Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

      §5 Методика реализации стохастической линии в 9 классе.

Основные задачи:

• На основе всех ранее полученных знаний показать их применение для статистического исследования
• Познакомить с такими понятиями как генеральная совокупность, репрезентативная выборка, выборочное обследование. Интервальный ряд.
• Познакомить с новым видом графического представления результатов статистического исследования – полигонами и гистограммами.

     В 9 классе рассматриваются статистические исследования, на примерах, близких жизненному опыту учащихся. Это – «Исследование качества знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?» и «Куда пойти работать?». 

Рассмотрим исследование качества знаний школьников, на примере изучения математической подготовки школьников. Предположим, что в одном из регионов решили выяснить уровень знаний девятиклассников по математике и составили контрольную работу из 6 заданий. Довольно сложно организовать во всех школах региона одновременное проведение, проверку и обработку полученных результатов. Но, как утверждает статистика, для получения вполне достоверной информации достаточно провести выборочное обследование, т.е. проверить лишь часть школьников.

Все девятиклассники региона будут представлять собой генеральную совокупность, о которой будем судить по репрезентативной (представительной) выборке. Обычно ограничиваются обследованием 5-10% всей изучаемой совокупности, при этом осуществляется случайный отбор, обеспечивая одинаковую вероятность попадания в выборку любого объекта генеральной совокупности.

Рассмотрим возможные результаты такого выборочного обследования по некоторому городу региона. Пусть в городе проживают 710 девятиклассников, из которых случайным образом было выбрано 50. против каждой фамилии выставили число верно решенных задач и получили следующий ряд:

4; 2; 0; 6; 2; 3; 4; 3; 3; 0; 1; 5; 2; 6; 4; 3; 3; 2; 3; 1; 3; 3; 2; 6; 2; 2; 4; 3; 3; 6; 4; 2; 0; 3; 3; 5; 2; 1; 4; 4; 3; 4; 5; 3; 2; 3; 1; 6; 2; 2.

На основании этого ряда трудно сделать какие-либо определенные выводы, и чтоб удобнее было анализировать информацию, в подобных случаях числовые данные ранжируют, располагая их в порядке возрастания. В результате ранжирования ряд примет такой вид:

0;0;0;  1;1;1;1;  2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;2;   3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3;3; 

4;4;4;4;4;4;4;4;  5;5;5;   6;6;6;6;6.    

Мы видим, что ряд разбился на 7 групп. Каждая группа представляет определенный результат эксперимента: не решено ни одной задачи, решена одна задача и т.д. По этому ряду мы можем подсчитать частоту для каждого результата эксперимента. Например, частота появления события «девятиклассник не решил ни одной задачи» равна 3. Относительная частота равна отношению его частоты к объему выборки, т.е. 3/50, или 6%.

Для наглядности, рассмотрим табличное и графическое представление результатов.

Число верно решенных задач	0	1	2	3	4	5	6
Частота	3	4	12	15	8	3	5
Относительная частота (в %)	6	8	24	30	16	6	10

Построим диаграмму:

Кроме диаграмм для графического представления результатов используют так называемые полигоны. Для их построения в системе координат отмечают точки, абсциссы которых – результаты случайного эксперимента, а ординаты – соответствующие им частоты. Для нашего случая полигон будет выглядеть следующим образом:

 

Так как мы полагаем, что выборка была репрезентативной, то на основании полученных результатов можно с достаточной уверенностью судить об уровне знаний всех девятиклассников города.

Например, в выборке 10% школьников решили все задачи. Значит можно ожидать, что и из 710 учеников примерно 10% справятся со всеми шестью заданиями. Это означает, что около 70 девятиклассников города обладают высоким уровнем математической подготовки.

Рассмотрим, какие еще выводы мы можем сделать на основе полученных данных. Считаем, что школьник, решивший не менее двух задач, достиг обязательного уровня знаний по математике. Судя по выборке таковых 12+15+8+3+5 = 43 человека, что составляет 86% от общего объема. Т.е мы можем предполагать, что 86% девятиклассников города имеют минимально необходимый уровень знаний.

Также мы можем найти основные статистические характеристики: моду – наиболее часто встречающийся результат (в нашем примере это результат «решены 3 задачи»), среднее арифметическое также равно 3, т.е. в среднем девятиклассник решает 3 задачи.

Чем же важны подобные исследования? Например, городское управление образованием могут интересовать средние результаты по школам, процент учеников, не справляющихся с программой. Высшие учебные заведения наверняка заинтересует количество учеников с высоким уровнем математической подготовки.

Преимущество обследования по репрезентативной выборке, в том, что не всегда выгодно проводить обследование всей генеральной совокупности, так как часто это бывает просто бессмысленно. Например, при проверке качества продукции, проверяя пропечен ли хлеб, годны ли консервы, абсолютно бессмысленно проверять всю продукцию, так как тогда придется вскрыть, а фактически испортить саму продукцию.

