Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Июня 2012 в 12:19, курсовая работа
7 ноября 2011 года исполнится 200 лет со дня рождения Эвариста Галуа (1811-1832), одного из самых знаменитых математиков 19 столетия. Идеи Галуа проникли к настоящему времени в самые разные области математики.
Работа посвящена основам теории Галуа. В ней содержится 2 главы.
Введение………………………………………………………………………...
2
Глава1: Необходимые вспомогательные сведения
§ 1. Поле. Основные сведения……………………………………………......
3
§ 2. Подполя……………………………………………….……………………
4
§ 3. Некоторые важные типы расширений……………..………………….
5
§ 4. Алгебраичность конечных расширений. Строение составного алгебраического расширения…………………………………………………..
6
§ 5. Основная теорема о симметрических многочленах………………….
9
§ 6. Составные конечные расширения..……………………………………
11
§ 7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым.…………………………………………………………………….
14
§ 8. Линейные преобразования, гомоморфизмы и многочлены от n-неизвестных………………………………………………..…………………..
15
§ 9. Композит полей…………………………………………………………...
20
Глава 2: Группы и поля Галуа
§ 1. Нормальные расширения……………………………………………….
21
§ 2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа………………………………….
23
§ 3. Порядок группы Галуа…………………………………………………..
26
§ 4. Теорема о сопряженных элементах…………………………………….
28
§ 5. Группа Галуа нормального подполя…………………………………...
30
§ 6. Группа Галуа композита двух полей…………………………………..
31
§ 7. Конечные поля……………………………………………………………
32
§ 8. Основные свойства конечных полей, связанных с числом их элементов…………………………………………………………………………...
37
§ 9. Существование и единственность конечных полей. Критерий конечного подполя……………………………………………………………….
40
Приложение……………………………………………………………………
42
Список используемой литературы…………
Пример:
Подполя конечного поля F230
можно найти, составив список всех положительных
делителей числа 30. Рассмотрим отношения
включения между этими подполями. Для
этого определим, какие делители числа
30 являются делителями других делителей
этого числа, например, число 5 является
делителем числа 30 и одновременно делителем
делителя 15 числа 30. это означает, что в
поле F230 содержатся подполя
F25 и F215 и подполе
F25 является одновременно
подполем поля F215. Аналогично
рассматриваются и другие отношения включения,
которые отображены на следующей диаграмме.
(Лидл Р.
Конечные поля.)
Приложение
Задача 1: В поле, полученном присоединением к полю рациональных чисел корня α многочлена f(х)=х3+4х2+2х-6 найти число, обратное числу β=3-α+α2.
(Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Задача №1730)
Решение:
f(α)=0
f(х)=х3+4х2+2х-
β=3-α+α2
β-1=?
f(х)=х3+4х2+2х-6 х2-х+3=β
х3 -х2 +3х х+5
5х2 -х -6
5х2-5х+15
16х2-16х+48 4х-21
16х2-84х 4х+17
68х+48
68х-357
405
f(х)=β(х+5)+r(х)
16β=r(x)(4x+17)+405
r(x)=f(x)-β(x+5)
405=16β- r(х)(4x+17)
405=16β-((f(x)+β(x+5))(4x+
Предположим, что х=α
405=16β-(f(α)- β(α+5))(4α+17), так как f(α)=0, получаем
405=16β+ β(α+5)(4α+17)
405=16β+ β(4α2+37α+85)
405=β(101+4α2+37α)
Ответ: β-1=(4α2+37α+101)/405
Задача 2: Решить систему уравнений
x+2z=1, y+2z=2, 2x+z=1 в поле вычетов по модулю
(Проскуряков
И.В. Сборник задач по линейной алгебре.
Задача№1756)
Решение:
1.
Решений
нет, а значит система несовместна.
Ответ: система имеет единственное решение x=2, y=3, z=2.
Задача 3: решить систему уравнений
3x+y+2z=1, x+2y+3z=1, 4x+3y+2z=1 в поле вычетов по модулю 5.
(Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Задача № 1757)
Решение:
Ответ: решений нет, система несовместна.
Задача 4: найти наибольший общий делитель многочленов
f(x)=x3+x2+2x+2 , g(x)=x2+x+1 над полем вычетов по модулю 3.
(Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Задача №1758 а)
Решение:
x3+x2+2x+2 x2+x+1
x3+x2+x x
x2+x+1 x+2
x2+2x x+2
2x+1
2x+1
Ответ:
наибольший общий делитель многочленов
f(x) и g(x) равен x+2
Задача5: найти наибольший общий делитель многочленов
f(x)=5x3+x2+5x+1, g(x)=5x2+21x+4 над полем вычетов по модулю 5.
(Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Задача №1760)
Решение:
x2+4x x+1
-4x+1
-3
2x+8 x+1
2x+3
3
Ответ: Наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x) является 1.
Задача 6: найти наибольший общий делитель многочленов f(x)=x4+1, g(x)=x3+x+1 над полем вычетов по модулю
(Проскуряков
И.В. Сборник задач по линейной алгебре.
Задача №1760)
Решение: 1.
Ответ: наибольший общий делитель f(x) и g(x) является многочлен x2+x+2
2.
Ответ: наибольшим общим делителем f(x) и g(x) является 1.
Задача 7: доказать, что любое нормальное поле является полем разложения неприводимого многочлена.
Доказательство:
Так как поле R нормальное, то по определению , где - неприводимый многочлен над Р.
(*)
По определению сопряженных чисел, их минимальные многочлены совпадают, а для данного числа является минимальным в силу его неприводимости.
Данное свойство (*) справедливо для всех сопряженных к элементов, то есть для всех корней данного многочлена.
, …
Все эти элементы не принадлежат Р, а К принадлежат, отсюда следует, что все элементы принадлежат расширению К.
Возьмем все корни Р(. Получили поле разложения многочлена . Любое выражение
Где .
Доказали, что Р(
Если К нормальное расширение, то согласно определению любое неприводимое множество f поля разложения является подмножеством множества К.
Задача 8: Пусть дано целое число n. Два целых числа a и b называются сравнимыми по модулю n, что записывается так a, если их разность a-b делится на n (при n=0 это означает, что a=b; при n – что a и b при делении на n дают один и тот же остаток – вычет по модулю n). Показать, что совокупность всех целых чисел Z разбивается на классы сравнимых между собой чисел, не имеющие общих элементов. Определить сложение и умножение классов через числа a, b, a+b, ab принадлежат соответственно классам A, B, C, D, то положим A+B=C и AB=D.
Доказать,
что при таких операциях
(Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. Задача № 1741)
Решение: