Разработка комплекса заданий для практических занятий по разделу «Основы векторной алгебры»

его можно  решить относительно r и получить новое уравнение, равносильное данному:                                      .

    В правой части этого уравнения  указан ряд однозначных действий над известными векторами; выполнив их, мы получим определенный единственный вектор, которому по условию должен равняться радиус-вектор искомой  точки, т.е. уравнение (27) определяет единственную точку.

    Возьмем другой пример:                     αr + ab = 0.       (28)

Если  решить это уравнение относительно r, то окажется, что вектор должен равняться скаляру, чего, конечно, быть не может. Поэтому такое уравнение не определяет ни одной точки, оно никакого смысла не имеет. Исключение составляет лишь случай, когда данные векторы а и b перпендикулярны, т.е. (ab) = 0; тогда уравнению (28) удовлетворяет радиус-вектор одной-единственной точки – полюса, если α 0.

    Если  данное уравнение содержит не самый  радиус-вектор искомой точки, а его  длину, как, например, уравнение                  r² = a²,     (29)

то и  определена может быть лишь одна длина  радиуса-вектора, и совершенно произвольным остается его направление. Такому уравнению удовлетворяют радиусы-векторы бесчисленного множества точек, в частности уравнению (29) удовлетворяют все точки сферической поверхности, имеющей центр в полюсе и радиус, равный а.

    Наиболее  типичными уравнениями, определяющими  не одну, а бесчисленное множество  точек, являются уравнения, в которых  искомый радиус-вектор входит в качестве сомножителя в скалярном или  в векторном произведении.

    Рассмотрим  уравнение                            ra = 0               (30)

Это уравнение  накладывает на радиус-вектор требование, чтобы он был перпендикулярен к данному вектору а. Но таких радиусов-векторов существует бесчисленное множество, все они расположены в плоскости, проходящей через полюс перпендикулярно к а. Обратно, если в этой плоскости взять любую точку, то ее радиус-вектор удовлетворяет поставленному условию. Таким образом, уравнение (30) определяет плоскость, проходящую через полюс перпендикулярно к вектору а.

Точно так же нетрудно видеть, что геометрическое место точек, радиусы-векторы которых удовлетворяют уравнению                [ra] = 0,        (31)

есть  прямая, проходящая через полюс параллельно  вектору а.

    Таким образом, геометрическое значение векторного уравнения всецело зависит от характера этого уравнения.

    Важно уметь не только находить геометрический образ, соответствующий данному  уравнению, но и решать обратную задачу – составлять уравнение данного  геометрического места точек.

    Составим, например, векторное уравнение геометрического  места точек, равноудаленных от данных точек А (r₁) и В (r₂). Пусть М (r) обозначает подвижную точку, описывающую данное геометрическое место. Нужно связать уравнением переменный (текущий) радиус-вектор r точки М с постоянными данными векторами r₁ и r₂. По условию задачи векторы = r – r₁ и = r – r₂ должны иметь одинаковую длину, что можно записать так:

                          или                   (r – r₁)² = (r – r₂)².

Искомое уравнение составлено, но его можно  еще преобразовать:

r² – 2 (rr₁) + r₁² = r² – 2 (rr₂) + r₂²,            2 = r₂² – r₁²,

r (r₂ – r₁) -  = 0,                           r (r₂ – r₁) – (r₂ – r₁) ( ) = 0,

или окончательно:                       .      (32)

Уравнение (32) имеет простое геометрическое толкование: векторы  и r₂ – r₁ должны быть перпендикулярны друг другу. Но r₂ – r₁ = (рис. 7) есть вектор, соединяющий данные две точки, а есть вектор, соединяющий подвижную точку М с серединой отрезка АВ. Таким образом, все точки, удовлетворяющие уравнению (32), лежат на перпендикулярах, восстановленных к отрезку АВ и проходящих через его середину, т.е. они заполняют плоскость, перпендикулярную отрезку АВ и делящую его пополам.

Составим  еще уравнение сферической поверхности, имеющей центр в точке С (r₁) и радиус, длина которого равна а. любая точка М (r) сферической поверхности должна обладать тем свойством, что ее расстояние от центра С равно а, т.е.   ,   но, так как    ,    уравнение примет вид:

                               или                 ² = a².            (33)

Это уравнение  можно еще преобразовать: 

r² – 2 (rr₁) + r₁² = a²                    или             r² – 2 (rr₁) = a² – r₁²      (33')

    Иногда  геометрическое место точек изображается векторным уравнением, содержащим переменный скалярный параметр.

