Шпаргалка по "Теории и методике развития математических представлений у детей"

 Между этими двумя  группами существует тесная преемств. связь: более сложные виды деят-ти вырастают на базе простых, как бы надстраиваются над ними.

 Среди всех видов  деят-ти традиционным является  счет, связанный с возникновением  представлений о числах натурал. ряда. Еще несколько десятков  лет тому назад название самой  методики было «Методика обучения  счету», а занятия назывались  «Занятия  по счету в дет. саду».

 Определение места  и значения счетной деят-ти  связано с соверш-ем процесса  форм-я матем. представлений и  понятий в дет. саду и начал. школе. В последнее время критической оценке подверглось развивающее влияние этого вида деят-ти, кот.длит. период был основным и чуть ли не единственным в предматем. подготовке детей.

 Умение считать не  всегда является показателем  матем. развития и не гарантирует  успешность овладения матем. в  школе.

 Дети могут механически  запоминать послед-ть чисел натур. ряда не только до 10, но и даже до 100. Хорошо известно также, что предст-я о числах у дошк-ов не возникают первыми, а базируются на других, исходных представлениях: о множестве (А. М. Леушина), величине (П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов).

 Обучение счету в  дет. саду является необх-ым комп-ом в подгот. к школе. Однако счет не может быть единственно верным содержанием обучения в дет. саду и полностью обеспечивать матем. развитие ребенка. В настоящее время повышается удельный вес знаний, создающих прочную базу для сознательного усвоения счета, установлены более тесные связи между различными представлениями, формир-ми у детей.

 Преждеврем. обучение  счетной деят-ти неизбежно приводит к тому, что предст-е о числе и счете приобретает формальный характер. Поэтому обучение счету начинается не сразу. Ему предшествует подготовит. работа: многочис. и разнообр. упр-я с множ-ми предметов, в которых дети, применяя приемы приложения и наложения, сравнивают совокупности, устанавливают отношения «больше», «меньше», «равно», не пользуясь при этом числом и счетом. Важно показать независимость числа от пространственно-качественных особенностей предметов. В процессе выполнения упражнений, которые постепенно усложняют на протяжении обучения в дошк. в-те, неявно используются основные теоретико-множественные понятия.

 Следует шире применять  логич. игры и упр-я, в том числе  на классиф-ю и сериацию с  разнообр. дидакт. ср-ми, кот. спос-ют форм-ю полноценных представлений о числе и общему умст. развитию детей.

 Лишь после выполнения  различных практич. действий с  множествами ребенок может быть  подготовлен к пониманию смысла  чисел и счета.

Со счетной деят-ю тесно связана измерительная, она включает обучение измерению размера, объема, массы путем непосредст. сравнения предметов по данным признакам. Чувственно-практич. деят-ть, позволяющая определить, какой из нескольких сравниваемых предметов больше (меньше), шире (уже), выше (ниже), толще (тоньше), глубже (мельче), тяжелее (легче) и т. д., является первоосновой для введения измерения условными, а затем и общепринятыми мерами..

 Счет и измерение  существенно дополняют друг друга, способствуя матем. разв. ребенка.

 В старш. дошк. возр. дети  начинают овладевать : элементами   вычислит.  деят-ти,   усвоение   которой в основном происходит в школе. Счет составляет основу для овладения простейшими приемами вычисления, в процессе которых ребенок оперирует числами и другими матем. категориями.

 Формир.   пространств.-временных   представлений во - всех возр. гр. происх. на базе практич. ориентировок. Познание простр-ва и времени дошк-ми осущ-ся через их чувств. отражение, осмысление в речи и использование в деят-ти .

 Линейно-концентрический  принцип, который лежит в основе  ФЭМП, предполагает в каждом возр. этапе повторение на более  высоком уровне того, что было  освоено на предыдущей ступени, и дальнейшее продвижение вперед. Однако в каждом году обучения  выделяется одно главное направление. Во второй мл. гр. — форм-е представлений о равенстве и неравенстве групп по количеству входящих в них предметов, в ср. гр. — форм-е предст-ий о числах в пределах 5, в старш. — формир-е предст-ий о числах и отнош-ях между послед-ми числами в пределах 10.

14. Понятия. Отношения. Логические операции. Индуктивные  и дедуктивные выводы. Поня́тие — отображённое в мышлении единство сущест-ых св-в, связей и отношений предметов или явлений; мысль или система мыслей, выделяющая и обобщающая предметы некоторого класса по определённым общим и в совокупности специф. для них признакам. Понятие есть результат применения категории к восприятию. Отсюда понятие в его отвлеченности противостоит конкретности восприятия. Также понятие противостоит слову, которое можно трактовать как знак понятия.

Понятие не только выделяет общее, но и расчленяет предметы, их свойства и отношения, классифицируя последние в соответствии с их различиями. Так, понятие «человек» отражает и существенно общее (то, что свойственно всем людям), и отличие любого человека от всего прочего.

Отношение — философ. категория или научный термин, обозначающий любое понятие, реальным коррелятом которого является определенное соотнесение (связь) двух и более предметов.

Отношение в социологии, психологии, антропологии — связь или взаимодействие людей или их сообществ между собой или характерная направленность их действий («отношение партии к крестьянству»).

Отношение в реляционном моделировании — набор кортежей, иначе известный как таблица базы данных.

В математике отношение — результат деления одной величины на другую.

Отношение — обобщение арифм. отношений, таких как «=» и «<».

Отношение — в логике первого порядка двух- и более аргументный предикат, двух- и более предикатное свойство.

