Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей в основной школе

5. Взаимосвязь математики с действительностью.

Помимо значения обучения элементам стохастики, не меньше внимания уделено вопросам о том, что именно и каким образом изучать школьникам.

Возникает много вопросов о содержании, методах, средствах. Разные статьи предлагают различные методические рекомендации.

Бунимович Е.А. делает следующие методические рекомендации при рассмотрении некоторых вопросов теории вероятностей.

«На первом этапе обучения можно отметить, что события достоверные и невозможные лучше не относить к случайным событиям. Опыт преподавания данного материала показал, что школьникам 10-12 лет трудно считать случайными те события, которые происходят всегда, либо не происходят никогда. Понятие случайного события соответственно уточняется на более поздних ступенях обучения. Чтобы доказать, что данное событие – случайное, предлагается привести пример такого исхода, когда событие происходит, и пример такого исхода, когда оно не происходит.

Необходимо развить у учащихся понимание степени случайности различных явлений и событий. Качественная оценка вероятности события приводит к тому, что при обсуждении в классе на один и тот же вопрос может быть дано несколько разных ответов, которые могут считаться верными, что непривычно на уроке математики и для ученика и для учителя. Например, при обсуждении вероятности наступления события «вам подарят на день рождения собаку» ученики в зависимости от личных обстоятельств могут дать ответы:

«это маловероятное событие»,

«это очень возможное событие»,

«это достоверное событие».

При решении таких задач главное – приводимая аргументация, понимание школьником смысла используемых понятий. Если аргументация вполне логична и разумна, ответ следует считать верным».  [2]  

О формировании первоначальных стохастических представлений в своей статье говорит Селютин В.Д. [31].

  «5-6 классы являются подготовительным этапом, перед изучением стохастики, здесь идет процесс «интуитивных накоплений». Как же следует организовать этот процесс? Прежде всего, путем эксперимента, проводимого самими учащимися. Как утверждает А.Плоцки, «из-за своей специфики стохастика может быть математикой, понимаемой каждым учеником как математика, открытая им самим». Одна из важнейших целей обучения школьников элементам стохастики состоит в целенаправленном развитии идеи о том, что в природе наличествуют статистические закономерности. Важно помочь учащимся правильно осознать реальную действительность, открыть для себя вероятностную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ориентироваться, но и активно действовать.

С помощью каких же средств можно организовать формирование первоначальных стохастических представлений школьников? К таковым можно отнести: стохастические игры, эксперименты со случайными исходами, статистические исследования, мысленные статистические эксперименты и моделирование.

Для проведения экспериментов пока возможно использование подручных средств: кубики, пуговицы, кнопки, самодельные вертушки и т.п. С введением стохастической линии в основной курс средней школы, со временем должны появиться и минимальные наборы математического демонстрационного учебного оборудования». [31]  

Проводя эксперименты, учащиеся могут заметить, что те или иные события происходят чаще или реже, относительно других. Таким образом, можно перейти к понятию частоты, а затем и к статистическому определению вероятности. 

При классическом подходе определение понятия вероятности для некоторых событий сводится к более простому понятию – равновозможности элементарных событий. А это понятие основано на интуитивном воображении человеком тех условий испытания, которые вроде достоверно определяют эту равновозможность.  Но не каждое испытание поддается такому воображению. Например, не может быть и речи о равновозможных исходах испытания, состоящего в подбрасывании неправильной игральной кости, центр тяжести которой сознательно смещен с геометрического центра.

Из этого вытекает ограничение  применения классической вероятности. Классическое определение вероятности «работает» лишь тогда, когда имеется конечное число равновозможных исходов. На практике мы часто встречаемся с ситуациями, где нет симметрии, предопределяющей равновозможность исходов. В таких случаях приходится определять вероятность частотным путем (статистическая вероятность) [34].

По обучению комбинаторике, тоже нет единого мнения.

В статье Ткачевой М.В. [35] содержатся следующие замечания по обучению комбинаторике.

