Расчет цепей

P=W/t. 

Соответственно  мощность, отдаваемая источником,

P_и= ЕI t/ t=EI 

Мощность потребителей

P=UIt/t=I²R=U²/R

Мощность  потерь энергии внутри источника

P_вт=U_BTI = I ²R_вт=U ²_вт/R_Bт. 

Единица мощности — ватт (Вт):

[Р]=1 Дж/1 с=1 Вт, 

Когда в цепи с сопротивлением R существует ток, электроны, перемещаясь под действием поля, сталкиваются с ионами кристаллической решетки проводника. При этом кинетическая энергия электронов передается ионам, что приводит к увеличению амплитуды колебательного движения ионов, и, следовательно, к нагреванию проводника. Количество теплоты, выделенной в проводнике Q=I²Rt.

Приведенная зависимость носит название закона Ленца — Джоуля: количество теплоты, выделяемой при прохождении тока в проводнике, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока.

Под номинальным понимают такой режим работы, при котором напряжение, ток и мощность в элементах электрической цепи соответствуют тем значениям, на которые они рассчитаны заводом-изготовителем. При этом гарантируются наилучшие условия работы (экономичность, долговечность и т. д.).

Кроме номинального режима работы источника существуют режимы короткого замыкания и холостого хода. Режимом короткого замыкания называют режим, при котором напряжение на внешних зажимах источника равно нулю. Режимом холостого хода источника называют режим, при котором ток в нем равен нулю.

Сложной называют электрическую цепь, не сводящуюся к последовательному и параллельному соединению потребителей.

В качестве примера  рассмотрим сложную цепь. Задача сводится к определению токов во всех ее ветвях, в нашем случае токов I₁, I₂ и I₃. Значения ЭДС и сопротивлений заданы.

Существует  несколько методов расчета сложных цепей.

Рис. 2.4. Схема сложной цепи.

Метод узловых  и контурных уравнений. Приведем методику решения задачи этим методом.

Направление токов выбирают произвольно. Если в  результате решения отдельные токи окажутся

a    f     e      отрицательными, то это будет означать, что в действительности они проходят в направлении, противоположном выбранному. Для определения трех неизвестных токов необходимо составить три независимых уравнения, связывающих эти токи. На основании первого закона Кирхгофа для узла с

I₁+ I₂ — I₃ = 0.

Уравнение для узла f имеет вид

I₃—I₂—I₁=0

т. е. оно совпадает  с предыдущим уравнением. Если сложная цепь имеет n узлов, то число уравнений, которые можно составить на основании первого закона Кирхгофа, на единицу меньше, т. е. n — 1.

Недостающие уравнения можно получить на основании второго закона Кирхгофа. Возьмем контур abcf и определим потенциал точки а относительно той же точки, совершив обход этого контура по часовой стрелке:

φ _A= φ_A+ E₁—I ₁R_вт1 –I ₁R₁+I ₂R₂—E₂+I ₂R_вт2   

Записываем формулу так, чтобы ЭДС оказались в левой части, а падения напряжения — в правой. Получаем уравнение, соответствующее второму закону Кирхгофа:

E₁ –E₂ = I_lR_BTl + I_lR_l –I₂R_bt2–I₂R₂. В общем виде

 

Таким образом, алгебраическая сумма ЭДС любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падения напряжений этого контура.

Если направление  обхода контура совпадает с направлением ЭДС и токов, то эти ЭДС и соответствующие падения напряжений берут со знаком плюс, в противном случае они будут отрицательными. Данное уравнение позволяет получить новое соотношение между неизвестными токами. Для контура fcde.

E₂=I ₂R_вт2+I ₂R₂+I ₃R₃

При составлении  уравнений по второму закону Кирхгофа контуры нужно выбирать так, чтобы каждый из них отличался хотя бы одной ветвью.

Метод контурных токов. Если сложная цепь содержит довольно много узлов и контуров, то ее расчет с помощью первого и второго законов Кирхгофа будет связан с решением большого числа уравнений. Вводя понятие о контурных токах, можно свести уравнения, составленные по законам Кирхгофа, к системе уравнений, составленных только для независимых контуров.

Под контурными токами понимают условные токи, замыкающиеся в соответствующих контурах.

