Шпаргалка по "Теории и методике развития математических представлений у детей"

Дальнейшее формир. представлений о числах и натур. ряде осущ-ся под влиянием овладения счетной деят-ю.

Ст/гр- знакомят с понятиями «смежные числа», «связи» (какое больше), «отношения»(на сколько).

Натур. числа - одно из старейш. матем. понятий.

Натур. числа - это числа, начиная с 1, получаемые при счете предметов.

Наимен. Натур. число - 1.

Наибольш. натур. числа не существует.

При счёте число ноль не исп-ся. Поэтому ноль не считается натур. числом.

Раньше всего люди стали изображать единицу одной палочкой, потом двумя палочками - число 2, тремя - число 3. | - 1, || - 2, ||| - 3, ||||| - 5 и т.д.

Затем появились и особые знаки для обозначения чисел – предшеств-ки соврем. цифр. Цифры, которыми мы пользуемся для записи чисел, родились в Индии примерно 1 500 лет назад. В Европу их привезли арабы, поэтому их называют арабскими цифрами.

Всего цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. С помощью этих цифр можно записать любое натур. число.

Натур. ряд - это послед-ть всех натур. чисел:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

В натур. ряду каждое число больше предыдущего на 1.

Натур. ряд бесконечен, наибольшего натур. числа в нём не существует.

Систему счёта (счисления), который мы пользуемся, называют десятичной позиционной.

Десятичной потому, что 10 единиц каждого разряда образуют 1 единицу старш. разряда. Позиционной потому, что значение цифры зависит от её места в записи числа, то есть от разряда, в котором она записана.

19. Способы записи  чисел. История их развития.

 Нумерация - графич. Изобр. числа.

Сущ-ют разные способы изоб-я числа. У разных народов в разное время сущ-ли разные сп-бы изоб-я чисел:

1. Иероглифическая нумерация  (Др. Египет) – числа изображались с пом. рисунков.
2. Клинопись (Вавилон) – испол-сь горизонт. и вертик. клинышки.
3. Буквенная нумерация – числа изоб-сь в виде букв, первая буква числит.
4. Алфавитная нумерация: а) греческая; б) славянская.

Первые 9 чисел – обознач-ся первыми 9 буквами алфавита; следующие 9 букв обозначают  десятки; следующие – сотни. Чтобы запись числа отличалась от записи букв, ставилась титла – волнистая черточка над буквой.

5. Римская нумерация. Для записи числа исп-сь 7  знаков:

I – 1, V – 5, X – 10, L – 50,  C – 100, D – 500, M – 1000. Все остальные числа записывались с помощью этих знаков на основе следующих правил:

Если низшее число написано справа, то его прибавляют: VI; если низшее число написано слева, то его отнимают: IV .

Прибавлять можно не более 3-х знаков, а отнимать не более одного: VIII – восемь, IX – девять.

Отнимать можно непосредственно предыдущий знак, от сотни – только 10, от 500 – только 10.  Например, 99 – XCIX.

Если надо записать число более 3-х тысяч, мы записываем его низшими знаками, берем в скобки и обозначаем индексом m.      214698 – (CCXIV)m DCXCVIII.

6. Арабскую нумерацию  придумали в Индии, европейцы  переняли у арабов. Исп-ся 10 знаков  – цифры: 0, 1, …., 9.

20. Счёт как деятельность. Система счисления. Их характеристика. Формир-ю навыков счетной деят-ти, обобщению предст-ий о числе способ-ют упр-я в сосчитывании звуков, движений, предметов по осязанию. Сначала дети овладевают умением считать звуки, движения с помощью игрушки. Затем они считают звуки, движения, выполняемые ими самостоятельно, проговаривая числа вслух, затем шепотом и про себя.Звук и движения должны быть ритмичны, разнообразны, интересны. Лучше, если источник звука скрыт от детей, что обостряет деят-ть слух. анализатора.

В кач. подготовки к счету звуков и движений уместны упр-я в соотнесении звуков движений с предметами.

Счет предметов по осязанию вначале носит игровой хар-р.Далее дети считают предметы, зафиксированные на плоскости. Нагляд.материал после рассм-я закрыв-ся салфеткой и пересчит-ся, соблюдая правила счета(правой рукой вести по предметам слева направо, называть число в момент фиксации предмета, итоговое число называть сразу после окончания счета) Наиболее сложным для детей ср.гр явл.счет по осязанию предметов не зафиксир-ых на плоскости, т.к. он связан с передвиж-ем их с лева направо. Числа произносятся, когда движение уже закончено.Считыв-ся предметы, а не движения рук.

Хар-ка десятичной системы исчисления.

