Математика рынка ценных бумаг

Министерство  образования Республики Беларусь

 

БелорусскиЙ государственный университет

информатики и радиоэлектроники

 

 

 

Факультет: Инженерно-экономический

 

Кафедра: Экономической информатики

 

Специальность: Информационные системы и технологии (в экономике)

 

Дисциплина: Математика рынка ценных бумаг

 

 

 

 

 

 

Типовой расчет

 

Вариант № 2

 

 

 

 

 

Выполнила

студентка  гр. 972302

Белая Т. Л.

         

 

 

 

 

 

 

 

Минск, 2013

 

1. Тема «Операции с  основными ценными бумагами»

 

1.Наращение  и дисконтирование. Кредитные  расчеты.

 

1.2. У вас просят в долг Р= 10 000 руб. и обещают возвращать по А = 2000 руб. в течение N=6 лет. У вас есть другой способ использования этих денег: положить их в банк под 7% годовых и каждый год снимать по А = 2000 руб. Какая финансовая операция будет более выгодна для вас? Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

 

Решение:

Если согласиться на первый вариант, то получим:

S=A*N=2000*6=12000 руб.

 

Рассчитаем второй вариант, где мы кладем в банк деньги под 7% годовых.

 

Учет  по  простой ставке  процентов.

Сумму процентов за весь срок будем искать по формуле:

^{= 0,07 * ( 8000 * 1 + 6000 * 1 + 4000 * 1 + 2000 * 1 + 0 * 1 –}

^{- 2000 * 1 ) = 1260 руб.}

, где Rj – остаток средств на счете в момент j после очередного поступления или списания средств; n_j – срок хранения денег (в годах) до нового изменения остатка средств на счете.

^{Итого на руках будет: S = 10000+1260 = 11260 руб.}

 

Учет  по  сложной  ставке  процентов.

S₁ = P₀ * (1 + i) = 10000 * (1+0,07) =10700 руб.

P₁=10700 – 2000 = 8700 руб.

S₂ = P₁ * (1 + i) = 8700 * (1+0,07) =9309 руб.

P₂=9309 – 2000 = 7309 руб.

S₃ = P₂ * (1 + i) = 7309 * (1+0,07) =7820 руб.

P₃=7820– 2000 = 5820 руб.

S₄ = P₃ * (1 + i) = 5820 * (1+0,07) =6228 руб.

P₄=6228– 2000 = 4228 руб.

S₅ = P₄ * (1 + i) = 4228 * (1+0,07) =4524 руб.

P₅=4524 – 2000 = 2524 руб.

S₆ = P₅ * (1 + i) = 2524 * (1+0,07) =2700 руб.

^{Итого на руках будет: S = 10000+2700 = 12700 руб.}

 

Ответ: выгоднее будет положить деньги в банк при расчете для сложной процентной ставки.

 

2.Потоки платежей. Ренты

 

2.8. Семья хочет через n лет купить дачу за $S. Какую сумму (одинаковую) ей нужно каждый год из этих n лет добавлять на свой счет в банке, чтобы накопить $S, если годовая ставка процента в банке i%?

Расчет провести для следующих данных: n=6 лет; S=$12000; i=8%. Расчеты провести для простой и сложной процентных ставок.

 

Решение:

 

Дано: S=12000

n=6

i=0,08

R-?

Простая процентная ставка:

^S=R*

 ^{= n(1+(i*(n-1)/2))=6*(1+(0.08*(6-1)/2)) = 7.2}

^{R = S / = 12000 / 7.2 = 1666.67 $}

Сложная процентная ставка:

S=R*((1+i)ⁿ-1)/i

R=S/((1+i)ⁿ-1)/i)

R=12000/((1.08⁶-1)/0.08)=1635.78 $ 

Ответ: 1666,67 $ по простой процентной ставке и 1635,78 $ по сложной процентной ставке.

 

3. Реальная  и Эффективная ставки. Анализ  облигаций.

 

3.2. Фирма приобрела пакет из 40 облигаций номинальной стоимостью 2 млн. руб. каждая по курсу  90%. Срок погашения – 4 года. Доход по облигациям выплачивается ежегодно по ставке 24% годовых и реинвестируется по ставке 33% годовых. Определите доход от облигации и доходность. Какая реальная ставка доходности, если годовой уровень инфляции 12%?

 

Решение:

 

Проценты , выплачиваемые  за год : R = 40 · 2 · 0,24  = 19,2 млн. р.

