Экономико - математические методы и модели

а₁₁ = 10 / 100 = 0,1

а₁₂ = 40 / 200 = 0,2

а₁₃ = 20 / 100 = 0,2

а₂₁ = 20 / 100 = 0,2

а₂₂ = 60 / 200 = 0,3 и т.д.

                        0,1  0,2  0,2  

А = (а _ij) =       0,2  0,3  0,4         - характеризует связь между отраслями, коэффициенты

                        0,2  0,1  0,2                   используются для анализа и  планирования.

 

 

5.  Плановые расчеты по межотраслевому балансовому методу.

Запишем модель (1) через коэффициенты прямых материальных затрат:

х₁ = а₁₁ × х₁ + а₁₂ × х₂ + … + а_1n × х_n + у₁,

х₂ = a₂₁ × х₁ + a₂₂ × х₂ + … + a_2n × х_n + у₂,          (6)    

  …………………………………….

х_n = a_n1 × х₁ + a_n2 × x₂ + … + a_nn × х_n + у_n.

        в системе n – уравнений,  2n – переменных. Чтобы использовать эту модель в плановых расчетах задают n переменных вне модели, тогда из системы единственным образом находят значения остальных n  переменных:

1) x₁, х₂…, x_n – заданы, например,  из прошлого года, тогда из системы (6) определяем     y₁, у₂…, y_n  (т.е. это путь от достигнутого).

2) Вне модели задаются переменные  y₁, у₂…, y_n. Изучив спрос, отчетные данные из системы (6) определяем    x₁, х₂…, x_n. 

Недостатки:

- полученные объемы производства будут не соответствовать реальным возможностям;

- не все предприятия  производят продукцию для конечного  потребления и спрос определять  бессмысленно.

3) Для базовых отраслей задаются объемы валовой продукции, для других отраслей – объемы конечной продукции так, чтобы всего было задано n переменных. Тогда остальные n переменных будут найдены из системы (6).

 

ПРИМЕР:

Допустим для межотраслевой  системы, которая у нас есть заданы объемы конечной продукции на следующий  год:

у₁ = 60,  у₂ = 80, у₃ = 40, тогда

х₁ = 0,1 × х₁ + 0,2 × х₂ +  0,2 × х₃ + 60,

х₂ = 0,2 × х₁ + 0,3 × х₂ +  0,4 × х₃ + 80,         

х₃ = 0,2 × х₁ + 0,1 × x₂ +  0,2 × х₃ + 40.

х₁ = 140,2;   х₂  = 218,6;  х₃ = 112,4.

х₁₁ = а₁₁ × х₁ = 14;                   х₂₁ = 28;             х₃₁ = 28;  

х₁₂ = 0,2 × 218,6 = 43,7;          х₂₂ = 65,56;         х₃₂ = 21,86; 

х₁₃ = 0,2 × 112,4 = 22,47;        х₂₃ = 44,95;         х₃₃ = 22,47.

Плановый баланс:

Отрасль	Межотраслевые материальные потоки			Конечная продукция	Валовая продукция
	С/х	Пром-ть	Прочее
С/х Пром-ть Прочее	14 28 28	43,7 65,56 21,86	22,47 44,95 22,47	60 80 40	140,2 218,6 112,4

х₁ = а₁₁ × х₁ + а₁₂ × х₂ + … +  а_1n × х_n + у₁,

х₂ = a₂₁ × х₁ + a₂₂ × х₂ + … + a_2n × х_n + у₂,         (6)   

   …….…………………………….

х_n = a_n1 × х₁ + a_n2 × x₂ + … + a_nn × х_n + у_n,

Х = (х₁, х₂,…, х_n) – валовые выпуски продукции по отраслям.

У = (у₁, у₂,…, у_n)

А = (а_ij)

Х = А × Х + У     (6)   (в матричном виде)

Е × Х – А × Х = У

(Е - А) × Х = У      домножим обе части слева на (Е - А)^-1.