«На первом этапе при изучении комбинаторики следует выработать у учащихся умение составлять комбинаторные наборы и начать с самого простого – составление комбинаторных наборов методом непосредственного перебора. В возрасте 11-12 лет дети способны решать простейшие комбинаторные задачи на целенаправленный перебор небольшого числа элементов определенного множества и составлять всевозможные комбинации (с повторениями и без повторений) из 2-3 элементов. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.

После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных  наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Но акцент нужно сделать не на формальном его применении, а на содержательных рассуждениях и понимании сути поставленного в задаче вопроса. Принцип умножения в дальнейшем используется для выведения формул.

Часто подсчет вариантов облегчают графы. Одним из видов графов является дерево возможных вариантов, которое является хорошей  наглядной иллюстрацией правила умножения.

Таким образом, построение дерева возможных вариантов является одним из способов решения комбинаторных задач. Такая наглядность помогает лучше понять принципы составления наборов (помогает составлять и упорядочивать наборы).   Но такую наглядность возможно использовать в задачах с небольшим количеством возможных вариантов, либо в задачах, для которых дерево возможных вариантов является правильным.

Методом перебора, принципа умножения и построение дерева возможных вариантов – это все методы, которые позволяют решать комбинаторные задачи без использования формул. Отсутствие формул при решении комбинаторных задач позволяет учащимся лучше понять суть решения, лучше освоить способы составления и подсчета возможных наборов. Уже после этого можно вывести или ввести некоторые формулы, которые учащийся должен применять осознанно и понимать принцип их действия». [35]

Спорным остается вопрос и о введении основных комбинаторных понятий: сочетания, перестановки и размещения. Все ли вводить, нужно ли вводить их определения, или достаточно описания.

На данный момент можно говорить о наличии некоторого опыта по рассматриваемой теме. Так как этим вопросом занимаются уже давно, то естественно, что были предприняты некоторые попытки введения этого материала или хотя бы его элементов. Некоторые статьи содержат информацию о различных опытах и экспериментах по данным вопросам.

В статье Бунимовича Е.А. [2] рассказывается об экспериментах проведенных автором на базе московской гимназии №710, ярославской гимназии №20 и калужской гимназии №2. В них исследовались вероятностные представления школьников старших профильных классов, которые еще не изучали вероятностный раздел. Результаты исследования показали, что даже хорошее знание и понимание других разделов математики само по себе не обеспечивает развития вероятностного мышления. Также опыт показал , что в возрасте начальных классов еще многое в представлениях ученика о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата для объяснения представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, таблицы и столбчатые диаграммы, а также основы комбинаторики возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы. А начинать изложение основ теории вероятности в старших классах – малоэффективно. [2]

Ткачевой М.В., Васильковой Е.Н. и Чуваевой Т.В. был проведен эксперимент о готовности учащихся к изучению стохастики, результаты представлены в их статье, [37] На основе проведенных экспериментов были сделаны следующие выводы. в 5 классе у детей достаточно высокий уровень комбинаторного мышления, а затем если в течение 6-7 классов его не развивать, то навыки  решения комбинаторных задач существенно снижаются. Большинство учащихся 5-6 классов готовы к восприятию понятия вероятность в классическом и геометрическом истолковании. Желательно обучать детей 5-6 классов самостоятельному  целенаправленному сбору информации о явлениях окружающей их жизни, подсчету данных в небольших выборках.

 

3. Анализ вероятностно-статистической линии в учебной литературе.

При введении любой новой темы, любого нового вопроса в основной курс школы встает проблема изложения данного вопроса в школьных учебниках.

К реализации нового содержания в действующих учебниках авторы подошли по-разному. В одних учебниках элементы стохастики включены в основное содержание отдельными параграфами. Авторы же других учебников издают новое содержание в форме вкладышей – дополнительных глав к своим пособиям.

Попытка построения вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики основной школы предпринята в учебниках

Под редакцией Г.В Дорофеева и И.Ф Шарыгина [18,19,20,21,22]

«Математика5», «Математика6»,  «Математика7», «Математика8» и «Математика 9».

