Лекция по "Статистике"

 (Формула 5)

 – отклонение каждого признака от средней величины. 
 

 (Формула 5)

 – для взвешенной формулы. 

    Существует  еще много других свойств средней  величины, но нам необходимо «нулевое»  свойство. 

Средне  гармоническое

    Используется в тех случаях, когда статистическая информация не содержит частот (f) по отдельным вариантам, а содержит произведение вариантов на частоты, т.е. x_i*f_i=M_i, тогда формула средне гармонической имеет вид: 

1. средняя  гармоническая простая не взвешенная:

 (Формула 6).

2. средне  гармоническая взвешенная:

 (Формула 7). 

    Пример 9.: необходимо рассчитать среднюю цену продажи трех товаров в городе, по данным, указанным в таблице: 

Товар	Цена, руб. (х)	Сумма реализации, тыс.руб. (xi*fi=Mi)	Частоты (fi=Mi/xi)
1	2	3	4
А	30	600	20
В	20	1000	50
С	35	350	10
Итого:		1950

 

    Обычно  для того, чтобы вычислить среднюю  величину пользуются логической формулой, необходимой для решения этой статистической задачи.

    В нашем случае количество реализованного товара – это есть сумма реализации к средней цене. 

    В рассматриваемом примере числитель  логической формулы известен, а знаменатель нет. Чтобы его найти воспользуемся формулой средне гармонической взвешенной (формула 7), т.к. цена различна:

(руб.) –  средняя цена всех зубных паст (тюбиков).

    Формулу средне гармонической взвешенной тут  применить нельзя .

    Средне  арифметическое – расчет неверен.

    Если  прибегнем к средне арифметической взвешенной, то выйдем на нашу формулу, но сейчас эти частоты получили расчетным  путем.

    Если  применить формулу средне арифметической , то величина не отображает объем реализации и является нереальной. 

    Пример 10. на гармоническую величину. Две машины осуществляют поставку товара. Они прошли один и тот е путь. Первая со скоростью 60 км/ч, а вторая машина – 80 км/ч. Вычислить среднюю скорость машин. 

    f_i=2;      x_if_i=M_i

      – обратное значение варианта по формуле 6;  

      км/ч      ,

    Если  применить формулу средней арифметической, то расчетная величина 70 км/ч не отражает реальную величину 68,6 км/ч. 

Вопрос 3. Геометрическое и  квадратическое среднее 

Геометрическая  средняя

    Для ее расчета используется следующая  формула:

    

 (Формула 8)

    – средне геометрическое не взвешенное, где П – произведение иксов i 

    

 (Формула 9)

    – средне геометрическая взвешенная.

    Пример 11.: Цены возросли на товар j в два раза.

     - так считать  нельзя!

     (раза) –  не взвешенная.

    Пример 12.: В результате инфляции цены в первый год возросли в 2 раза, а во второй год в 1,5 раза. Найти средний рост цен на товары за каждый год, т.е. средний темп роста цен.

    Логически темпы роста складывать нельзя и  применение средне арифметической здесь неправомерно. Почему? 1,75*1,75=3,0625, а должно получиться 3,0, а если 1,73*1,73=3,0. В этом случае используем средне геометрическую простую не взвешенную.

    Средне  геометрическое используется в рядах динамики для определения средних темпов изменения явления.

    

 (Формула 10),

где y_n – это значение конечного уровня ряда, y₀ – значение начального уровня ряда, а n – число коэффициента роста²³.

Квадратическое среднее:

    

 (Формула 11),

    

 (Формула 12) – взвешенная. 

    Средне  квадратическая используется не сама по себе, а для оценки отклонения вариантов от средней величины, т.е. для расчета сигмы – есть разность – простая, , тем самым подходим к рассмотрению дисперсии. 

    Сигма – это средне квадратическое отклонение от средней величины. В компьютере называется стандартным отклонением (годы)²). 

,

.

    Если  сигма в квадрате, то получаем дисперсию:

, .

Вопрос 4. Структурные (непараметрические) средние 

    Мо – мода.

    Ме – медиана (делит ранжированный ряд по середине). 

    Мода – наиболее часто встречающийся вариант ряда или вариант, имеющий max частоту. 

    Для дискретных рядов 

    Мо  – определяется по частоте появления  вариантов. 

    Пример 13.: Имеем следующие данные: 

Группировка семей по числу детей, ед. (x)	Число семей, ед. (f)
1	2
0	6
1 (Мо=1)	28
2	22
3	20
4	13
5	8
6 и более	5
Итого:	102
наиболее часто  встреч.

 

    В интервальных рядах Мо рассчитывается по следующей формуле:

 (Формула 13),

x₀ – нижняя граница модального интервала,

h – величина интервала,

 – частота модального интервала,

 – частота  интервала, предшествующему модальному,

 – частота  интервала, следующий за модальным. 

    Модальный интервал – это интервал, содержащий модальное значение²⁴. 
 

    Пример 14.: Даны данные, рассчитать Мо. 

Возраст студентов, лет	Число студентов, чел.
1	2
до 20	346
20-25	872
25-30	1054
30-35	781
35-40	212
40-45	121
45 и более	76
Итого:	3462
нижняя граница  этого Мо интервала (fmo)

(лет).

    Экономическая хар-ка: наиболее часто встречающийся возврат 27 лет.

    Медиана – вариант, который делит вариационный ряд таким образом, что все варианты, лежащие слева от Ме меньше по величине, а все варианты, лежащие справа больше по величине.

    Медианное значение признака – это значение, приходящееся на середину ранжированного ряда.

    Главное свойство Ме: сумма абсолютных отклонений варианта от Ме меньше, чем от любой другой величины:

²⁵.

    Пример 15.: 9 торговых фирм реализовывали товар по следующим ценам (тыс.руб.): 4,4; 4,3; 4,4; 4,5; 4,3; 4,3; 4,6; 4,2; 4,6.

    Проранжируем  ряд:

    <   Me   >

    4,2; 4,3; 4,3; 4,3; 4,4; 4,4; 4,5; 4,6; 4,6

    Мо=4,3 тыс.руб. (дискретный ряд, не расчетная Ме). 

    Медиана фактически выполняет роль средней  величины в случае не однородной совокупности.

    Она также используется в тех случаях, когда  не позволяет объективно оценить изучаемую совокупность вследствие сильного расхождения max и min значения.