Х = (Е - А)^-1 × У = S × У     (*)

S = (Е - А)^-1,  

                              s₁₁   s₁₂   …   s_1n 

где S = (s_ij) =        s₂₁   s₂₂   …   s_2n         - коэффициенты полных  материальных затрат

                                    ………..   

                             s_n1   s_n2  …    s_nn

Уравнение (*)  в виде системы:

х₁= s₁₁ × y₁ + s₁₂ × y₂ + … + s_1n × y_n,

х₂= s₂₁ × y₁ + s₂₂ × y₂ + … + s_2n × y_n,          

……………………………………               (8)

х_n = s_n1 × y₁ + s_n2 × y₂ + … + s_nn × y_n,

Данная модель удобна для плановых расчетов, позволяет  сбалансировать объемы продукции и  валовую продукцию.

 

6. Коэффициенты полных материальных затрат:

s_ij – количество продукции i-той отрасли, которую необходимо передать j-той отрасли в качестве средств производства, чтобы она выдала в конечное потребление единицу продукции.

s_ij – нормы валовых выпусков на единицу конечной продукции.

Каждый коэффициент s_ij представляет сумму прямых и косвенных затрат, обусловленных выпуском единицы продукции:  S_ij = a_ij + k_ij, где k_ij – коэффициент косвенных материальных затрат - затраты на предшествующих стадиях производства, а a_ij – коэффициенты прямых  материальных затрат.

a_ij < s_ij на сумму косвенных материальных затрат.

Коэффициенты  полных затрат электроэнергии на 1 автомобиль:

Автомобиль    ®    электроэнергия  и сталь (прямые затраты) ® электроэнергия и чугун (косвенные затраты 1-го порядка)   ®    электроэнергия и руда (косвенные затраты 2-го порядка)   ® …

Косвенные затраты 1-го порядка – это прямые затраты на производство того количества средств, которое идет на единицу рассматриваемой продукции.

s_ij – зависит от технологии всех отраслей. Относительно постоянны, используются для анализа и планирования.

a_ij – зависят от технологии одной отрасли.

Коэффициенты  s_ij и a_ij наиболее отличаются для всех отраслей, за исключением добывающей и нефтеперерабатывающей промышленности.

 

ПРИМЕР: 

Плановые расчеты:

               0,1   0,2   0,2              у₁ = 60,

    А =     0,2   0,3   0,4              у₂ = 80,

               0,2   0,1   0,2              у₃ = 40.

                                  0,9   -0,2   -0,2      -1             1,34   0,46   0,57

S =  [ Е – А ]^-1 =      -0,2    0,7   -0,4            =        0,62   1,75   1,03 

                                 -0,2   -0,1    0,8                      0,41   0,33   1,52

По системе  (8)   находим объемы производства:

х₁ = 1,34 × 60 + 0,46 × 80 + 0,57 × 40 = 140,2

х₂ = 218,6, 

х₃ = 112,4.

7.  Равновесные цены в межотраслевом балансе:

Рассматриваем столбец  баланса: , где V_j – вновь созданная стоимость    j-той отрасли, которая состоит из зарплаты наемных рабочих и предпринимательского дохода.

х_ij = a_ij × x_j – материальные затраты.

V_j = u_j × x_j         (9)

u_j = V_j / х_j – коэффициенты пропорциональности – доля добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции; считаются const.

Р = Цена единицы продукции = материальные затраты (на единицу) + добавленная стоимость (на единицу).

Пусть Р = (р₁,  р₂, … р_n) – вектор цен на единицу продукции соответствующей отрасли, тогда:

      р₁ = a₁₁ × р₁ + a₂₁ × р₂ + ... + a_n1 × р_n + u₁

      р₂ = a₁₂ × р₁ + a₂₂ × р₂ + ... + a_n2 × р_n + u₂             (10)

      ………………………………………….

      р_n = a_1n × р₁ + a_2n × р₂ + ... + a_nn × р_n + u_n,

         где    a_ij   и   u_j   заданы, они определяются по отчетному периоду;

р₁,  р₂, …,  р_n    –   равновесные цены - определяются из системы   (10).

