точки до прямой. Тогда

где и – радиус-векторы точек и .

Значит,

Задача 4. Докажите, что прямые и пересекаются, и найдите координаты точки пересечения, если они заданны параметрическими уравнениями:

 и