Рассмотрим  схему цепи, представленную на рис. 2.5. Эта схема имеет два независимых контура I и II, в каждом из них проходят токи I_I и I_II. Направления этих токов выбирается произвольными, например, по часовой стрелке. Из рассмотрения схемы (рис. 2.5) видно, что реальные токи во внешних ветвях равны контурным: I₁=I_I; I_з=I_II. Ток во внутренней ветви равен разности контурных токов:

I₂= I_I — I_II. Для определения контурных токов составим два уравнения:

E₁–E₂=(R_вт1+R₁+R₂+R_вт2)I_I– (R₂+R_вт2)I_II

E₂=(R_вт2+R₂+R₃)I_II– (R₂+R_вт2)I_I

Метод узлового напряжения. Часто в сложной цепи имеется всего два узла, как, например, в схеме рис. 2.6. В этом случае расчет цепи значительно упрощается, так как достаточно определить так называемое узловое напряжение U_ab.

Рис. 2.5. Метод контурных       Рис. 2.6. Метод     узлового 
токов напряжения

После этого токи в ветвях находят следующим образом. Все токи в ветвях направляют к узлу, потенциал которого условно принимают более высоким. Узловое напряжение

U_ab=(E ₁g₁+E ₂g₂)/(g₁+g₂+g₃), 

где g₁, g₂, g₃ — проводимости соответствующих ветвей. Если ЭДС какого-нибудь источника, например Е₂, направлена к узлу b, то произведение E₂g₂ берется со знаком минус. Токи в ветвях определяются так:

I₁=(E₁–U_ab)g₁

I₂=(E₂–U_ab)g₂

I₃=–U_abg₃

 

2.2. ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ

 

На зажимах  цепи переменного тока действует напряжение u = U_m sin ωt. Так как цепь обладает только активным сопротивлением то, согласно закону Ома для участка цепи,

i=u/R=U_m sinωt

где I_m = U_m/R представляет собой выражение закона Ома для амплитудных значений. Разделив левую и правую части этого выражения на √2, получим закон Ома для действующих значений:

I=U/R. 

Сопоставляя выражения для мгновенных значений тока и напряжения, приходим к выводу, что токи и напряжения в цепи с активным сопротивлением совпадают по фазе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.7. Цепь с активным сопротивлением, временные и векторные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности для цепи с активным сопротивлением.

Мгновенная  мощность:

р = UI — UIcos 2ωt.

Средняя скорость расхода энергии или средняя (активная) мощность:

P=UI. 

Единицами активной мощности являются ватт (Вт), киловатт (кВт) и мегаватт (МВт): 1 кВт=10³ Вт; 1 МВт=10⁶ Вт.

 

 

 

ЦЕПЬ С ИНДУКТИВНОСТЬЮ

Под действием  синусоидального напряжения в цепи с индуктивной катушкой без ферромагнитного сердечника (рис.2.8) проходит синусоидальный ток i = I_m sinωt. В результате этого вокруг катушки возникает переменное магнитное поле и в катушке и наводится ЭДС самоиндукции. При R=0 напряжение источника  целиком  идет  на  уравновешивание  этой ЭДС.

 

2.8.Схема цепи переменного тока с индуктивностью(а), векторная и временные диаграммы напряжения, тока и ЭДС (б).

следовательно, u=  –e_L

u = U_m sin (ωt + π/2)

U_m=I_mωL 

Сопоставляя выражения для мгновенных значений тока и напряжения, приходим к выводу, что ток в цепи с индуктивностью отстает по фазе от напряжения на угол π/2. Физически это объясняется тем, что индуктивная катушка реализует инерцию электромагнитных процессов. Индуктивность катушки L является количественной мерой этой инерции.

I_m=U_m/X_L, которое является законом Ома для амплитудных значений.

где X_L—индуктивное сопротивление цепи.

Разделив левую и правую части этого выражения на √2, получим закон Ома для действующих значений:

I=U/X_L.

Рис.2.10. Временные      диаграммы напряжения,   тока   и   мгновенной мощности цепи   с   индуктивностью

X_L=2πfL. С увеличением частоты тока f индуктивное сопротивление X_L увеличивается (рис.2.9). Физически это объясняется тем, что возрастает скорость изменения тока, а следовательно, и ЭДС самоиндукции.

