Разработка комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО

“СОЛИКАМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ” 
 

Кафедра математики и физики 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 
 

по дисциплине “Математика” 
 
 

КОМПЛЕКС  ЗАДАНИЙ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО РАЗДЕЛУ «ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ» 
 

                                                          Поповой Екатерины Сергеевны,

                                                                             студентки 3 курса 130 группы ЕМФ

                                                                специальность-Математика

  

Оценка: _________________ _______ подпись  _________ “          “ ________20 _____ г.

Научный руководитель: ст. преподаватель Бушуева Наталья Леонидовна

 

                                                                                                                                                                             
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Соликамск

2010

Оглавление 

Введение……………………………………………………………………………...3

Глава 1. Векторы и действия над ними

1. Векторы. Равенства векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение векторов………………………5                    
2. Проекции векторов. Скалярное умножение векторов…………………….15
3. Векторное умножение. Смешанное произведение трех векторов. Двойное векторное произведение…………………………………………………….18

Глава 2. Применение векторной алгебры  в аналитической геометрии

1. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора. Координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами. Основные формулы………………………………………...23
2. Геометрическое значение векторных уравнений………………………….29
3. Плоскость…………………………………………………………………….33
4. Прямая линия в пространстве………………………………………………39
5. Прямая и плоскость………………………………………………………….45

Заключение………………………………………………………………………….50

Список  литературы…………………………………………………………………51 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

     В настоящее время проблемам преподавания математики в школе стали уделять  больше внимания. Это связано с  научно-техническим прогрессом и  развитием наукоемких производств. Технические науки, среди которых, в последнее время, быстро развиваются  и имеют огромное практическое значение, такие как информационные технологии, электроника и т.д., немыслимы  без математического аппарата.

     Основа  для математической грамотности  закладывается именно в школе, поэтому  изучению вопросов, связанных с этим процессом, уделяется пристальное  внимание. Математика является одним  из опорных предметов школы. Она  требует от учащихся волевых и  умственных усилий, развитого воображения, концентрации внимания. Математика развивает  личность учащегося. Изучение математики существенно способствует развитию логического мышления и расширяет  кругозор школьников.

     Кроме всего вышесказанного, математика обеспечивает изучение других школьных дисциплин, таких  как физика, химия и др. На уроках математики учащиеся получают не только вычислительные навыки для решения  прикладных задач, но и узнают такие  необходимые для решения, например, физических задач понятия, как: вектор и действия над векторами, векторные уравнения, плоскость, прямая линия в пространстве, начинают решать задачи с использованием координатного метода и т.п.

    Объект  исследования – процесс обучения школьников решению задач.

    Предмет исследования – задачи с практическим содержанием в курсе геометрии.

    Цель  исследования – разработать комплекс заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры».

    Задачи  исследования:

    1. Рассмотреть понятие векторов и действия над ними.

    2. Рассмотреть применение векторной алгебры в аналитической геометрии.

    3. Проанализировать учебники по геометрии на наличие в них задач с практическим содержанием.

    4. Разобрать методы решение геометрических задач с использованием основных векторных соотношений.

    5. Составить комплекс задач с практическим содержанием.

    Методы  исследования:

• анализ научно-методической литературы;
• статистический анализ учебного материала.

Структура курсовой работы:

     Курсовая  работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

    В работе будут рассмотрены и изучены: печатные учебные пособия для  учащихся; различные учебные пособия  по данной теме; электронные учебные  пособия и проекты в сети интернет. 

 

Глава 1. Векторы и действия над ними.

1. Векторы. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Разложение векторов.

    Величины, для задания которых достаточно указания их числовых значений, называются скалярными величинами или просто скалярами. Примерами скалярных величин могут служить: длина отрезка, угол, площадь, объем, время, температура, масса, плотность, работа и т.д. Простейшим скаляром является отвлеченное число. Скаляры обозначаются малыми или большими буквами латинского или греческого алфавита обыкновенного шрифта: a, b, m, p, x, y, A, S, T, α, β, …

    Наряду  со скалярами существуют и другие величины, для полной характеристики которых недостаточно задания одних  только числовых значений. Например, для  характеристики перемещения точки  нужно знать не только длину, но и  направление перемещения. Для характеристики действия силы мало знать ее величину, надо еще знать направление, в  котором она действует. Такие  величины, как перемещение, сила, скорость, ускорение, напряженность электрического поля и т.д., требующие для своего задания не только указания числового  значения, но и направления в пространстве, называются векторными величинами или векторами.

