Сцинтилляционные монокристаллы: автоматизированное выращивание

^*) ИИ - источник информации

Основой анализа тепловых условий процесса кристаллизации является решение уравнения теплопроводности Лапласа для разных стадий выращивания кристалла с учетом теплофизических свойств ростовой системы и изменяющихся граничных условий. Результаты решения уравнения Лапласа позволяют оценить:

- влияние скорости выращивания на теплоперенос в объеме образца [191],

- степень охлаждения МК после  формирования завершающей части  образца [191],

- влияние конструктивных элементов  на распределение температуры в расплаве и кристалле [0]).

Взаимосвязь тепловых и  геометрических параметров мениска расплава при росте кристалла может быть выявлена достаточно точно [0], в том числе, в виде зависимости градиентов и амплитуды колебаний температуры от формы фронта кристаллизации [106]. Для более общей системы "нагреватель - расплав - фронт кристаллизации", которая представляет собой объект с подвижной границей - источником тепла, расчет температурных полей (решение задачи Стефана) осуществляют, исходя из уравнения теплового баланса на фронте кристаллизации и капиллярной задачи Лапласа для мениска расплава (при условии изотермичности фронта кристаллизации и нормального механизма роста кристалла). В диапазоне обычных технологических скоростей выращивания при пренебрежимо малом переохлаждении на фронте кристаллизации выполняется условие Стефана:

Т=ТlС',                                             (4.3)

где Т - температура, Тl - равновесная  температура, С' - концентрация примеси.

Точное решение уравнений, описывающих теплоперенос в системе ТП Чохральского с учетом многомерности, нелинейности, неоднородности и прочих усложняющих расчеты свойств объекта управления, практически неосуществимо. Приближенное решение получают на основе целесообразных допущений [0]:

- механизм теплопереноса определяется  теплопроводностью в системе кристалл - расплав (вклад конвективного перемешивания минимален) [201, 0].

- скорость вытягивания кристалла  невелика (обеспечено постоянство  градиентов температур в любой момент времени);

- прямой и отражательный теплообмен  между всеми поверхностями внутри  ростового узла происходит при разных температурах;

- граница раздела "расплав - газ" описывается приближенными уравнениями, учитывающими форму мениска расплава на границе кристалл - расплав [201].

В неподвижной относительно твердой  фазы системе координат (x,x), связанной с границей раздела фаз, уравнение теплопроводности при отсутствии излучения [139]:

,                      (4.4)

где х=vвыт×t-x; k=P×l/(S×C×rк); P, S - периметр и площадь поперечного сечения МК, t - текущее время, l - коэффициент теплообмена, q(x,t) - температура окружающей среды, С - удельная теплоемкость, rк - плотность кристалла, vк - скорость роста МК, а - коэффициент. Краевые условия на границе раздела фаз при постоянном значении vк:

T(0,t)=Tк; (¶T/¶t)|x=0=[aт×vк+W],                                (4.5)

где W - тепловой поток от жидкой фазы, Тк - граничное значение температуры; aт - коэффициент, учитывающий изменение теплового потока в зависимости от скорости роста МК.

Решение этого уравнения показывает, что задачу регулирования установившегося процесса кристаллизации можно свести к задаче регулирования текущей температуры второго конца стержня (кристалла). Взаимная стабилизация в системе обусловлена теплообменом кристалла (столба расплава) с окружающей средой. Тепло кристаллизации, выделяющееся в образце, пропорционально его площади, а отвод тепла с боковой поверхности пропорционален периметру. При изменении диаметра тепловой баланс нарушается, что приводит к изменению истинной скорости кристаллизации (изменяется высота фронта кристаллизации).

Первым приближением для поиска зависимости между диаметром  кристалла и положением фронта кристаллизации является решение краевой задачи для капиллярного уравнения Лапласа, описывающего форму поверхности жидкого мениска расплава, и стационарной тепловой задачи для системы кристалл - расплав. Если в качестве переменных параметров принять диаметр d кристалла и положение h фронта кристаллизации относительно свободной поверхности расплава, то линеаризованная модель, связывающая параметры мениска расплава с температурой расплава в одномерном приближении, имеет вид (3.8) [17, 0]:

D(r')=Arr×Dr+Arh×Dh; D(h')=Ahr×Dr+Ahh×Dh,                         (4.6)

где Arr=-vвыт×(¶a0/¶d), Arh=-vвыт×(¶a0/¶h), Ahr=(L-1)×[lS×(¶GS/¶r)-lL×(¶GL/¶r)], Ahh=(L-1)× [lS×(¶GS/¶h)- lL×(¶GL/¶h)]; a0 - угол между касательной к мениску расплава у трехфазной линии с горизонталью; GS, GL - градиенты температуры в твердой и жидкой фазах; D - символ изменения параметра или его производной на малую величину (Dxk=xk-xk0); L - скрытая теплота плавления единицы объема вещества; lL, lS - удельные теплопроводности жидкой и твердой фаз.