    Переход от векторных уравнений к координатным и обратно может быть осуществлен  благодаря зависимости, существующей между координатами (x, y, z) точки и ее радиусом-вектором r:

    x = (ri),    y = (rj),    z = (rk),    (34)               r = xi + yj + zk.     (35)

                              М 

      A            C      r           B

              r₁              r₂                             

                           O

                 Рис. 7                                [5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Плоскость

    Всякое  уравнение вида:                                       r a = α,                       (36)

т.е. уравнение, в котором скалярное произведение текущего радиуса-вектора (r) на данный вектор (а) приравнивается данному скаляру (α), изображает плоскость; обратно, всякая плоскость может быть представлена таким уравнением – общим уравнением плоскости.

     Если  в уравнении (36) свободный член α = 0, плоскость проходит через полюс.

     В частности, если постоянный множитель  в скалярном произведении есть единичный  вектор (n), а свободный член, перенесенный в левую часть уравнения, окажется числом отрицательным, т.е.                 r n – p = 0,     (37)

где n² = 1 и p 0, то уравнение (37) называется нормальным уравнением плоскости, и входящие в него параметры имеют простой геометрический смысл n есть орт, направленный из полюса в сторону плоскости и к ней перпендикулярный, а p есть расстояние плоскости от полюса.

      Чтобы привести уравнение (36) к нормальному  виду, нужно перенести свободный  член в левую часть:                    (r a) – α = 0         (36')

и все  члены помножить на один и тот  же скаляр – нормирующий множитель:

,

где α' есть длина вектора а, взятая со знаком, противоположным знаку свободного члена уравнения (36'). Тогда получим:        ,     (36'')

где и .

    Расстояние  δ любой точки N (r₁) от плоскости (37) вычисляется по формуле:                                         δ =                    (38)

или, если плоскость дана уравнением (36):             δ = ,         (38')

т.е. расстояние от точки до плоскости равно абсолютной величине левой части нормального  уравнения плоскости, в которой  текущий радиус-вектор заменен радиусом-вектором данной точки.

      Если  отбросить в правых частях знак абсолютной величины, то значение δ, вычисленное  по формуле (38) или (38'), окажется или  положительным или отрицательным  в зависимости от того, расположены  ли данная точка и полюс по разным сторонам от плоскости или по одной  и той же стороне от нее.

      Если  плоскость задана вектором а, к ней  перпендикулярным, и одной из точек А (r₁), то уравнение плоскости имеет вид:            (r – r₁) a = 0        (39)

      Уравнение (39) может быть приведено к виду (36):             ra = r₁a.

      Если  плоскость задана двумя параллельными  ей векторами а и b и точкой А (r₁), на ней лежащей, то уравнение ее следующее:       (r – r₁) = 0.      (40)

      Если  плоскость задана двумя точками А (r₁) и В (r₂) и одним вектором а, ей параллельным, уравнение ее имеет вид:              (r – r₁) = 0      (41)

    Если  плоскость задана тремя своими точками  A (r₁), B (r₂) и C (r₃), ее уравнение будет:                            (r – r₁) = 0                      (42)

или после  преобразований:           r = .        (42')

      В частности, если все три точки  даны на осях координат А (ai), B (bj) и C (ck), уравнение плоскости (уравнение в отрезках) примет вид:    rq = 1,    (43)

где                                             q = . 

      Если  даны две плоскости своими общими уравнениями:         (44)

то угол φ между этими плоскостями  равен углу между векторами, к  ним перпендикулярными, т.е.                        и     .     (45)

      Условие параллельности плоскостей (44):        или     a = λb.    (46)

      Условие перпендикулярности плоскостей:                 ab = 0         (47)

      Если  даны три плоскости:                                                 (48)

то радиус-вектор точки пересечения этих плоскостей можно определить как вектор, удовлетворяющий  одновременно всем трем уравнениям (48). Для его вычисления можно так  же воспользоваться формулой:

.                  (49)  [5]

     Задача 1.

     Даны  векторы  . Показать, что векторы и образуют базис на плоскости и найти координаты вектора в этом базисе.

     Решение. Если два вектора неколлинеарны ( ), то они образуют базис на плоскости. Так как , то векторы и неколлинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид , или в координатной форме

       или 

     Решив полученную систему уравнений каким-либо образом, получим, что .

     Значит  . Таким образом, в базисе вектор имеет координаты .

     Задача 2. Найти угол между векторами и , если , , , .

     Решение. Используем формулу . Определим координаты векторов и , учитывая, что при сложении векторов мы складываем одноименные координаты, а при умножении вектора на число – умножаем на это число каждую координату этого вектора, а: , .

     Найдем  скалярное произведение векторов и и их длины. , , . Подставив в формулу, получим . Отсюда . [6]

     Задача  3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки , , .

     Решение. Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки. Вычислим определитель

      , или  – искомое уравнение плоскости.

     Задача  4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку , параллельно векторам и .