Письм. нумерация – система записи чисел:-Древневавилонская клиновская нумерация(50в.до н.э.); -Древнеегипетская письменная нумерация(40 в до н.э.) – Римская (порядковое обозначение числа); - Алфавитная(пришла из Византии 9-10в);- Арабская письменная нумерация (изобретена в Индии в 18в)

Системы счисления – это системы счета единицами, десятками, и т.д.. Бывает двоичная, пятеричная, десятичная- Архимед. Позиционная система-значение знака зависит от его позиции в числе 777(последняя-единицы, 7посредине- десятки 70, первая-сотни 700)

Непозиционная –каждый знак обозначает одно и тоже число независимо от места(римская система ХХV где Х-всегда 10, а V-всегда 5)

Счет десятками- разложение конеч. мн-ва на десятки ведет к понятию разряда – каждый разряд больше предыдущего в 10 раз(1,10,100,1000) Три разряда вместе составляет класс(1.1000.1000.000) Каждый класс больше предыдущего в 100 раз.

Система счисления – это совокупность способов записи чисел и выполнения действий над числами.

Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных – значение каждого знака в записи числа зависит от занимаемой им позиции (222), а в непозиционной – не зависит (CCXXII).

К позиционным системам счисления относятся: десятичная (используется 10 знаков для записи чисел – 0, 1, 2, …, 8, 9),  двоичная (используется 2 знака – 0, 1) и т.п.

Одними из первых появились пятеричная и десятичная системы счисления (по количеству пальцев на одной или двух руках). Сущ-ла также двенадцатеричная и шестидесятеричная системы счисления. В первой из них считали большим пальцем  фаланги остальных четырех пальцев. Отголоски этой системы дошли до наших дней: посуда группируется по 12 приборов (в дюжины). Гипотеза появления шестидесятеричной системы счисления такова: объединились два народа, у одного из которых была  пятеричная, а у другого  двенадцатеричная системы счисления. В наше время свидет-вом существования этой системы служит состав часа из 60 минут и т.п.

21. Понятие геометрической  фигуры. Фигуры планиметрии и  стереометрии. Историч. понятие геом. фигуры, так же как понятие натур. числа, было одним из исходных понятий матем. Как и натур. числа, понятие геометр. фигуры образовалось с помощью абстракции отождествления, в основе кот. лежит некот.отношение эквивалентности. В данном случае таким отношением является сходство, подобие предметов по их форме, с помощью кот. мн-во предметов разбивается на классы эквивалентности так, что любые два предмета одного класса имеют одинак. форму, а любые два предмета различных классов — различные формы. Абстрагируясь при этом от других свойств предметов, мы получаем самост. понятие геометр. фигуры. В матем. поступают и так: класс подобных по форме предметов определяется любым принадлежащим ему предметом и называется формой.

Решая задачу классифик. блоков по их форме, дети получают классы квадратных, круглых, треугольных и прямоугольных блоков, затем каждый из этих классов, так же как и отдельные их представители, называется соответственно квадратом, кругом, треугольником, прямоугольником. В основе выделения этих понятий лежит отношение экв-ти иметь одинак. форму.

 В изучении геометрии  выделяют  уровни мышления:

Первый  хар-ся тем, что геом. фигуры рассм-ся как целые и различаются только по своей форме.

 На втором уровне  пров-тся анализ воспринимаемых  форм, в результате которого выявляются  их св-ва. Геом. фигуры выступают  уже как носители своих свойств  и распознаются по этим св-вам, св-ва фигур логически еще не  упорядочены, они устан-ся эмпирическим  путем. Сами фигуры также не  упорядочены, так как они только  описываются, но не определяются. Этот уровень мышления в области  геометрии еще не включает  структуру логического следования. (для етей 4-6 лет)

 Всякая геометр. фигура подразумевается состоящей из точек, т.е. всякая геометр. фигура представляет собой мн-во точек, в том числе одну точку тоже принято считать геометр. фигурой. На предмат. ур-не дети знакомятся с простейшими, но наиболее распростр-ми геом. фигурами: различными линиями, формами блоков — квадратом, кругом, треугольником, а также пятиугольником, шестиугольником. Строгих определений, разумеется, на этом уровне не дается.

^ Виды геометрических фигур

Все геом. фигуры делятся на плоские и пространственные. Под линией будем иметь в виду плоскую линию — линию, все точки которой лежат на некоторой плоскости, а сама линия есть подмн-во точек плоскости.

 Прямую линию, или просто  прямую, можно выделить среди  других линий с помощью ее  характер-их свойств, т. е.  таких свойств, которыми обладает только прямая и никакие другие линии.