Развитый подход справедлив, если процесс роста лимитируется не кинетикой  кристаллизации, а условиями тепло- и массопереноса, что обычно выполняется для реальных скоростей вытягивания. Наиболее часто тепловые задачи решают в одномерном приближении, в частности, при анализе динамики фронта кристаллизации [191, 122], при описании процесса поглощения тепла на границе раздела кристалл - расплав [123]. Анализ точности решения в далекой от фронта кристаллизации области (после приведения исходного уравнения Лапласа к модифицированному уравнению Бесселя) показывает, что погрешность приближенного решения зависит от диаметра кристалла [125]. Дополнительным может быть условие идеальной стабилизации диаметра МК воздействием на скорость вытягивания образца [146].

Попытка учесть нестационарность термических  процессов в ростовой системе  предпринята в [194], где теоретически рассмотрен характер изменения скорости кристаллизации и распределения примеси при изменении параметров роста в процессе выращивания МК. Решение нестационарной задачи теплопроводности сопряжено с трудностями. Сравнительная оценка времени релаксации температуры и фронта кристаллизации показывает, что время релаксации фронта кристаллизации примерно на два порядка превосходит время релаксации температуры, что позволяет воспользоваться квазистационарным приближением. Для одномерной задачи в квазистационарном случае [0, 153] возможно точное решение задачи Стефана, из которого следует наличие критического значения скорости роста кристалла vк': если vк>vк', то в объеме расплава возникает переохлаждение и монокристаллический характер роста нарушается.

Уточнение оценок может быть осуществлено с учетом дополнительных факторов и  условий теплообмена. Так учет влияния  излучательного теплопереноса на условия  теплообмена [202, 201] (в приближении диффузного излучения "серого" тела) позволяет сделать вывод, что тепловая чувствительность диаметра кристалла и формы мениска расплава повышается с уменьшением осевых градиентов температуры. Анализ нелинейности градиента температуры в мениске расплава и кристалле (вблизи фронта кристаллизации), вызванной сложными условиями теплового излучения на внешних поверхностях объекта управления и выделением теплоты фазового перехода на границе раздела фаз [0, 0, 204], показывает, что с увеличением диаметра МК оправдана линейная аппроксимация градиентов температуры в системе кристалл - расплав и окружающей среде вблизи фронта кристаллизации [153]. К повышению точности расчетов приводит учет колебаний теплопереноса вследствие гидродинамических флуктуаций потоков в расплаве [122, 147];

Практическое значение имеет установление и исследование соотношения между температурой расплава и другими параметрами  ТП выращивания МК [0], а также экспериментальное подтверждение [106, 106, 82] теоретических результатов моделирования теплопереноса (табл. 4.2).

Таблица 4.2

Экспериментальное подтверждение  и применение  
результатов моделирования теплопереноса

Тепловые явления стабилизируют  процесс Чохральского, если расплав  перегрет, в такой последовательности: увеличение высоты фронта кристаллизации приводит к уменьшению модуля градиента температуры в жидкой фазе, и, следовательно, к уменьшению подвода тепла к фронту кристаллизации; фактическое значение скорости кристаллизации увеличивается, что приводит к уменьшению высоты фронта кристаллизации. При изменении диаметра МК тепловой баланс нарушается, что приводит к изменению скорости кристаллизации и высоты фронта кристаллизации. Для изучения тепловых процессов в объеме мениска расплава и прилегающей к нему нижней части вытягиваемого образца применяют численные методы решения задач движения границ "кристалл - расплав" и "газ - расплав" [0, 0]. Путем численного моделирования температурных полей и сопоставления полученных результатов с экспериментальными значениями рассчитывают термоупругие напряжения, возникающие в образце в процессе роста, для определения условий получения бездислокационных кристаллов [0].

С целью анализа тепловых условий  выращивания МК широко используется компьютерное моделирование на основе метода конечных элементов [76, 191, 123]. С помощью сеток конечных элементов оценивают влияние излучательного теплопереноса на условия теплообмена в приближении диффузного излучения "серого" тела [202], а также получают математические модели индукционного нагрева, теплового узла с резистивным нагревателем и лучистого теплообмена [183].

Таким образом, моделирование тепловых полей в процессе роста кристаллов из расплава в настоящее время  осуществляют, как правило, в одномерном, квазистационарном приближении, пренебрегая иными механизмами теплопереноса, помимо теплопроводности. Уточнение параметров распределения температуры в объекте управления возможно, исходя из целесообразности таких расчетов, а также при наличии вычислительных и прочих ресурсов, на основе учета дополнительных факторов и свойств системы кристалл - расплав.

4.1.2. Описание межфазных границ

Система уравнений метода Чохральского включает в себя модели границ раздела трех фаз "кристалл - расплав - газ" (см. рис. 4.1), динамика которых в процессе кристаллизации в значительной степени определяет результат вытягивания МК из расплава [172, 0]. Параметры системы кристалл - расплав и тепловых полей взаимосвязаны, так что не только форма фронта кристаллизации зависит от отношения осевой и радиальной составляющих градиента температуры вблизи границы раздела "кристалл - расплав" [158], но существует и обратная зависимость градиентов и амплитуды колебаний температуры от формы фронта кристаллизации [106]. На форму поверхности раздела "кристалл - расплав" влияют также: