Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

Рассуждения, использованные в примере, показывают, что число перестановок для множества из 4 элементов равно 4!, точно также для множества, например, из 10 элементов число перестановок равно 10!, и вообще: число перестановок для множеств из п элементов равно п!.   

Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов.

У нас есть 7 городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7!.

Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений  с факториалами, чтоб учащиеся лучше овладели навыками работы с ними. Верно ли, что:

а) 10!=10*9!         б) 10!=2!*5!           в) 12!/11!=12?

2) найдите значения выражения  16! : 14! * 3!

В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?

Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4!-3!.

Имеется 9 различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать 6! способами.  В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6!*4!

 В теории вероятностей вновь обращаемся к экспериментам. Можно использовать результаты экспериментов проведенных ранее, и провести новые опыты. Результаты проведенных экспериментов будут нагляднее, если по данным таблицы зависимость частоты появления результата «острие вниз» от количества экспериментов представить графически. Ось абсцисс – число экспериментов, ось ординат – частота появления результата «острие вниз».

Зная относительную вероятность события (частотную) можно прогнозировать частоту его появления в будущем.

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0,012. В скольких случаях из 10 000 рождений можно ожидать появления близнецов?

Мы знаем частоту события «родится близнец» и знаем количество всех исходов, тогда пользуясь формулой, можем вычислить количество таких исходов из 10 000.  10 000*0,012=120. То есть мы можем предположить, что из 10 000 рождений, в 120 случаях родятся близнецы. Хотя это вовсе не обязательно так.

За лето на Черноморском побережье было 67 солнечных дней. Какова частота солнечных дней на побережье за лето? Частота пасмурных дней?

Мы знаем, сколько раз происходили события «солнечный день» и «пасмурный день», чтобы вычислить их частоту необходимо знать количество всех летних дней. Но мы без проблем можем это сделать, так как точно знаем, сколько дней в июне, июле и августе вместе взятых, 92 дня.

  В школьной лотерее распространили 400 билетов, из которых выигрышными являются 50.

а)  Какова вероятность выигрыша при покупке одного билета?

б) Сколько следует приобрести билетов, чтобы вероятность того, что хотя бы один билет выигрышный, была бы равна 100%?  

   

 

 

§4. Методика реализации стохастической линии в 8 классе.

Основные задачи:

• По статистическим данным, представленным в таблице необходимо уметь находить основные статистические характеристики.
• Познакомить с еще одной статистической характеристикой – медианой ряда, формирование умений по ее нахождению
• Рассмотрение равновероятных событий, и введение классического определения вероятности.
• Представление о геометрической вероятности

В 7 классе мы уже рассматривали примеры, в которых основные статистические характеристики находили по таблицам.

Рассмотрим таблицу №1, в которой содержатся оценки, полученные за последнюю контрольную работу учащимися 8 класса.

№	Фамилия	Оценка		№	Фамилия	оценка
1	Алексеев	4		8	Коковин	2
2	Антонова	5		9	Леонтьев	3
3	Борисов	3		10	Петрова	3
4	Владимиров	4		11	Николаев	3
5	Григорьева	2		12	Сергеев	5
6	Иванова	4		13	Тарасова	4
7	Ильин	4		14	Яковлев	5

По данной таблице вычисление статистических характеристик. Данная таблица позволяет нам найти некоторые статистические характеристики, но для их нахождения есть более удобный способ – составление таблицы частот.

То есть нужно подсчитать, сколько раз встречается каждая оценка в нашей таблице.

Оценка	Частота		Оценка	Частота
«2»	2		«4»	5
«3»	4		«5»	3

Таким образом, теперь будет легче вычислить статистические характеристики. Например, для того чтобы вычислить среднее арифметическое не нужно складывать все числа из столбца «оценка», а по полученной таблице частот нужно каждую оценку умножить на ее частоту и сложить все получившиеся произведения. Также сразу видно, что модой будет оценка «4», так как она встречается чаще остальных.  

В 8 классе вводится новая статистическая характеристика – медиана. Введем это понятие на примере: в таблице №1 показан расход электроэнергии в январе жильцами девяти квартир.

Таблица №1.

Номер квартиры	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Расход электроэнергии в кВт/ч.	85	64	78	93	72	91	72	75	82

Составим из полученных данных упорядоченный ряд:

64, 72, 75, 78, 82, 85, 91, 93.

В нем девять чисел. В середине ряда расположено число 78: слева от него записаны четыре числа и справа тоже четыре. Говорят, что число 78 является медианой.

Пусть к данным о расходе электроэнергии добавились данные для десятой квартиры: 10 квартира – 83 кВт/ч.

