Лекция по "Статистике"

где n — число уровней ряда.

    Средние товарные остатки за полугодие составят:

 

Пример 8.2.3 Известна численность работников предприятия на следующие даты:

    В данном случае мы имеем моментный  ряд динамики с разноотстоящими уровнями, поэтому средний уровень ряда рассчитаем по формуле средней хронологической для разноотстоящих уровней динамики, эта формула на подобии средней арифметической взвешенной:

    Среднесписочная численность работников составит:

 

Вопрос 3. Метод скользящей средней 

    Покажем применение скользящей средней на следующем  примере. Для примера 8.3.1 построим график зависимости (y) – урожайность зерновых центнер с гектара и (t) – время (год). Полученная ломанная по фактическим данным имеет по своей структуре значительные изгибы, изломы, впадины и не пригодна для анализов, применяют 3 метода «сглаживания» уровней ряда:

1. укрупнение интервалов
2. скользящая средняя
3. аналитическое выравнивание.

    Тренд – плавное и устойчивое изменение  уровня во времени.

    Вышеперечисленные методы позволяют выявить линию  тренда.

Пример 8.3.1. На основе данных об урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. проведем сглаживание ряда методом скользящей средней. 

Динамика  урожайности зерновых культур в хозяйстве за 1989–2003 гг. и расчет скользящих средних

    В этом примере графа 2 – урожайность 1, 2, 3-го годов: 19,5+23,4+25=67,9/3=22,6.

    Поскольку средняя, поэтому ставим в 90-й год. Строим по третьей колонке – трехлетнее скользящее среднее. 4-я колонка –  середины нет, центрируем интервалы, колонка 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Нужно дорисовать этот график, т.е. тут должно быть: аналитическое выравнивание, скользящая средняя, укрупнение интервалов. 

    1. Рассчитаем трехлетние скользящие суммы.

    Находим сумму урожайности за 1989–1991 гг.:

19,5 + 23,4 + 25,0 = 67,9

и записываем это значение в 1991 г. Затем из этой суммы вычитаем значение показателя за 1989 г. и прибавляем показатель за 1992 г.:

67,9 –  19,5 + 22,4 = 70,8

и это значение записываем в 1992 г. и т. д.

    

    2. Определим трехлетние скользящие средних по формуле простой средней арифметической:

    Полученное  значение записываем в 1990 г. Затем берем следующую трехлетнюю скользящую сумму и находим трехлетнюю скользящую среднюю: 70,8 : 3 = 23,6, полученное значение записываем в 1991 г. и т. д.

    Аналогичным образом рассчитываются четырехлетние  скользящие суммы. Их значения представлены в графе 4 таблицы данного примера.

    Четырехлетние скользящие средние определяются по формуле простой средней арифметической:

    Это значение будет отнесено между двумя  годами — 1990 и 1991 гг., т. е. в середине интервала сглаживания. Для того чтобы найти четырехлетние скользящие средние центрированные, необходимо найти среднюю из двух смежных скользящих средних:

    Эта средняя будет отнесена к 1991 г. Аналогичным образом рассчитываются остальные центрированные средние; их значения записываются в графу 6 таблицы данного примера

    Суть  метода скользящей средней состоит  в том, что вычисляется средний  уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем ¾ средний уровень из того же числа уровней, начиная со второго, далее ¾ начиная с третьего и т. д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

    Средняя из нечетного числа уровней относится к середине интервала. Если интервал сглаживания четный, то отнесение средней к определенному времени невозможно, она относится к середине между датами. Для того чтобы правильно отнести среднюю из четного числа уровней, применяется центрирование, т. е. нахождение средней из средней, которую относят уже к определенной дате. 

Вопрос 4. Метод аналитического выравнивания 

    Рассмотрим  применение метода аналитического выравнивания по прямой для выражения основной тенденции на примере.

    Пример 8.4.1. Исходные и расчетные данные определения параметров уравнения прямой:

    Год – Т, урожайность зерновых, ц/га – y.

    Расчет  необходимых значений дан в таблице  примера. По итоговым данным определяем параметры уравнения:

    А=T, 1=y

    

    (по 5-й колонке)

    Изломы  мы убрали случайности, сделали уравнение  для того, чтобы сделать прогноз  на другие года (экстраполяция).