    Для наглядного изображения векторов служат геометрические векторы, т.е. прямолинейные отрезки, имеющие не только определенную длину, но и определенное направление. В дальнейшем под словом «вектор» мы и будем подразумевать простейший тип векторных величин – геометрический вектор.

    Векторы обозначаются или жирными буквами  A, M, a, b, …, или буквами обыкновенного алфавита, но с черточкой сверху: , , , , … иногда, так как вектор есть направленный отрезок, его обозначают двумя буквами (на первом месте стоит обозначение начала отрезка, на втором – обозначение конца), но тоже с черточкой сверху , , и т.д.

    На  чертеже векторы изображаются отрезками, снабженными стрелками, указывающими их направление:

    

      b A

    а c A

      P B 

      Длина вектора, которая иначе называется модулем, или абсолютной величиной, или еще скаляром вектора, обозначается той же буквой, что и вектор, но не жирного шрифта и без черты сверху; иногда для обозначения модуля вектора берется обозначение самого вектора, помещенное в прямые скобки: длина вектора а обозначается а или |а|; длина вектора обозначается АВ = | | и т.д.

    Если  прямые, на которых расположены векторы, параллельны (или совпадают), то векторы могут иметь или одинаковое направление, как например, а и b, или противоположные направления, например а и с.

                                      D                   C 

      А                    B

    Два вектора считаются равными, если они удовлетворяют следующим условиям:

1. векторы имеют одинаковую длину;
2. они коллинеарны и
3. они имеют одинаковое направление.

    Таким образом, среди четырех векторов , , и , совпадающих со сторонами квадрата ABCD, нет двух равных векторов.

    Из  определения равенства векторов следует, что положение начальной  точки вектора (точки приложения) не играет роли. Параллельное перемещение  не меняет вектора. Этим свойством можно  воспользоваться, чтобы отнести  данные к общему началу, т.е. переместить их, не меняя направления, так, чтобы совпали начала всех рассматриваемых векторов.

    При определении сложения векторов полезно  помнить конкретные задачи, связанные  с этим действием. Необходимость  сложить два вектора может, например, возникнуть в связи с отысканием такого одного перемещения точки, которым  можно было бы заменить два данных последовательных перемещения, или  же при отыскании равнодействующих двух данных сил, действующих на данную точку, и т.д.

    Отсюда  вытекает для сложения двух векторов a и b «правило треугольника»: при любой точке А строим вектор = а; в конце этого вектора строим вектор = b. Тогда вектор с = , соединяющий начало первого слагаемого с концом второго, и будет вектором-суммой, что можно записать так:                                                  (1)

    или                                       а + b = с    (1')

    Если  дополнить треугольник АВС до параллелограмма ABCD, то легко получить известное «правило параллелограмма»: чтобы сложить два вектора а и b, приводим их к общему началу, строим на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм, - тогда диагональ этого параллелограмма, выходящая из этой же вершины, является суммой двух данных векторов.

    В случае большого числа слагаемых, обобщая  правило треугольника, получаем правило  многоугольника: чтобы построить  сумму любого числа векторов, надо из любой точки построить вектор, равный первому слагаемому, из конца  первого слагаемого построить второе слагаемое, из конца второго –  третье и т.д. Вектор, соединяющий  начало первого слагаемого с концом последнего, и будет суммой всех данных векторов, т.е. суммой служит замыкающий вектор той ломаной линии, звеньями которой служат данные слагаемые  векторы. Если оказалось бы, что конец  последнего слагаемого совпадает с  началом первого, то это значит, что  вектор-сумма имеет длину, равную нулю. Такой вектор называется нуль-вектором.

    В частности, нулю равна сумма двух векторов, имеющих одинаковую длину, но противоположные направления:

       (2)

    или                                           ;     (2')

такие векторы  называются равно-противоположными. Сложение векторов подчиняется основным законам сложения чисел:

1. закону переместительности:          a + b = b + a;             (3)
2. закону сочетательности:       (a +b) + c = a + (b + c) = a + b + c      (4)

    Вычитание векторов вводится как действие, обратное сложению, т.е. при вычитании требуется по данной сумме двух векторов и одному из них найти слагаемый вектор.

    Правило вычитания: чтобы вычесть из вектора  с (= ) вектор а (= ), надо отнести их к общему началу; тогда вектор b (= ), соединяющий конец вектора-вычитаемого (а) с концом вектора-уменьшаемого (с), и будет вектором-разностью:                                  ,     (5)

    или                                         с – а = b;            (5')

пользуясь понятием равно-противоположных векторов, находим:

,   (6)