Получим новый упорядоченный ряд данных:

   64, 72, 75, 78, 82, 83, 85, 91, 93. Этот ряд  состоит из четного числа цифр  и имеет два числа расположенных  в середине – 78 и 82, тогда медианой  этого ряда будет среднее арифметическое  этих двух чисел – (78+82):2 = 80

Таким образом, медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если его упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел,  называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда. 

В таблице приведены расходы студента за 4 дня:

День	Понедельник	Вторник	Среда	Четверг
Расходы	18	25	24	25

Определить какая статистическая характеристика находится в каждом задании:

а) 18+25+24+25=92;                   

92:4=23; 

___=23 р.

б) 18, 24, 25, 25;

(24+25):2 = 24,5;

___=24,50.

в) 18, 25, 24, 25;

___=25 р.

г) 25-18=7; 

___=7 р.

Рассматриваем задачи, в которых требуется найти различные статистические данные (мода, размах, среднее арифметическое). В том числе и с использованием диаграмм.

Столбчатая диаграмма №1, показывает число книг, прочитанных каждым из ребят за летние каникулы. Ответьте на вопросы:

а) Кто из ребят прочел больше всех книг?

б) найдите размах этих данных.

в) Кто за летние каникулы не прочел ни одной книги?

г) Найдите среднее арифметическое этого ряда данных.

д) Найдите медиану этого ряда данных.

 

В предыдущих классах мы рассмотрели, как можно оценивать вероятность, исходя их статистических данных. Такая вероятность приближенно равна частоте наступления интересующего нас события при проведении большого числа одинаковых случайных экспериментов. Но частота дает лишь приближенное значение вероятности. И кроме того, не всегда реально осуществить такую серию экспериментов.

Существуют и другие способы вычисления вероятностей. Если все исходы случайного эксперимента равновероятны, тогда вероятности каждого такого исхода можно подсчитать, не проводя экспериментов. Примером является подбрасывание монеты. Этот эксперимент имеет два исхода – «орел» и «решка», и они равновероятны. Тогда можно сказать, что вероятность каждого из них равна ½, почти такой же результат получен и при проведении экспериментов. Аналогично для «правильного» кубика, все шесть исходов равновозможны, тогда вероятность каждого из них равна 1/6.

Какова вероятность того, что при бросании правильного кубика выпадет четное число очков?   

Мы знаем, что при бросании кубика возможны 6 равновероятных исходов. При этом только три из них приводят к наступлению события «выпадет четное число очков». Поэтому вероятность такого события равна 3/6 = 1/2.

Исходы наступления события, для которого вычисляем вероятность, будем называть благоприятными. И дадим такое определение вероятности:

Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где п – число всех возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А) = т/п.

Это классическое определение вероятности.

Из 25 экзаменационных билетов по геометрии ученик успел подготовить 11 первых и 8 последних билетов. Какова вероятность того, что на экзамене ему достанется билет, который он не подготовил?

Общее число равновозможных исходов при выборе билетов на экзамене равно 25. Пусть А – событие «учащемуся достался билет, к которому он не готов». Число таких исходов  равно 25-(11+8) = 6. значит Р(А) = 6/25 = 0,24.

Также рассмотрим задачи, в которых для подсчета числа благоприятных или всех исходов необходимо воспользоваться комбинаторными формулами.

На трехместную скамейку произвольным образом садятся двое мужчин и женщина. Какова вероятность того, что мужчины окажутся рядом?

Количество всех возможных исходов – это число перестановок трех элементов, а оно равно 3! = 6. Пусть А - событие «мужчины оказались рядом», количество благоприятных исходов для этого события равно четырем (когда оба сидят с одного края – 2 варианта и аналогично для другого тоже два варианта). Таким образом Р(А) = 4/6 = 2/3.

Кроме статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Рассмотрим следующий пример. На квадратном столе выделен черный квадратик. Как определить вероятность того, что фишка попадет в черный квадратик, если ее бросить на стол наугад. 

Эта вероятность равно отношению площади черного квадрата к площади поверхности стола. Если, например, площадь стола равна 0,6м², а площадь черного квадрата – 0,04 м², то Р = 0,04/0,6 = 1/15.

Стрелок, не целясь, стреляет в треугольную мишень (рис.1) и попадает.

Какова вероятность того, что он попадет в «тройку»?   «двойку»? «единицу»?   

Возьмем площадь одного треугольника за 1. они все равны между собой, поэтому площадь всего большого треугольника = 16. Вероятность того, что он попадет в «3» равна 1/16. вероятность попадания в «2», будет равна 6/16 (общая площадь треугольников с «2» будет равна 6), и вероятность попадания в «1» равна 9/16.