    Уравнение прямой будет иметь вид, где t=8+восьмой уровень 

    1989-1993=19,5+23,4+25,0+22,4+25,5/5=23,16, средний 1991

    1994-1998=28,8+26,6+30,4+20,7+35,8/5=28,34, средний 1996

    1999-2003=36,0+25,6+32,5+35,0+27,2/5=31,26, средний 2001 

    Подставляя  в уравнение принятые обозначения  t, вычислим выровненные уровни ряда динамики (см. значения  в таблице).

    На  основе данных таблицы рассчитаем показатели колеблемости динамических рядов, которые  характеризуются средним квадратическим отклонением и коэффициентом вариации.

    Среднее квадратическое отклонение можно измерить по формуле:

    Используя данные нашего примера, рассчитаем показатель колеблемости урожайности зерновых культур за анализируемый период:

    Коэффициент вариации исчисляется по формуле:

    В нашем примере:

    Уравнение прямой при аналитическом выравнивании ряда динамики имеет следующий вид:

^{где ¾ выровненный (средний) уровень динамического ряда;}

a₀, a₁ ¾ параметры искомой прямой;

t ¾ условное обозначение времени.

    Способ  наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров a₀ и a₁:

где у ¾ исходный уровень ряда динамики;

n ¾ число членов ряда. 

    Система уравнений упрощается, если значения t подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю, т. е. начало времени перенести в середину рассматриваемого периода.

    ^{Если  то}

    Исследование  динамики социально-экономических  явлений и установление основной тенденции развития дают основание  для прогнозирования (экстраполяции) ¾ определения будущих размеров уровня экономического явления. Используют следующие методы экстраполяции:

■ средний абсолютный прирост;

■ средний темп роста;

■ экстраполяцию на основе выравнивания по какой-либо аналитической формуле. 

Вопрос 5. Расчет индекса  сезонности

    Покажем расчет индекса сезонности на примере.

Пример 8.5.1. Имеются следующие данные по строительной фирме об объеме выполненных работ по месяцам 2001–2003 гг. по сметной стоимости.

    Для получения   проведем осреднение уровней одноименных периодов по формуле простой средней арифметической, объем выполнения работ за три года по:

    январь  — 

    февраль — 

    …

    декабрь — 

    Осредненные значения уровней ряда  для каждого месяца годового цикла представлены в таблице данного примера.

    Далее по исчисленным месячным средним  уровням   определяем общий средний уровень

где n — число месяцев.

    Значение  общего среднего уровня можно вычислить  также по итоговым данным за отдельные годы:

где n — число лет;

 — сумма среднегодовых уровней  ряда динамики.

    В завершение определим индексы сезонности по месяцам года по формуле:

    январь  — 

    февраль — 

    Рассчитанные  индексы сезонности представлены в таблице примера.

    Следовательно, минимальный объем выполненных  работ строительная фирма имела  в январе, а максимальный — в  августе.

    Для ряда внутригодовой динамики, в которой  основная тенденция роста незначительна, изучение сезонности основано на методе постоянной средней, являющейся средней из всех рассматриваемых уровней. Самый простой способ заключается в следующем: для каждого года рассчитывается средний уровень, а затем с ним сопоставляется (в процентах) уровень каждого месяца.

    Однако  помесячные данные одного года из-за элемента случайности могут быть ненадежными для выявления закономерности колебаний. Поэтому на практике используются помесячные данные за ряд лет (обычно не менее трех лет). Тогда для каждого месяца рассчитывается средняя величина уровня за три года, затем определяются среднемесячный уровень для всего ряда и отношение средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда (в процентах). 
 

 
 

ТЕМА 9. Индексный метод

и его применение в  анализе социально-экономических  явлений 

• Вопрос 1. Понятие индексов. Их виды;
• Вопрос 2. Расчет сводного индекса;
• Вопрос 3. Расчет среднеарифметического индекса;
• Вопрос 4. Расчет среднегармонического индекса;
• Вопрос 5. Расчет индексов средних величин;