В логике логич. операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже сущ-их. В более узком, формализованном смысле, понятие логич. операции используется в матем. логике и программировании.

Логич. операции с понятиями — такие мыслит. действия, результатом которых является изменение содержания или объёма понятий, а также образование новых понятий.

К операциям, которые связаны преимущественно с изменением содержания понятий, относятся: отрицание;ограничение ;обобщение ;деление.

К операциям, которые связаны преимущественно с объёмами понятий, относятся: сложение;умножение;вычитание.

Данные операции могут быть записаны математич. с помощью теории множеств.

Переход же к матем. логике связан с понятием суждений и установлением операций над ними с целью получения сложных суждений.

Индукция — процесс логич. вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления.

Объективным основанием индукт. умозаключения является всеобщая связь явлений в природе.

Различают полную индукцию — метод доказ-ва, при котором утверждение доказ-тся для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию — наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказ-ве. Также для доказ-в исп-ся метод матем. индукции.

Дедукция  — метод мышления, при котором частное положение логич. путём вывод-ся из общего, вывод по правилам логики; цепь умозаключений (рассуждений), звенья которой (высказывания) связаны отношением логич. следования.

Началом (посылками) дедукции явл. аксиомы или просто гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом — следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и её следствия. Дедукция — основное средство док-ва. Противоп-но индукции.

Пример дедукт. умозаключения:

Все люди смертны.Сократ — человек.Следовательно, Сократ смертен.

15. Множество. Виды  множеств. Элемент множества. Подмножество.

Мн-во – одно из осн. матем. понятий. Мн-во ассоциируется с понятием группа. Мн-ва могут быть конечными, бесконечными, пустыми.

Пустым называется мн-во, кот. не содержит ни одного элемента (Æ).

Мн-ва обозн. большими буквами латинского алфавита А, В, С,…, а элементы -  маленькими буквами а, в, с, ….х, у.

«Элемент  а принадлежит мн-ву А» записывают так: а  Î А,  если не принадлежит – то     в Ï А

Множества изображаются на плоскости с помощью кругов Эйлера.

1. Отношение равенства

Говорят, что А=В, если все элементы мн-ва А принадл. мн-ву В и наоборот, все эл-ты мн-ва В принадл. мн-ву А.

Ни количество эл-ов, ни порядок их следования не имеет значения для равенства мн-ва.

      Пример:   А={1; 2} и  В={1, 2, 2, 1},  А=В.

2. Отношение включения

Говорят, что мн-во А включено (Ì ) в В, если все элементы мн-ва А принадл.  В.

В этом случае мн-во А будем называть подмн-ом В.

Если   А={1, 2}, В={1, 2, 3}, то  АÌВ.

Если А - студенты дошфака, В -  студенты универ-а, то АÌВ.

3. Отношение пересечения

Говорят, что мн-ва А и В пересек-ся, если имеют хотя бы один общий эл-т.                                                                                                                            

Например,  А={1, 2, 3} и   В={2, 4, 6} , А и В – пересек-ся.         

4. Если  АÇВ=Æ, то мн-ва А и В не пересек-ся. Например, студенты 1 и 5 курсов – не пересек-ся мн-ва.      

                                                        

16. операции над  множествами 

Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В.

 

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6}

 

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4}

 

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

 

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}

 

 

Свойства операций над множествами

Свойства перестановочности

 

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

 

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

17. Число и цифра. История развития понятия числа  и деятельности счёта в филогенезе.

Иногда такое отнош. называют отнош-ем строгого порядка, чтобы отличить его отношения нестрогого порядка, являющ-ся рефлекс-ым, антисимметрич. и транзитивным. Теоретич. основы ФЭМП у дошк-ов включают детальное изучение лишь системы натур. чисел. Поэтому, говоря здесь «числа», мы имеем в виду натур. числа.

К построению матем. моделей явлений, основанному на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их колич. отношений и пространст. форм, челов-во прибегало с первых шагов изучения окруж. мира. Одним из первых достижений на этом пути было возникн. и формир. понятия натур. числа. Оно появилось, по-видимому, на довольно позднем этапе разв. мышл. и предполагало наличие способности к созданию абстрактных понятий и оперированию ими.

 На самом раннем  этапе устанавливалась равночислен-ность  различных мн-тв, общее же свойство равночисленных мн-в еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых мн-в. Напр., знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом. В дальнейшем практика эконом. и соц. взаимоотношений привела к необходимости выражать численность одних мн-в уже через числ-ть др. мн-в, т. е. общее свойство равночисленное  стало осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого мн-ва, его эл-в. Однако в кач. эталонов выступали еще различные мн-ва, состоящие из подручных предметов — эквивалентов равночисленности множеств предметов. Еще позже определенное мн-во, напр. пальцы на руках и ногах, начали выступать в кач. своеобразного единственного эталона количества, что позволило выделить общее свойство числ-ти, отличное от всех особенных свойств мн-в. Впоследствии общее свойство всех равночисленных мн-в абстрагировалось от самих мн-в и выступило в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натур. числа. Далее в кач. эталона числ-ти уже выступают сами натур. числа, когда люди говорят не «рука яблок», а «пять яблок» (интересно, что в слове «пять» сохранилось воспоминание о «пясти», т. е. о ладони). И наконец, происходит отвлечение от реально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах. Возникает абстракция бесконеч. мн-ва натур. чисел. Объектом научного анализа стан. св-ва элементов самого этого мн-ва, в отвлечении от тех предметов, счет которых привел к созданию понятия числа. Возникает теория, описывающая систему чисел с ее свойствами и закон-ми.