Системный анализ

Другим видом реального моделирования является физическое, отличающееся __________от натурного тем, что исследование проводится на установках, которые сохраня-ют природу явлений и обладают физическим подобием. В процессе физического моделирования задаются некоторые характеристики внешней среды и исследуется поведение либо реального объекта, либо его модели при заданных или создавае-мых искусственно воздействиях внешней среды. Физическое моделирование мо-

26

жет протекать в реальном и модельном (псевдореальном) масштабах времени или рассматриваться без учета времени. В последнем случае изучению подлежат так называемые «замороженные» процессы, фиксируемые в некоторый момент вре-мени.

1.2.3. Принципы и подходы к построению математических моделей

Принципы определяют те общие требования, которым должна удовлетворять правильно построенная модель. При рассмотрении порознь каждый из них может показаться довольно очевидным. Но совокупность взятых вместе принципов и подходов далеко не тривиальна. Многие ошибки и неудачи в практике моделиро-вания являются прямым следствием нарушения этой методологии. Рассмотрим эти принципы.

1. Адекватность. Этот принцип предусматривает соответствие модели целям исследования по уровню сложности и организации, а также соответствие реаль-ной системе относительно выбранного множества свойств. До тех пор, пока не решен вопрос, правильно ли отображает модель исследуемую систему, ценность модели незначительна.

2. Соответствие модели решаемой задаче. Модель должна строиться для решения определенного класса задач или конкретной задачи исследования систе-мы. Попытки создания универсальной модели, нацеленной на решение большого числа разнообразных задач, приводят к такому усложнению, что она оказывается практически непригодной. Опыт показывает, что при решении каждой конкрет-ной задачи нужно иметь свою модель, отражающую те аспекты системы, которые являются наиболее важными в данной задаче. Этот принцип связан с принципом адекватности.

3. Упрощение при сохранении существенных свойств системы. Модель должна быть в некоторых отношениях проще прототипа - в этом смысл модели-рования. Чем сложнее рассматриваемая система, тем по возможности более уп-рощенным должно быть ее описание, умышленно утрирующее типичные и игно-рирующее менее существенные свойства. Этот принцип может быть назван прин-ципом абстрагирования от второстепенных деталей.

4. Соответствие между требуемой точностью результатов моделирования и сложностью модели. Модели по своей природе всегда носят приближенный ха-рактер. Возникает вопрос, каким должно быть это приближение. С одной сторо-ны, чтобы отразить все сколько-нибудь существенные свойства, модель необхо-димо детализировать. С другой стороны, строить модель, приближающуюся по сложности к реальной системе, очевидно, не имеет смысла. Она не должна быть настолько сложной, чтобы нахождение решения оказалось слишком затрудни-тельным. Компромисс между этими двумя требованиями достигается нередко пу-тем проб и ошибок. Практическими рекомендациями по уменьшению сложности моделей являются:

• изменение числа переменных, достигаемое либо исключением несущественных переменных, либо их объединением. Процесс преобразования модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений называют агрегированием.

27

• изменение природы переменных параметров. Переменные параметры рассмат-риваются в качестве постоянных, дискретные - в качестве непрерывных и т.д.

• изменение функциональной зависимости между переменными. Нелинейная за-висимость заменяется обычно линейной, дискретная функция распределения ве-роятностей - непрерывной;

• изменение ограничений (добавление, исключение или модификация). При сня-тии ограничений получается оптимистичное решение, при введении - пессими-стичное. Варьируя ограничениями, можно найти возможные граничные значения эффективности. Такой прием часто используется для нахождения предваритель-ных оценок эффективности решений на этапе постановки задач;

• ограничение точности модели. Точность результатов модели не может быть выше точности исходных данных.

5. Баланс погрешностей различных видов. В соответствии с принципом ба-ланса необходимо добиваться, например, баланса систематической погрешности моделирования за счет отклонения модели от оригинала и погрешности исходных данных, точности отдельных элементов модели, систематической погрешности моделирования и случайной погрешности при интерпретации и осреднении ре-зультатов.

6. Многовариантность реализаций элементов модели. Разнообразие реализа-ций одного и того же элемента, отличающихся по точности (а следовательно, и по сложности), обеспечивает регулирование соотношения «точность/сложность».

7. Блочное строение. При соблюдении принципа блочного строения облегча-ется разработка сложных моделей и появляется возможность использования на-копленного опыта и готовых блоков с минимальными связями между ними. Вы-деление блоков производится с учетом разделения модели по этапам и режимам функционирования системы.

В зависимости от конкретной ситуации возможны следующие подходы к по-строению моделей:

• непосредственный анализ функционирования системы;

• проведение ограниченного эксперимента на самой системе;

• использование аналога;

• анализ исходных данных.

Имеется целый ряд систем, которые допускают проведение непосредствен-ных исследований по выявлению существенных параметров и отношений между ними. Затем либо применяются известные математические модели, либо они мо-дифицируются, либо предлагается новая модель.

При проведении эксперимента выявляются значительная часть существен-ных параметров и их влияние на эффективность системы.