Рассматривая статистическое исследование вопроса «Удобна ли расположена школа?», сталкиваемся с тем, что имеем много различных значений, поэтому ранжирование не позволит нам выявить характерные черты ряда данных. В этом случае строят интервальные ряды, при построении которых можно по-разному разбивать их на промежутки. На основе полученных интервальных рядов строятся гистограммы.

Если позволяет время можно рассмотреть вопрос «Куда пойти работать?», в процессе рассмотрения которого вводятся такие понятия, как выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

 

 

Заключение.

В данной дипломной работе была сделана попытка проанализировать возможность реализации стохастической линии в основной школе. Была проанализирована различная учебно-методическая литература по этой теме и на основе этого анализа сделаны конкретные выводы, с краткими методическими рекомендациями.

На основе этих выводов разработана методика реализации стохастической линии в основной школе по каждому классу, в каждом из которых рассматривается ведение всех направлений.

Данная методическая разработка лишь один из вариантов реализации стохастической линии в курсе основной школы. По данной теме сейчас активно ведется работа по всем направлениям, так как на данный момент осталось еще не мало нерешенных проблем связанных с реализацией этой линии в основной школе.

Данная работа может быть рекомендована для практического использования студентами-практикантами математического факультета и учителям математики. Этот материал может использоваться как на уроках, так и на факультативных и кружковых занятиях.

 

 

Библиография.

1. Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. - 2004. - №31.
2. Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики // Математика в школе. – 2002. - №3.
3. Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9 кл.: пособие для общеобразовательных учебных заведений. – М.: Дрофа, 2002.  
4. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Методические указания к теме «Статистические исследования». / Математика в школе.- 2003.- №3
5. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях. – М.: Просвещение, 1979.
6. Глотов Н.В., Глотова О.В. Вероятность и статистика в школе: взгляд биолога // Математика в школе. – 2002. - №4.
7. Гольдфаин И.И. Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии.// Математика в школе. – 2003. - №3.
8. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. –М.,1964
9. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 5 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
10. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 кл.: учебник для общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
11. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. Программа для курсов повышения квалификации учителей [текст]/ Булычев В.А., Бунимович Е.А.// Математика в школе. – 2003.-№4.
12. Кордемский Б.А. Математика изучает случайности. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1975.
13. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: теория вероятностей. Учебное пособие для 9-11 кл. сред. шк.- М.: Просвещение, 1990.
14. Макарычев Ю.Н. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Под ред. С.А.Теляковского – М.: Просвещение. – 2003. 
15. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.  Изучаем элементы статистики. // Математика в школе. – 2004. – №5.
16. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.  Элементы комбинаторики. // Математика в школе. – 2004. – №6.
17. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.  Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. // Математика в школе. – 2004. – №7.
18. Математика: Учеб. Для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Просвещение, 2000.
19. Математика. 6 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, И.Г.Шарыгин, С.Б.Суворова и др.; Под ред. Г.В.Дорофеева, И.Г.Шарыгина. – М.: Дрофа, 1997.
20. Математика. Арифметика. Алгебра. Анализ данных. 7 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 1997.
21. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 8 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 1999.
22. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 класс: Учеб. для общеобразоват. учеб. заведений / Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С.Минаева; Под ред. Г.В.Дорофеева. – М.: Дрофа, 2000.
23. Мордкович А.Г, Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.
24. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. – М., 1975.
25. О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы / В.А.Болотов // Математика в школе – 2003. - №9.
26. Плоцки А. Вероятность в задачах для школьников: Книга для учащихся. – М.: Просвещение, 1996.
27. Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир,1980
28. Сборник нормативных документов. Математика / составители Э.Д.Днепров, А.Г. Аркадьев. – М.: Дрофа, 2004.
29. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.: Мир,1990
30. Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике. [текст] // Математика в школе. – 2003.- №4.
31. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений. [текст] // Математика в школе. – 2003. - №3
32. Студенецкая  В.Н., Фадеева О.М. Новое пособие по теории вероятностей для основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №7
33. Студенецкая  В.Н., Фадеева О.М. Статистика и теория вероятностей на пороге основной школы. // Математика в школе. - 2004. - №6.
34. Тарасов Л.В. Мир, построенный на вероятности: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение, 1984.
35. Ткачева М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других. // Математика в школе. – 2003. - №5
36. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова. – М.: Просвещение, 2004.
37. Ткачева М.В., Василькова Е.Н., Чуваева Т.В О готовности учащихся к изучению стохастики // Математика в школе. – 2003. - №9.
38. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы стохастики в курсе математики VII-IX классов основной школы.[текст] // Математика в школе. - 2003.-№3
39. Тюрин Ю.Н. Теория вероятностей и статистика [текст] / Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров, И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко – М.:МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.
40. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для VII – VIII классов средней школы / Математика в школе. – 2002. - №3.
41. Шихова А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе. – Киров, 1994.
42. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей в курсе математики основной школы / составитель В.И.Маркова. – Киров, 2004.