Вывод формулы расчёта  цены:

Р = (р₁,  р₂,…,  р_n)

u = (u₁, u₂,…, u_n)

P = А^Т  ×  P + u;

E  ×  P – А^Т × P = u; 

P × (E– А^Т) = u      |  домножим  (E– А^Т)^-1 = S^Т 

P = (E – А^Т) ^-1 × u;

P = S^Т × u      (11),    отсюда:

     p₁ = s₁₁ × u₁ + s₂₁ × u₂  + ... + s_n1 × u_n

     p₂ = s₁₂ × u₁  + s₂₂ × u₂ + ... + s_n2 × u_n           (12)

      ………………………………..

     р_n = s_1n × u₁ + s_2n × u₂  + ... + s_nn × u_n

 

 

 

ДИНАМИЧЕСКАЯ  МОДЕЛЬ  МЕЖОТРАСЛЕВОГО  БАЛАНСА

 

В динамических моделях  будем рассматривать капитальные  вложения в каждую отрасль и их влияние на объем производства.

В статической модели конечный продукт состоял из:  

- производственное накопление;  

- личное потребление;   

- общественное потребление;

В динамической модели рассмотрим распределение средств, которые  идут в качестве капитального вложения и их эффективность (отдачу).

Рассмотрим схему динамической модели:

Отрасль	Межотраслевые материальные потоки				Потоки капитальных вложений				Конечная продукция	Валовая продукция
	1	2	…	n	1	2	…	n
1 2 … n	х11 х21 … хn1	х12 х22 … хn2	… … … …	х1n х2n … хnn	∆Ф11 ∆Ф21 … ∆Ф1n	∆Ф12 ∆Ф22 … ∆Фn2	… … … …	∆Фn1 ∆Фn2 … ∆Фnn	z1 z2 … zn	x1 x2 … хn

С помощью этой модели можно спрогнозировать темп роста по разным отраслям. Коэффициент инвестиций позволяет определить влияние спроса на капитальные вложения. Основой расчета является матрица коэффициентов инвестиций. В рамках динамической модели рассматриваются производственные накопления, их распределение, их эффективность, отдача от этих средств.

Конечная продукция  используется в качестве капитальных  вложений, для расширения основных фондов.

x_ij – межотраслевые материальные потоки - кол-во продукции i-той отрасли, которое необходимо передать j отрасли в качестве средств производства;

DФ_ij – потоки капитальных вложений - количество продукции i-той отрасли, которое необходимо направить в j отрасль в качестве капиталовложений в ее основные фонды.

z_i – конечная продукция i отрасли; содержит только личное и общественное потребление.

x_i – валовая продукция i отрасли – количество произведенной продукции за отчетный год.

   (1)   – основное балансовое уравнение.

x_ij = a_ij × x_j                            (2)

Прирост продукции прямо пропорционален приросту основных фондов:

DФ_ij = b_ij × Dx_j    (3) , где

b_ij – коэффициенты капитальных вложений коэффициенты пропорциональности.

        b₁₁    b₁₂  …   b_1n 

  где В =    b₂₁    b₂₂  …   b_2n            -    матрица инвестиционных

                     …                                               коэффициентов

                    b_n1    b_n2   …    b_nn 

b_ij - количество продукции i-той отрасли, которое необходимо направить в j отрасль в качестве капитальных вложений для прироста производственной мощности на одну единицу

            b_ij = DФ_ij / Dx_j – эффективность капиталовложения.

Перепишем систему   (1)  через коэффициенты

,       где   i =                 (4)

t – текущий период,

t-1 – предыдущий год. 

,    где i = ,  а – прирост продукции j отрасли.

Планирование на год t:     a_ij,  b_ij,  ,    – задано.   Определяем: ,  i = .

Данная система  (4)  –  динамическая модель, помогающая связать два года.

Недостаток  заключается в том, что в вышеописанной системе предполагается, что отдача от капиталовложений будет в текущем периоде. Если существует временной лаг, например,  полгода, то в предыдущей системе все коэффициенты b_ij надо умножить на 2, если 2 года, - то поделить на 2. Если временной лаг для всех отраслей разный, то модель использовать нельзя.