Системный анализ

Сложным моментом при структуризации экономических задач является пре-одоление содержательной стороны многокритериальности, когда лицу, прини-мающему решения, трудно остановиться на выборе одного критерия, по степени достижения которого можно судить о качестве решения, а отдельные критерии между собой противоречивы.

4.3. Построение оптимизационных моделей линейного программирования (простейшие экономические модели)

4.3.1. Общая характеристика

Линейное программирование относится к числу относительно простых и ши-роко распространенных методов исследования операций в экономике, используе-мых при решении производственных и коммерческих задач. Этот метод экономи-чески является одним из наиболее эффективных.

Разберемся с особенностями данного этапа системного анализа на примере крупного производственного предприятия с типовыми технологическими процес-сами, например, крупной нефтяной компании.

97

Важнейшие управленческие решения в этом случае связаны со следующими процессами:

• геологическая разведка с целью обнаружения нефтяных месторождений;

• добыча сырой нефти;

• обмен сырой нефти, добываемой фирмой, на нефтесырьё других нефтяных компаний;

• дополнительная закупка сырой нефти;

• доставка нефти на нефтеперегонные заводы;

• крекинг и ректификация с целью получения различных нефтепродуктов для смешения (промежуточных продуктов);

• получение многочисленных видов готовой продукции в результате соеди-нения промежуточных нефтепродуктов (в различных комбинациях и пропор-циях);

• доставка (транспортировка) готовой продукции к местам сбыта.

Допустим, что принимается решение смонтировать на нефтеперегонном за-воде дополнительную крекинг-установку. Это, естественно, отразится на произ-водственных показателях данного предприятия. По всей вероятности, это реше-ние затронет и все другие операции, перечисленные выше. Проектные показатели новой крекинг установки могут отразиться на требованиях, предъявляемых к неф-тесырью, повлиять на размещение источников сырой нефти, а также привести к пересмотру ассортимента выпускаемой нефтепродукции и к изменениям в сфере сбыта.

Аналогичным образом увеличение (в том или ином районе) спроса на бензин сопряжено с пересмотром мощностных показателей нефтеперегонных заводов, с необходимостью заключения контрактов по обмену нефтесырьем с другими неф-тяными компаниями и с определением районов, где следует сосредоточить основ-ные усилия по обнаружению нефтяных месторождений.

Качественно такая же картина может возникнуть применительно к фирмам по выращиванию лесомассивов (лес на корню) и производству лесоматериалов и др. ресурсов.

Несмотря на очевидные упрощения, мы имеем хорошую иллюстрацию про-блем, с которыми приходится сталкиваться фирмам при принятии решений, свя-занных с распределением ресурсов. Реальные ситуации, как правило, оказываются более сложными. Однако задачи именно такого рода успешно решаются многими крупными фирмами с помощью линейных оптимизационных моделей, или моде-лей линейного программирования.

4.3.2. Потенциальные возможности линейного программирования

Почему прежде всего преуспевающие компании прибегают к помощи сис-темного анализа и математики? Разве управленческого опыта, интуиции и знания дела недостаточно для принятия обоснованных решений? Руководящие работни-ки фирм, отвечающие за прибыльность предприятий, давно убедились в том, что успех дела в значительной степени определяется качеством комплексного и сис-темно-организованного планирования выполняемых фирмой операций. В то же

98

время на больших предприятиях одна только регистрация фактических данных, необходимых для анализа сложных проблем организационного управления, со-пряжена с огромными трудозатратами. Людские же ресурсы фирмы, которые можно было бы использовать для оценки экономической эффективности того или иного плана, ограничены.

Линейное программирование позволяет существенно повысить эффектив-ность аналитических возможностей управляющего фирмы и его аппарата. Однако важно помнить, что результаты такого анализа не подменяют опыт и интуицию руководителя. Они позволяют выявить четко определенные и исчерпывающие данные, необходимые руководителю для эффективного применения своих знаний.

4.3.3. Некоторые экономические задачи линейного программирования

Транспортная задача, задача распределения ресурсов, задача оптимального составления рациона и другие задачи, с постановкой и методами решения кото-рых студенты уже знакомы по дисциплине «Основы исследования операций».

Одновременно с желанием определить оптимальные значения для каждой неизвестной, у руководителя может возникнуть намерение выяснить, каким обра-зом отразится на полученной прибыли увеличение каждого из потребляемых ре-сурсов, совершенствование того или иного технологического процесса, изменение стоимости потребляемого сырья (и, следовательно, изменение прибыльности про-изводственно-технологических процессов) или использование в процессе произ-водства какого-либо другого ресурса, не являющегося дефицитным. При решении многих практических задач линейного программирования подобные вопросы ока-зываются иногда важнее оптимальных значений каждой из переменных. Методы такого рода анализа на чувствительность также изучаются в теории линейного программирования в курсе «Основы исследования операций».

99

ГЛАВА 5 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ

5.1. Теория многокритериальной оптимизации по Парето

Открытие и практическое применение линейного программирования было оценено мировой научной общественностью как одно из величайших достижений в области моделирования управленческих решений. За это достижение мирового значения американцу Т.Купмасу и советскому математику-экономисту Л.В.Канторовичу в 1975 г. была присуждена Нобелевская премия по экономике.

Однако, при всех безусловных и качественно новых, ранее недоступных воз-можностях исследований экономики с помощью линейного программирования оно обладает и рядом недостатков. Один из наиболее важных, часто оказываю-щий существенное влияние на системный анализ экономических процессов не-достаток заключается в том, что оценка качества управления осуществляется по численному значению одной целевой функции. На практике же эту оценку часто приходится проводить одновременно по нескольким показателям. Поясним на примерах.

Хорошо известно, что стремление к максимизации прибыли при многих сделках одновременно сопутствует возрастание риска при этом.

Для опытных менеджеров «золотой серединой» оказывается недобор прибы-ли по отношению к потенциально возможной при достаточно высокой надежно-сти при принятии решений в части избежать нежелательно рискованных потерь.

Другой хорошо известный пример: стремление к максимизации прибыли при минимальных затратах. Очевидно, что с системных позиций такие противоречи-вые устремления менеджера просто невозможны, так как прирост прибыли в про-цессе производства всегда связан с дополнительными производственными (пере-менными) издержками. Минимизировать издержки можно лишь ничего не произ-водя; тогда издержки минимальны, но и прибыль равна нулю. Можно, однако, по-ставить задачу производства заданного объема продукции при минимальных за-тратах. Это вполне реальная постановка, но получается однокритериальная задача (минимум затрат).

Итак, на содержательном уровне многокритериальная задача может оказаться противоречивой, т.е. не содержать решения. Но практика такие задачи действи-тельно выдвигает. Следовательно, математика должна искать разумные, адекват-ные практике, подходы.

Простейшая попытка – записать задачу по аналогии с однокритериальной:

()()()(()2.3.0;1.3max,max,max,21>==<→→→xbAxxfxfxfn… )

Здесь - желательные критерии оптимальности, ()()xfxfn…,1

0;>==<xbAx - совокупность в общем виде линейных ограничений,

x - вектор искомых переменных.

100

Все выражения в (3.1) мы устремляем к максимуму, опираясь на известное свойство о том, что если в реальном критерии имеет место стремление к миниму-му

(),1min,nsxqs≤≤→ то взятие обратного знака дает: ()max→x−qs

Посмотрим на самых простых примерах, к чему может привести постановка (3.1), (3.2). Возьмем одномерный случай и на рисунке изобразим возможные соче-тания для трех критериев, полагая, что все критерии устремлены к максимуму (рис.5.1).

Как мы видим из рисунка, математические схемы вполне соответствуют от-меченному выше содержательному смыслу: при одном и том же множестве огра-ничений Ax≤≤0 оптимальное значение по каждому из трёх критериев f1(x), f2(x), f3(x) будет разным, и это зависит от угла наклона соответствующих прямых f1(x), f2(x), f3(x). При возрастающей целевой функции максимум достигается на правой границе (а), при убывающей целевой функции максимум достигается на левой границе (б), если функция постоянна, то любое допустимое значение x обеспечивает максимум (и минимум) функционала.

Следовательно, многокритериальную задачу нужно решать, не добиваясь максимума или минимума для каждого функционала в отдельности, а построить «комплексную» целевую функцию, включающую частные функционалы: ()()()()(xfxfxfFxun,...,21= ), и для функции ()xu искать оптимальное значение xmax. В итоге, мы все равно сводим задачу к однокритериальной, хотя на содер-жательном уровне она будет отражать многокритериальные тенденции.

Различными авторами рассматривались способы выбора функций ()xu. Мы рассмотрим один способ, связанный с именем Парето. Преимущество данного способа, во-первых, в том, что он не «портит» структуру задачи линейного про-граммирования (функционал остается линейным); во-вторых, на формальном ()xuуровне хорошо отвечает многим содержательно ясным предпосылкам. Объем вы-числений при этом может существенно возрастать, но качественно решаемые до-полнительные задачи остаются однотипными, требуя лишь многократного приме-нения на ЭВМ одинакового программного обеспечения. Т.е. повышается только механическая трудоемкость решения задачи при неизменном ее качественном уровне.

101

Поставим задачу линейного программирования с k-й целевой функцией (lk,1=) в виде: )3.3(,1;0,1;max11=≥=≤→=ΣΣ==njxmibxaxcFjinjjijnjjkjk

После решения всех задач типа (3.3) будем иметь l оптимальных значений функционалов. Обозначим их через . lfff,...,21

Поставим следующую однокритериальную задачу максимизации по Парето и изучим ее свойства: )4.3(,1;0,1;max11111:условиях при=≥=≤→==ΣΣΣΣ====njxmibxaxcffFFjinjjijlknjjkjkklkkkkαα

где kα и , kflk,1= - соответственно весовые коэффициенты и нормирующие числа для частных критериев : kF

0 ,1где 1≥=Σ=klkkαα.

Весовые коэффициенты kα для частных критериев , как правило, задают-kFся лицом, принимающим решения, экспертным образом и отражают его взгляды на значимость каждого частного критерия.