Если метод построения модели системы не ясен, но ее структура очевидна, то можно воспользоваться сходством с более простой системой, модель для которой существует.

К построению модели можно приступить на основе анализа исходных дан-ных, которые уже известны или могут быть получены. Анализ позволяет сформу-лировать гипотезу о структуре системы, которая затем апробируется.

28

Разработчики моделей находятся под действием двух взаимно противоречи-вых тенденций: стремления к полноте описания и стремления к получению тре-буемых результатов возможно более простыми средствами. Достижение компро-мисса ведется обычно по пути построения серии моделей, начинающихся с пре-дельно простых и восходящих до высокой сложности (существует известное пра-вило: начинай с простых моделей, а далее усложняй). Простые модели помогают глубже понять исследуемую проблему. Усложненные модели используются для анализа влияния различных факторов на результаты моделирования. Такой анализ позволяет исключать некоторые факторы из рассмотрения.

Сложные системы требуют разработки целой иерархии моделей, различаю-щихся уровнем отображаемых операций. Выделяют такие уровни, как вся систе-ма, подсистемы, управляющие объекты и др.

1.2.4. Этапы построения математической модели

Сущность построения математической модели состоит в том, что реальная система упрощается, схематизируется и описывается с помощью того или иного математического аппарата. Можно выделить следующие основные этапы по-строения моделей.

1. Содержательное описание моделируемого объекта. Объекты моделирова-ния описываются с позиций системного подхода. Исходя из цели исследования устанавливаются совокупность элементов, взаимосвязи между элементами, воз-можные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и соотношения между ними. Например, фиксируется, что если значение одного па-раметра возрастает, то значение другого - убывает и т.п. Вопросы, связанные с полнотой и единственностью набора характеристик, не рассматриваются. Естест-венно, в таком словесном описании возможны логические противоречия, неопре-деленности. Это исходная естественно-научная концепция исследуемого объекта. Такое предварительное, приближенное представление системы называют концеп-туальной моделью. Для того чтобы содержательное описание служило хорошей основой для последующей формализации, требуется обстоятельно изучить моде-лируемый объект. Нередко естественное стремление ускорить разработку модели уводит исследователя от данного этапа непосредственно к решению формальных вопросов. В результате построенная без достаточного содержательного базиса модель оказывается непригодной к использованию.

На этом этапе моделирования широко применяются качественные методы описания систем, знаковые и языковые модели.

2. Формализация операций. Формализация сводится в общих чертах к сле-дующему. На основе содержательного описания определяется исходное множест-во характеристик системы. Для выделения существенных характеристик необхо-дим хотя бы приближенный анализ каждой из них. При проведении анализа опи-раются на постановку задачи и понимание природы исследуемой системы. После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправ-ляемые параметры и производят символизацию. Затем определяется система ог-

29

раничений на значения управляемых параметров. Если ограничения не носят принципиальный характер, то ими пренебрегают.

Дальнейшие действия связаны с формированием целевой функции модели. В соответствии с известными положениями выбираются показатели исхода опера-ции и определяется примерный вид функции полезности на исходах. Если функ-ция полезности близка к пороговой (или монотонной), то оценка эффективности решений возможна непосредственно по показателям исхода операции. В этом случае необходимо выбрать способ свертки показателей (способ перехода от множества показателей к одному обобщенному показателю) и произвести саму свертку. По свертке показателей формируются критерий эффективности и целевая функция.

Если при качественном анализе вида функции полезности окажется, что ее нельзя считать пороговой (монотонной), прямая оценка эффективности решений через показатели исхода операции неправомочна. Необходимо определять функ-цию полезности и уже на ее основе вести формирование критерия эффективности и целевой функции.

В целом замена содержательного описания формальным - это итеративный процесс.

3. Проверка адекватности модели. Требование адекватности находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке мо-дели на адекватность. Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам:

• Все ли существенные параметры включены в модель?

• Нет ли в модели несущественных параметров?

• Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

• Правильно ли определены ограничения на значения пара метров?

Для проверки рекомендуется привлекать специалистов, которые не принима-ли участия в разработке модели. Они могут более объективно рассмотреть модель и заметить ее слабые стороны, чем ее разработчики. Такая предварительная про-верка модели позволяет выявить грубые ошибки. После этого приступают к реа-лизации модели и проведению исследований. Полученные результаты моделиро-вания подвергаются анализу на соответствие известным свойствам исследуемого объекта. Для установления соответствия создаваемой модели оригиналу исполь-зуются следующие пути:

• сравнение результатов моделирования с отдельными экспериментальными результатами, полученными при одинаковых условиях;

• использование других близких моделей;

• сопоставление структуры и функционирования модели с прототипом.

Главным путем проверки адекватности модели исследуемому объекту вы-ступает практика. Однако она требует накопления статистики, которая далеко не всегда бывает достаточной для получения надежных данных. Для многих моделей первые два пути приемлемы в меньшей степени. В этом случае остается один путь: заключение о подобии модели и прототипа делать на основе сопоставления их структур и реализуемых функций. Такие заключения не носят формального характера, поскольку основываются на опыте и интуиции исследователя.

30

По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.