Найдем доход , полученный при размещении средств на счету . Для этого воспользуемся формулой :

  , где R – разовый рентный платеж , j – номинальная процентная ставка ренты , m и p число периодов начисления процентов и платежей в году , n – число лет .

       Находим :

R = 19,2   p = 1   n = 4   m = 1   j = 0.33

 

  ^{=(19.2((1+0.33/1)^(1*4) – 1))/((1+0.33/1)^(1/1) – 1)=123.87}

S=123.87

 

Доход организации составляет 123,87 млн. р.

Определим эффективную  ставку доходности из соотношения : 

S₁ = 123,87 + 40 · 2 = 203,87 млн.р. ; Р = 40 · 2 · 0,9 = 72 млн.р.

= ^{, доходность операции составляет 29,7% годовых}

     

Определим реальную ставку доходности .

Реальная ставка доходности :

Реальная ставка доходности – 15,8% годовых.

 

Ответ: 123,87 млн. р., 15,8%

 

2. Тема «Оптимальный портфель ценных бумаг»

С помощью компьютера найден оптимальный портфель Марковича для трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (7,10); (20,30); (40,50); нижняя граница доходности задана равной 14. Доли бумаг оказались равными 66, 21 и 13%, минимальный риск – 11,2, доходность оказалась равной заданной – 14,02. Проверить компьютерные расчеты.

 

Решение.

 

Найдем ожидаемую доходность:

=R₁X₁ + R₂X₂ + R₃X₃ =7·0,66 + 20·0,21 + 40·0,13 = 14.02.

Расчеты по ожидаемой  доходности оказались верными.

Найдем риск полученного портфеля.

Дисперсия: V_p = s₁²∙X₁² + s₂²∙X₂² + s₃²∙X₃² = 0,10² ·0,66² + 0,30²·0,21² + 0,50²·0,13² = 0,01255

Тогда риск будет: r = 11,2%

 

3. Тема «Оценка  стоимости вторичных ценных бумаг»

 

2. 7 Надписатель продал опцион на продажу акции с ценой исполнения 70 руб. Полученная им премия составила 10 руб. К моменту исполнения опциона курс акции на рынке — 55 руб. Определите, прибыль или убыток получил надписатель опциона.

 

Решение:

 

Так как надписатель  продал опцион пут, а к моменту  исполнения рыночная цена акции понизилась  S = 55 < K = 70, следовательно, продавец обязан купить у покупателя акции по цене 70 рублей. Тогда убыток продавца с учетом рыночной цены акции составит 70 – 55 – 10 = 5 рублей.

 

Ответ: надписатель получил убыток в размере 5 рублей.

 

2.11 б. Инвестор реализует опционную стратегию стрэдл на акции компании «А» с ценой исполнения 80 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 12 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двойного опциона составила 60 руб.

 

Решение:

Так как рыночная цена акции понизилась, то эффективным  будет опцион пут, доход по которому составит K – S = 80 – 60 = 20 рублей. С учетом премии, уплаченной продавцу, прибыль инвестора составит 20 – 12 = 8 рублей.

Следовательно, инвестор окажется в прибыле, величина которой составляет 8 рублей.

Ответ: прибыль 8 рублей.

 

Тесты

1. Покупка колл-опциона  используется для:

А. Игры на повышение.

2. Продажа пут-опциона  используется для:

Б. Игры на понижение.

3. Опцион на покупку — это опцион, дающий право:

А. Держателю опциона купить ценные бумаги.

4. Опцион на продажу  — это опцион, дающий право:

А. Держателю опциона  продать ценные бумаги.

5. Надписатель опциона  — это:

Б. Продавец опциона.

6. При покупке опциона  на продажу:

Г. Держатель опциона  играет на понижение, надписатель –  на повышение.

7. При покупке опциона  на покупку:

Б. Держатель опциона  играет на повышение, надписатель –  на понижение.

8. Фиксированная цена, по которой покупатель опциона  может реализовать свое право на продажу или покупку базисного актива, называется:

Г. Цена исполнения.

9. Опцион будет называться  опционом «в деньгах», если:

А и В – в зависимости  от формы опциона. Для колл-опциона (на покупку) — цена исполнения ниже текущей цены актива, для пут-опциона (на продажу) — цена исполнения выше текущей цены актива.

10. Опцион будет называться  опционом «без денег», если:

А и В – в зависимости  от формы опциона. Для колл-опциона — цена исполнения выше текущей цены актива, для пут-опциона (на продажу) — цена исполнения ниже текущей цены актива.