 На геометрическом  яз.: через две точки D и С проходит несколько линий. Прямая выделяется среди них тем, что это — линия кратчайшего расстояния.

Еще одно характер-е св-во прямой: через две точки D и С можно провести много различных линий, прямых — только одну, т. е. через две точки проходит одна и только одна прямая.

 Линии бывают замкнутыми  и незамкнутыми. Например, прямая  — незамкнутая линия, окружность  — замкнутая.

 По отношению к прямой две точки могут находиться «по одну сторону» от нее или «по разные стороны».

 На геометрическом  языке:точки А и В находятся по одну сторону от прямой , если отрезок, соединяющий эти точки, не пересекает прямую.

 Первые представления  о внутри и вне закрепляются  в играх с обручами, когда дети  встречаются со все усложняющимися ситуациями: определение блоков внутри и вне одного обруча, внутри одного и вне другого обруча, внутри всех трех обручей, внутри двух обручей и вне третьего и т. п. Поэтому перед решением задач, связанных с классиф. блоков или фигур в играх с обручами, необходимо выяснить, распознают ли дети внутр. и внеш. области по отношению к каждому обручу.

Если две точки А и В или D и Е лежат в одной области, то отрезок, соединяющий их, не пересекает линии ; если две точки, например С и D, принадл. различным областям, то соединяющий их отрезок пересекает линию (в точке К).

Одна из этих областей называется внутренней, другая — внешней.

 Область, которая интуитивно  принимается за внеш., обладает  св-вом: можно найти в этой области  две точки, например D и Е, такие, что прямая, проходящая через них, целиком лежит в этой области. Вторая область, которая интуитивно принимается за внутреннюю, не обладает этим свойством или характ-ся св-вом, представляющим собой отрицание характерист-го свойства внешней области, т. е. нельзя найти в ней такие две точки, чтобы прямая, проходящая через них, лежала целиком в этой области.

Оотрезок можно понимать как подмн-во точек прямой. Иногда пользуются отношением между, применимым к трем точкам. Это отношение соответствует наглядному представлению о точке, лежащей на прямой между двумя другими точками: если точка С лежит между точками А и В, то нельзя «дойти» по прямой от А к В, не пройдя через точку С. Эти наглядные представления подсказывают и некоторые свойства отношения между: если точка С лежит между А и В, то С лежит и между В и А; из трех точек только одна лежит между двумя другими, т. е. если С лежит между А и В, то уже А не лежит между Си В, а также В не лежит между А и С.

 Имеются две различные  трактовки понятия отрезка . По  одной из них отрезку АВ  принадлежат сами точки А я В (концы отрезка) и все точки прямой АВ, лежащие между А и В. По другой трактовке точки А и В не считаются принадлежащими отрезку АВ, хотя по-прежнему называются его концами (т. е. концы отрезка не принадлежат ему).

 Так как через две  точки А и В проходит единст. прямая АВ, то эти две точки определяют и единст. отрезок с концами А и В.

 Зная, что такое отрезок, можно уточнить и понятие ломаной  линии.

 Если А1,А2, At,, .., A„-j, Ап  — точки, никакие последоват. три  из которых не лежат на одной  прямой, то линия, состоящая из  отрезковааА1А2>А2А3> ..,Ап_]А„, называется ломаной линией, эти отрезки называются звеньями ломаной, а точки А1, А2, A3,.., Ап_, А„ — ее вершинами; точки Аj и Ап называются также концами ломаной. Если концы ломаной совпадают, то ломаная называется замкнутой, в противном случае — незамкнутой .

 Как и всякая замкнутая  линия, замкнутая ломаная линия  разбивает мн-во не принадл-их  ей точек плоскости на две  области — внутр. и внеш.

 Среди ломаных линий  выделяют простые (без самопересечений) ломаные линии, т. е. такие, которые  сами себя не пересекают.

 Имеются два основные понятия: согласно одному из них, под многоугольником понимают простую замкнутую ломаную линию, согласно второму — простую замкнутую ломаную вместе с ее внутр. областью или объединение простой замкнутой ломаной и ее внутр. области.

 Согласно первой трактовке, модель многоугольника, например, можно  изготовить из проволоки, по второй  — вырезать из бумаги. Для мал. детей более естест. явл. называть квадратом, треугольником и т. д. именно ту фигуру, которую они закрасили и вырезали, т. е. ломаную вместе с ее внутр. областью. Поэтому представляется, что и для школы вторая трактовка является более целесообразной.

 Многоуг-ки классиф-ся  по числу сторон или углов: треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д. Наблюдая  различные многоуг-ки, можно обнаружить наличие или отсутствие св-ва, называемого выпуклостью.