Рис.2.9.Зависимость индуктивного сопротивления X_L от частоты f

Мгновенное значение мощности определяется произведением мгновенных значений напряжения и тока:

p = UIsin 2ωt.

Из графика рис.2.10 видно, что при одинаковых знаках напряжения и тока мгновенная мощность положительна, а при разных знаках — отрицательна. Физически это означает, что в первую четверть периода переменного тока энергия источника преобразуется в энергию магнитного поля катушки. Во вторую четверть периода, когда ток убывает, катушка возвращает накопленную энергию источнику. В следующую четверть периода процесс передачи энергии источником повторяется и т. д.

Таким образом, в среднем катушка не потребляет энергии и, следовательно, активная мощность Р = 0.

Для количественной характеристики интенсивности обмена энергией между источником и катушкой служит реактивная мощность:

Q=UI. 

Единицей  реактивной  мощности является  вольт-ампер реактивный (вар).

 

ЦЕПЬ С АКТИВНЫМ СОПРОТИВЛЕНИЕМ И ИНДУКТИВНОСТЬЮ

 

Цепь (рис.2.11) состоит из участков, свойства которых известны. Проанализируем работу данной цепи. Пусть ток в цепи изменяется по закону

i= I_msin ωt

Тогда напряжение на активном сопротивлении u_R = U_Rm sinωt, так как на этом участке напряжение и ток совпадают по фазе. Напряжение на катушке u_L=U_Lm sin (ωt + π/2), поскольку на индуктивности напряжение опережает по фазе ток на угол π/2.

 

Рис.2.11. Схема цепи переменного тока с R и L

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.12. Векторная диаграмма для цепи с R и L

Сначала откладываем  вектор тока I,затем вектор напряжения U_R, совпадающий по фазе с вектором тока. Начало вектора U_L опережающего вектор тока на угол π/2, соединим с концом вектора U_R, для удобства их сложения. Суммарное напряжение u=U_m sin (ωt + φ) изображается вектором U, сдвинутым по фазе относительно вектора тока на угол φ. Векторы U_R, U_L и U образуют треугольник напряжений.

 

где — полное сопротивление цепи. Тогда выражение закона Ома примет вид I=U/Z.

Так как полное сопротивление  цепи Z определяется по теореме Пифагора, ему соответствует треугольник сопротивлений. Поскольку при последовательном соединении напряжения на участках прямо пропорциональны сопротивлениям, треугольник сопротивлений подобен треугольнику напряжений. Сдвиг фаз φ между током и напряжением определяется из треугольника сопротивлений:

tgφ = X_L/R; 

cos φ = R/Z. 

Рис. 2.13. Временные диаграммы напряжения, тока и мгновенной мощности для цепи с R и L

Для последовательной цепи условимся отсчитывать угол φ от вектора тока I. Поскольку вектор U сдвинут по фазе относительно вектора I на угол φ против часовой стрелки, этот угол имеет положительное значение.

Выведем энергетические соотношения для цепи с активным сопротивлением и индуктивностью.

Мгновенная  мощность выражается соотношениями

p = ui= UIcos φ-UIcos(2ωt+φ)

Мгновенное значение мощности колеблется около постоянного уровня UI cos φ, который характеризует среднюю мощность. Отрицательная часть графика определяет энергию, которая переходит от источника к индуктивной катушке и обратно.

Средняя, или  активная, мощность для данной цепи характеризует расход энергии на активном сопротивлении

P=UI cos φ. 

Реактивная  мощность характеризует интенсивность обмена энергией между индуктивной катушкой и источником:

Q = U_L I=UIsin φ. 

Полная мощность: 

 

Единицей  полной мощности является вольт-ампер (В-А).

ЦЕПЬ С ЕМКОСТЬЮ

 

Зададимся напряжением  на зажимах источника u = U_m sin ωt ,тогда ток в цепи также будет меняться по синусоидальному закону. Ток определяют по формуле i = dQ/dt. Количество электричества Q на обкладках конденсатора связано с напряжением на емкости и его емкостью: Q = Cu. Следовательно, i=U_mωCsin(ωt+π/2)