5 класс начинается с комбинаторики, где на конкретных задачах и примерах рассматривается решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Примеры и задачи очень простые, позволяющие на этапе знакомства с комбинаторными задачами, усвоить принцип простого, упорядоченного перебора возможных вариантов. 

В пункте «Случайные события» рассматривается понятие случайное событие, достоверные, невозможные и равновероятные события. Тут же приводятся реальные, понятные примеры, позволяющие учащимся лучше усвоить эти понятия.

В последней главе учебника рассматриваются таблицы и диаграммы (как способ представления информации). Учащихся учат пользоваться таблицей, извлекать из нее и анализировать необходимую информацию, также учат самих строить таблицы. В пятом классе рассматриваются столбчатые диаграммы, в одной из задач рассмотрена круговая диаграмма. Также рассматривается пункт «Опрос общественного мнения», где составление таблиц по данным опроса позволяет решить те или иные классные вопросы, возникающие в реальной жизни  

6 класс начинаем с повторения  таблиц и диаграмм. Повторяют уже изученные столбчатые диаграммы и более подробно рассматривают круговые (для представления соотношения между частями целого).

Далее идут 2 параграфа по комбинаторике: логика перебора и правило умножения. Здесь рассматриваются задачи, которые решаются уже известным им способом перебора и предлагается упростить его, используя, так называемое кодирование. Также рассматривается новый способ решения комбинаторных задач с помощью правила умножения.

Завершается учебник главой - «вероятность случайных событий». Учащимся предлагается провести ряд экспериментов, зафиксировав результаты в таблицах. После чего, используя полученные результаты, вводится понятие частота и вероятность случайных событий

7 класс начинается с рассмотрения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, мода, размах, опять же с множеством примеров из жизни. В одном из параграфов снова обращаемся к решению комбинаторных задач, которые решаются с помощью рассуждений. Рассматриваются перестановки. И заключительная глава продолжает рассматривать вероятность и частоту случайных событий.

В 8 классе сначала повторяются статистические характеристики, изученные в 7 классе, и вводится новая характеристика – медиана. Рассматриваются таблицы частот. Приводятся примеры, показывающие связь с практикой, описываются различные жизненные ситуации. В 8 классе вводится классическое определение вероятности, данное Лапласом.

Рассматриваются геометрические вероятности.

В учебнике 9 класса рассматриваются статистические исследования, вводится определение статистики. В главе рассматриваются доступные учащимся примеры статистических исследований, в ходе которых используются полученные ранее знания о случайных экспериментах, способах представления данных и статистических характеристиках. Вводятся новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Рассматривается новый способ графического представления  результатов – полигоны. Вводятся понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное отклонение.

В учебнике рассматриваются 3 примера статистических исследований, это реальные примеры близкие школьнику. Это вопросы: «Как исследуют качество знаний школьников», «Удобно ли расположена школа?», «Куда пойти работать?». Учащийся видит применение знаний по статистике в реальных жизненных ситуациях.

Изучив, данный комплект учебников, можно отметить несколько моментов. Во-первых, курс рассчитан на 5- 9 классы, в то время, как большинство других учебных пособий предлагает рассматривать эти вопросы лишь с 7 по 9 классы. Во-вторых, что тоже отличает предложенный в этих учебниках курс от других, это параллельное изложение линий.

 Зубарева И.И., Мордкович А.Г.  «Математика 5», «Математика 6». [9.10]

В 5 классе последняя глава «введение в вероятность» содержит 2 параграфа. В одном параграфе рассматриваются достоверные, невозможные и случайные события. И даны задачи на определение характера события (достоверное, невозможное или случайное). Во втором параграфе рассматриваются комбинаторные задачи, решаемые методом перебора возможных вариантов.

В 6 классе авторы знакомят с понятием вероятность. Даны упражнения на определение степени вероятности того или иного события, выполнять которые учащиеся должны с опорой на интуицию. В следующем пункте вводится классическое определение вероятности. Рассматриваются задачи, в которых для вычисления вероятности используют комбинаторное правило умножения.