11. Доход держателя  опциона, который он получил  бы в случае немедленной реализации контракта, представляет собой:

^{А. Внутреннюю стоимость опциона.}

 

3.2. Задачи на  тему « Расчет справедливой  цены опционов»

 

в) по Формуле Кокса-Росса-Рубинштейна рассчитать цену опциона-колл  и фьючерса, а затем найти цену опциона-пут

 

вариант	N	r	d	S	K	u
2	2	0,1	-0,2	100	100	0,25

 

Решение.

Расчет стоимости  опционов на основе формулы Кокса-Росса-Рубинштейна.

 

Опцион-колл.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-колл за интервалов до даты истечения равна

.

Приведём её к стандартному виду. Пусть

.

Если  , то

,

Здесь K – цена исполнения, S – рыночная цена акции, N – число периодов, = (0,1 – (-0,2))/(0,2 – (-0,2)) = 0,75

  Определи k₀.

K=0: 100∙(1+0,2)⁰∙(1 – 0,2)² = 64 < K

k=1: 100∙(1+0,2)¹∙(1 – 0,2)¹ = 96 < K

k=2: 100∙(1+0,2)²∙(1 – 0,2)⁰ = 144 > K

Следовательно, k₀ = 2.

= (1/(1 + 0,1)²)∙0,75²∙((1+0,2)²∙100 – 100) = 20, 45 руб.

 

Опцион-пут.

В этом случае и поэтому справедливая цена опциона-пут равна

.

Рассматривая то же значение , что и для случая опциона-колл, получим

=

=  (1/(1 +  0,1)²)∙(0,25²∙(100 – (1-0,2)²∙100  ) + 2∙0,75∙0,25∙(100 – (1+0,2)∙(1 – 0,2)∙100)) = 3,099       

 

Фьючерсные и форвардные контракты.

В отличие от опционов, фьючерсные и форвардные контракты обязательны к исполнению и в них осуществляется только покупка. Поэтому для них . Поэтому, если есть та сумма, которая выплачивается в момент получения товара от продавца, то в качестве аванса должна выплачиваться сумма , равная

.

Но

С другой стороны  . Поэтому

Поэтому имеем

= 100 – 100/(1+0,1)² = 17,35 руб.

  Проверка F₀(S) = C₀(S) – Р₀(S) = 20,45 – 30,1 = 17,35 руб.

 

Ответ: цена опциона-колл — 20,45 руб. , цена опциона-пут— 3,099 руб., цена фьючерса — 17,35 руб..

 

 

4. Задание по  теме «Статистика фондового рынка и элементы технического анализа»

 

Из таблицы  приложения (результаты торгов акциями ЛУКойл НК) выберите необходимые исходные данные (25 строк) для выполнения контрольной работы.

Вариант 2

Начало периода	Конец периода
02.03.98	06.04.98

 

Таблица 4.1 - Результаты торгов акциями ЛУКойл НК

Дата	Цена открытия	MAX	MIN	Цена закрытия	Объем в рублях
02.03.1998	106,6	109,7	105,21	108,9	41600504
03.03.1998	108,98	110,1	106	107,1	35518930
04.03.1998	107,6	111,45	106,4	111,45	46323929
05.03.1998	109,05	110,6	108,2	109,85	25718120
06.03.1998	109,2	112	109,2	111,6	46114676
10.03.1998	110,5	113,9	109,5	113,15	57199461
11.03.1998	116	117,29	111	113,46	74066543
12.03.1998	111,6	112,8	111	111,83	23539915
13.03.1998	110,6	112,39	109,55	111,5	52295553
16.03.1998	110,95	111,6	109,76	109,8	41141206
17.03.1998	109,9	109,9	103,5	104,55	41403580
18.03.1998	100,2	103,5	100	100,39	42486085
19.03.1998	104,28	107	103,86	105,3	58345841
20.03.1998	106,5	107,65	105,1	105,85	66159906
23.03.1998	100,77	111,1	98,5	110,7	109238228
24.03.1998	112	114,15	110	110,01	79064667
25.03.1998	108,01	110,9	107,9	109	37245924
26.03.1998	110	110	106,3	106,99	61835090
27.03.1998	108,7	110,3	107,95	109,65	60320098
30.03.1998	109,3	109,3	107,65	108,02	21257481
31.03.1998	106,5	107,1	104,9	107,04	37662164
01.04.1998	106,15	106,35	103,5	105,85	52376138
02.04.1998	105,06	106,85	104	105,4	53687354
03.04.1998	104,16	105,6	102,2	103,32	54559603
06.04.1998	104,3	104,5	103,43	104,37	17980851